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El interés compuesto, Apuntes de Gestión Financiera

Universidad Complutense de Madrid (UCM)Gestión Financiera

Teoría para el interés compuesto financiero.

Tipo: Apuntes

2019/2020

Subido el 07/05/2020

santoralondon
santoralondon 🇪🇸

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bg1
Gestión Financiera.- CAP. COMPUESTA 1º AF.
UNIDAD 2.- CÁLCULOS FINANCIEROS BÁSICOS A LARGO
PLAZO. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
1.- CAPITALIZACIÓN, ACTUALIZACIÓN Y EQUIVALENCIA FINANCIERA
EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA.-
Es la ley financiera según la cual los intereses producidos se añaden al capital y vuelven a producir
nuevos intereses hasta finalizar la operación financiera.
Los elementos que intervienen:
–Co: capital inicial.
–n: duración.
–i: tipo de interés anual.
–Cs: capital final en el año s o montante del año s
–Is: intereses del año s. I = Cs-1 ∙ i
–IT: interés total. IT
–Cn: capital final o montante. Cn = Co + IT
1.1.CAPITAL FINAL O MONTANTE
Es necesario ir calculando los sucesivos montantes al final de cada año:
•Al final del primer año: C1 = Co + I1 como I1 = Co ∙ i C1 = Co + Co∙ i = Co ∙ (1 + i)
•Final 2.º año: C2 = Co ∙ (1+i) ∙ (1+i) = Co ∙ (1+i)2
•Final 3.er año: C3 = Co ∙ (1 + i)3
•Final año n: Cn = Co ∙ (1 + i)n
Actividad 1: Luis López tiene un depósito en el Banco Rico de 20 000 € a plazo fijo durante dos años a un interés
compuesto del 3% anual. Hallar la cantidad que recibirá al cabo de los 2 años que dura la operación.
1.2.CAPITAL INICAL
Sabiendo que: Cn = Co∙ (1 + i)n, y despejando Co:
Co = Cn / (1 + i)nCo = Cn ∙ (1 + i)-n
(1 + i)-n Recibe el nombre de factor de actualización, puesto que al aplicarla sobre el capital final
obtenemos el valor del capital inicial o actual.
Si se conocen los intereses: IT = Cn - Co Co = Cn - IT
1.3.CALCULO DE LOS INTERESES TOTALES
Partiendo de Cn = Co + IT los intereses generados serán la diferencia entre el capital final y el capital
inicial:
IT = Cn – Co = Co ∙ (1+i)n – Co = Co∙[(1 + i)n – 1] IT = Co ∙ [(1 + i)n – 1]
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UNIDAD 2.- CÁLCULOS FINANCIEROS BÁSICOS A LARGO

PLAZO. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

1.- CAPITALIZACIÓN, ACTUALIZACIÓN Y EQUIVALENCIA FINANCIERA

EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA.-

Es la ley financiera según la cual los intereses producidos se añaden al capital y vuelven a producir nuevos intereses hasta finalizar la operación financiera. Los elementos que intervienen:

  • C o: capital inicial.
  • n : duración.
  • i : tipo de interés anual.
  • Cs : capital final en el año s o montante del año s
  • Is : intereses del año s. I = Cs- 1 ∙ i
  • IT : interés total. IT
  • Cn : capital final o montante. Cn = C o + IT 1.1.CAPITAL FINAL O MONTANTE Es necesario ir calculando los sucesivos montantes al final de cada año:
  • Al final del primer año: C 1 = C o + I 1 como I 1 = C o ∙ iC 1 = C o + C o∙ i = C o ∙ (1 + i )
  • Final 2.º año: C 2 = Co ∙ (1+i) ∙ (1+i) = Co ∙ (1+ i )^2
  • Final 3.er^ año: C 3 = Co ∙ (1 + i )^3
  • Final año n : Cn = C o ∙ (1 + i ) n Actividad 1: Luis López tiene un depósito en el Banco Rico de 20 000 € a plazo fijo durante dos años a un interés compuesto del 3% anual. Hallar la cantidad que recibirá al cabo de los 2 años que dura la operación. 1.2.CAPITAL INICAL Sabiendo que: Cn = C o∙ (1 + i ) n , y despejando C o: C o = Cn / (1 + i ) n^ C o = Cn ∙ (1 + i ) -n (1 + i ) -n^ Recibe el nombre de factor de actualización, puesto que al aplicarla sobre el capital final obtenemos el valor del capital inicial o actual. Si se conocen los intereses: IT = Cn - C o  C o = Cn - IT 1.3.CALCULO DE LOS INTERESES TOTALES Partiendo de Cn = C o + IT los intereses generados serán la diferencia entre el capital final y el capital inicial: IT = Cn – C o = C o ∙ (1+ i ) n^ – C o = C o∙[(1 + i ) n^ – 1]  IT = C o ∙ [(1 + i ) n^ – 1]

1.4.CALCULO DEL TIPO DE INTERES

Partiendo de: Cn = C o ∙ (1 + i ) n^ Cn / C o = (1 + i ) n^ ( Cn / C o)1/ n^ = 1 + i

i = ((

Cn

Co )

1 n

) – 1 =^

n

Cn Co

1.5.CALCULO DEL TIEMPO

Partiendo de: Cn = C o∙(1 + i ) n , tomamos logaritmos y desarrollamos la expresión: log Cn = log C o ∙ (1 + i ) n^ log Cn = log C o+ n ∙ log (1 + i )

n =

(log C n −log C o ) log( 1 + i )

2.- DIFERENCIAS ENTRE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Y SIMPLE.-

En capitalización compuesta los intereses son productivos; se incorporan al capital para generar nuevos intereses, y en capitalización simple no; siempre se calculan los intereses sobre el capital inicial. El tipo de interés y el tiempo siempre tienen que estar expresados en las mismas unidades temporales. Por lo tanto, la diferencia se observa en los factores de capitalización (1 + i ) n^ para la capitalización compuesta y (1 + n∙i ) para la capitalización simple. El montante coincide en capitalización simple y compuesta en dos momentos: en el momento 0 y en el momento 1 año. En el resto de casos el montante será mayor en capitalización simple para periodos inferiores al año y será mayor en capitalización compuesta para periodos superiores al año. Actividad 2: Calcula la cantidad que la señora Carmen tendrá que pagar dentro de tres años a una caja de ahorros en concepto de interés por un préstamo de 25 000 € para comprarse un coche si el tipo de interés compuesto aplicado es de un 8 % anual. Actividad 3: Calcula el montante en capitalización compuesta y simple de 200 000 € colocados a un tipo de interés de 10 % anual si el periodo de capitalización es de 3 años.

3.- LOS TIPOS DE INTERÉS.-

Actividad 5: Calcula la TAE correspondiente al 3 % efectivo trimestral. Actividad 6: Calcula la TAE si el tipo de interés nominal es del 24 % con capitalización mensual. Actividad 7: La señora Helena Ayuela coloca 20 000 € en una cuenta de alta remuneración. Calcula el saldo disponible en la cuenta al cabo de cuatro meses si las únicas anotaciones mensuales se corresponden con los abonos de intereses de la cuenta, siendo el tipo de interés nominal anual del 11 %.

4.- CAPITALIZACIÓN FRACCIONADA.-

Se utiliza cuando el periodo de capitalización no es anual, sino, mensual, bimensual, trimestral, etc. Por lo tanto tendremos que trabajar con un tipo de interés referido al periodo de capitalización (tanto fraccionado). La fórmula del capital final será: Cn = C o ∙ [1 + im ] n. m 4.1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA EN TIEMPO FRACCIONADO Entendemos la capitalización compuesta en tiempo fraccionado como la operación financiera en la que el tiempo de capitalización no es un número exacto de periodos (años). Para calcular el capital final en este tipo de capitalización existen las soluciones siguientes:

  • Convenio exponencial. El cálculo del capital final se realiza mediante la aplicación de la fórmula general de capitalización compuesta. Cn = C o ∙ (1 + i ) n + m
  • Convenio lineal. Capitaliza a interés compuesto un número exacto de años y a interés simple la fracción restante. Cn = C o ∙ (1 + i ) n^ ∙ (1 + m ∙ i ) Caso práctico 1: Halla el montante de capitalización de 400 000 euros colocados al 3 % de interés semestral con capitalización mensual durante cuatro años. C 0 = 400 000 € i(2) = 0, n = 4 años Cn =? Cn = C 0 (1 + im)nm Hemos de poner el tanto de interés y el tiempo, con referencia al periodo de capitalización. (1 + i(2))2 = (1 + i(12))^12 Si efectuamos una serie de operaciones matemáticas, obtenemos: i(12) = (1 + i(2))1/6^ − 1 i(12) = (1,03)1/6^ − 1 = 0, Cn = 400.000 (1 + 0,0049386)4·12^ = 506.707,4993  Cn = 506.707,50 € Caso práctico 2: Calcula el montante de 300 000 euros al 5% de interés compuesto anual durante tres años y seis meses. Convenio exponencial y lineal.

C 0 = 300 000 € ; i = 0,05; Tiempo = 3 años y 6 meses ; Cn =?

  • Convenio exponencial: Cn = C 0 (1 + i)n+m Cn = 300 000 (1 + 0,05)3+0,5^ = 355 863,7914 Cn = 355 863,79 €
  • Convenio lineal: Cn = C 0 (1 + i)n^ (1 + m · i) Cn = 300 000 (1 + 0,05)^3 (1 + 0,5 · 0,05) =355 969,6875 Cn = 355 969,69 € Actividad 9: Determina el capital final (montante) de 200 000 € colocados al 2 % de interés compuesto anual durante seis años y seis meses. Convenio exponencial y lineal.

5.- CÁLCULO TAE, préstamos con comisiones y gastos

i =

((^

Cn

Co − gastos − comisiones )

1 n

n

Cn Co − gastos − comisiones

Los bancos habitualmente cobran unos gastos de apertura, cancelación, mantenimiento, etc. así como comisiones, por lo tanto, para la calcular la TAE, tendremos que tenerlo en cuenta, de tal forma que aunque el principal sobre el que calculamos los intereses será Co, no será ésta la cantidad real que nos ingresará en el banco sino una vez deducidos estos gastos y comisiones.

  1. Un banco nos ofrece la financiación necesaria para comprar determinada maquinaria, cuyo precio de adquisición es de 25.000 €. Las condiciones del préstamo es que será devuelto mediante al pago de una única cuota a dos años y medio a un tipo de interés del 8%. La formalización del préstamo genera unos gastos fijos de 250 € más unos gastos variables del uno por mil sobre el nominal. Calcula cuál es el tipo de interés efectivo (real) que pagaremos por esa operación.
  2. Tenemos la opción de pagar un elemento de transporte al contado por un precio de 36.000 euros o bien, el proveedor de inmovilizado nos ofrece otras dos opciones: (1) pagar 36.800 con a un año, con un interés nominal del 6% y capitalización trimestral, o bien (2) pagar 38.300 a dos años con un interés nominal del 5.5% capitalizable mensualmente más unos gastos por la gestión de 150 euros. Recomienda al empresario para que tome la opción más interesante.
  3. La empresa Excelsus tiene un excedente de tesorería, por lo que ha decido acometer una inversión. Se ha planteado comprar cinco letras del tesoro cuyo valor nominal es de 1.000 €, el vencimiento es a 18 meses y el tanto de descuento es del 14%. Calcula el precio de adquisición así como la rentabilidad obtenida.
  4. Sara Mago, ha decidido comprar una 350 acciones de una editorial, el precio de cada acción es de 50 € y el intermediario le cobra 1 euro por acción más una comisión de 0.3% de corretaje. Calcula el valor efectivo de la acción. Después de dos años las vendió por 52 euros por acción a cuánto asciende la rentabilidad de la acción. Y si además hubiera tenido unos gastos de venta por acción de 0.45 euros. Cuál sería la rentabilidad obtenida por la inversión.

1. ACTUALIZACIÓN COMPUESTA O DESCUENTO COMPUESTO.-

  1. Calcula el montante producido por 40 000€, colocados en una entidad financiera a un 8 % anual en capitalización compuesta durante cuatro años. 54.419,56 €
  2. La familia Blasco efectúa un depósito bancario de 20 000 € a plazo fijo durante tres años, sabiendo que el tipo de interés compuesto es el 9 % anual. Calcula la cantidad que recibirá al cabo de los tres años que dura la operación financiera. 25.900,58€
  3. Obtén el capital que, colocado a un 9 % anual durante cinco años, produjo un montante de 25 000 €. 16.248,28 €
  4. Calcula el capital que tendremos que depositar en un banco, colocado a un 8 % anual durante cuatro años para obtener un montante o capital final de 40 000 €. 29.401,
  5. Determina la cantidad que entregaremos dentro de dos años a un prestamista en concepto de intereses, si hemos recibido como préstamo en el día de hoy 50 000 €; siendo el tipo de interés de la operación el 9 % anual. 9.
  6. La sociedad Humanes, S.A., ha recibido como préstamo en el día de hoy 100 000 €, que deberá devolver dentro de cuatro años. ¿Qué cantidad entregará como intereses, si el tipo de interés aplicado es del 10 % anual? 46.
  7. Calcula el tipo de interés al que estuvo colocado un préstamo de 4 000 000 € durante dos años, si el capital final cargado por el banco en nuestra cuenta asciende a 5 000 000 €. 11.8%
  8. Obtén el tipo de interés al que estuvieron colocados 3 000 000€ en un banco, durante diez años, sabiendo que el montante de la operación financiera asciende a 6 000 000 €. 7.17735%
  9. ¿Cuál es el tiempo necesario para que un capital de 1 500 000 €, colocado al 11 % anual se convierta en 2 000 000 €. 2años 9 meses y 3 días.
  10. ¿Cuánto tiempo necesita un capital, colocado al 10 % de interés compuesto, para duplicar su valor? Utilizar el interés nominal y la Tasa Anual de interés (TAE) 7años, 3 meses y 8 días
  11. Calcula el interés nominal anual correspondiente al 1,1 % efectivo mensual. 13.2%
  12. Calcula la tasa anual equivalente correspondiente con el 1,6 % efectivo trimestral. 6.55%
  13. Determina el interés efectivo mensual correspondiente a una TAE del 9 %. 0.72073%
  14. El señor Jiménez coloca en una entidad financiera 30 000 €. Calcula el saldo disponible dentro de tres meses, si las únicas anotaciones efectuadas en la cuenta corresponden con los abonos de intereses, sabiendo que la retención efectuada a cuenta del impuesto de las personas físicas es del 19 % y la TAE el 8 %, con periodos de capitalización mensuales. 30.472,07 €
  15. Calcula la TAE si el tipo de interés nominal anual es del 9 %. Capitalización trimestral. 9.30833%
  16. ¿Qué montante obtendremos en una entidad financiera, si colocamos 20 000 € al 9 % de interés compuesto anual capitalizado mensualmente durante dos años y cuatro meses? 24.454,48 €
  17. Calcula el montante de 40 000 € al 8 % de interés compuesto anual durante dos años y cuatro meses. Convenio lineal y exponencial. 47.900 y 47.868,38 €
  18. A la señora Soledad le conceden un préstamo de 20 000 € para amueblar su domicilio, con el compromiso de devolver el principal y los intereses dentro de tres años y cuatro meses. Si el tipo de interés del mercado es del 7 % anual, ¿cuál será la cantidad a devolver aplicando el convenio lineal?, ¿qué cantidad tendría que pagar si el convenio aplicado fuera el exponencial? 25.072,55 y 25.059,
  19. Determina el tipo de interés nominal y efectivo al que habrá estado colocado un capital de 20 000 € para generar un interés de 4 000 € durante tres años y nueve meses. Convenio exponencial. 5.33%; 4,98%
  1. Al señor Miguel le conceden un préstamo de 20 000 € para comprarse un vehículo, con el compromiso de devolver el principal y los intereses dentro de cuatro años y cuatro meses. Si el tipo de interés del mercado es del 10 % anual, ¿cuál será la cantidad a devolver aplicando el convenio lineal? 30.258,
  2. A la señora Alejandra le conceden un préstamo de 25 000 € para comprarse un vehículo, con el compromiso de devolver el principal y los intereses dentro de cuatro años y cuatro meses. Si el tipo de interés del mercado es del 10 % anual, ¿cuál será la cantidad a devolver aplicando el convenio exponencial? 37.784,
  3. La fundación Aguas limpias coloca en una Caja de ahorros 60 000 €. Calcula el saldo disponible dentro de tres años si las únicas anotaciones efectuadas en la cuenta corresponden con los abonos de intereses. La TAE es del 8 % con periodos de capitalización mensuales. 75.582, Reconocer las leyes de capitalización y actualización compuesta y operar en los casos en los que se aplique el interés compuesto para calcular el descuento de efectos comerciales
  4. Pinos, S.A. debe abonar un efecto comercial de 40 000 euros dentro de cinco años. En estos momentos cuenta con un exceso de liquidez y desea adelantar el pago. ¿Cuál será la cantidad que deberá entregar a su acreedor, si el tipo de interés del mercado aplicado es del 8,5 % anual? 25.654,
  5. Calcula la cantidad que tendrá que entregar M.J.B.,S.L., a un prestamista al que debe abonar 100 000 € dentro de tres años. Si desea adelantar el pago al día de hoy, sabiendo que éste le aplicará un descuento comercial del 10 % anual. OJO INTERPRETABLE¡ 72.
  6. ¿Qué tipo de descuento nos aplicaron en una operación financiera, si el nominal del efecto comercial era de 5 000 000€, con vencimiento dentro de tres años, y el efectivo abonado asciende a 3 700 000 €? 0.
  7. Calcula la cantidad de dinero que recibirá una empresa dedicada a la venta de muebles, si descuenta en una entidad financiera dos letras, siendo la primera de 15 000 € y con vencimiento en 30 días, y la segunda, de 20 000 € y vencimiento en 60 días. La financiera le aplica un TAE del 8 %. Descuento comercial. 34.653,87 BASE CIVIL
  8. Hallar la cantidad de dinero que recibirá una empresa dedicada a la venta de libros, si descuenta en una entidad financiera dos letras, siendo la primera de 25 000 € y con vencimiento en 30 días, y la segunda, de 20 000 € y vencimiento en 60 días. La financiera le aplica un TAE del 10 %. Descuento comercial. 44.493,8 BASE 365
  9. ¿Cuál de los métodos de capitalización es más rentable para el prestamista cuando el tiempo es menor de 1 año? ¿Por qué?
  10. ¿Cuál de los métodos de capitalización es más rentable para el prestatario cuando el tiempo es superior a un año? ¿Por qué?
  11. ¿Qué entendemos por descuento o actualización?
  12. En actualización compuesta, ¿es mayor el descuento racional que el comercial?
  13. La Empresa Pinos Altos, S.L. tiene en su cartera de efectos pendientes de cobro un efecto de 50 000 €, con vencimiento dentro de cinco años. Si quiere descontarlo en la Caja de ahorros Buena Suerte, ¿qué cantidad recibirá de la Caja de ahorros si esta le aplica un descuento comercial del 10 % anual? 29.524,
  14. La señora Manuela descuenta en una empresa financiera una letra de comercio pendiente de cobro, con vencimiento dentro de tres años y un nominal de 100 000 €. ¿Qué cantidad recibirá de la financiera si esta le aplica un descuento racional del 12 % anual? 71.178,
  15. El señor Fernando Blasco descuenta en una entidad financiera una letra de comercio pendiente de cobro con vencimiento dentro de tres años con un valor nominal de 200 000 €. ¿Qué cantidad recibirá si le aplicamos un descuento comercial del 10 % anual? 145.