Elección en condiciones de incerteza, Apuntes de Microeconomía

¡Descarga Elección en condiciones de incerteza y más Apuntes en PDF de Microeconomía solo en Docsity!

Elecci´on en condiciones de incerteza

Micro T

Departament d’Economia Universitat Rovira i Virgili

Esquema

1. Teor´ıa de la utilidad esperada.
2. La aversi´on al riesgo.
3. El mercado de seguros.
4. El problema de selecci´on de carteras.

Utilidad esperada

Una alternativa arriesgada se representa formalmente con el concepto de loter´ıa.

Definition

Una loter´ıa L es una lista

L = (x 1 , ..., xn; p 1 , ..., pn)

con pi ≥ 0 y Σni= 1 pi = 1 , donde pi es la probabilidad de que el resultado xi suceda. Para representar gr´aficamente una loter´ıa se utilizan los ´arboles:

Ejemplo 1

Example

Tiramos una moneda al aire. Gana 1 euro si sale cara y pierda un euro si sale cruz.

Paradoja de San Petersburgo

I (^) La Paradoja de San Petersburgo: En 1738 Daniel Bernouilli public´o en lat´ın en la revista de la academia de las ciencias de San Petersburgo, la paradoja siguiente:

I (^) Un casino ofrece jugar una vez al juego siguiente, si paga una entrada. Lanzar una moneda: si sale cara se acaba el juego, y gana 2 euros. Si sale cruz vuelva a salir: si ahora sale cara, se acaba el juego, y gana doble (4 euros). Si vuelve a salir cruz, tirar de nuevo, si entonces sale cara se acaba el juego y gana doble ( euros). Y as´ı sucesivamente: el juego acaba en la primera tirada que sale cara, digamos la tirada n´umero n, y el premio es 2n.

I (^) ¿Cu´al es el valor esperado de este juego?

Paradoja de San Petersburgo

I (^) Valor esperado de este juego: Con probabilidad 12 gana 2 euro; con probabilidad 14 gana 4 euros; con probabilidad 18 gana 8 euros, etc. El valor esperado:

1 2

∑^ ∞

k= 1

I (^) Qu´e entrada estar´ıais dispuestos a pagar por este juego? La mayor´ıa de gente no estar´ıa dispuesto a pagar mucho a pesar del elevad´ısimo valor esperado. Esta es la paradoja.

Aversi´on al riesgo

Definition

Un consumidor es averso al riesgo si por cualquier loter´ıa monetaria L, la loter´ıa que proporciona el valor esperado de la loter´ıa L de forma segura es preferida a la loter´ıa L.

Definition

Un consumidor es neutral al riesgo si por cualquier loter´ıa monetaria L, el individuo est´a indiferente entre L y la loter´ıa que proporciona el valor esperado de la loter´ıa L de forma segura.

Definition

Un consumidor es amante al riesgo si por cualquier loter´ıa monetaria L, el agente prefiere L a la loter´ıa que proporciona el valor esperado de la loter´ıa L de forma segura.

Aversi´on al riesgo

Theorem

Consideremos un consumidor con una funci´on de utilidad VN-M u(x). Entonces,

El consumidor es averso al riesgo ⇔ u(x) es c´oncava.

El consumidor es neutral al riesgo ⇔ u(x) es lineal.

El consumidor es amante al riesgo ⇔ u(x) es convexa.

Aversi´on al riesgo

Supongamos que puede tomar dos valores x 1 y x 2 , equiprobables.

El mercado de seguros

I (^) Estudiaremos una aplicaci´on de la teor´ıa de la utilidad esperada en el mercado de seguros.

I (^) Consideremos un consumidor que tiene un nivel de riqueza incierto.

El mercado de seguros

I (^) El problema del consumidor es el siguiente:

max 0 ≤α≤ 1 UE = πu (W − αδ) + ( 1 − π) u

W′^ − αδ + α 4

I dUE dα

πu′^ (W − αδ) (−δ) + ( 1 − π) u′^

W′^ − αδ + α 4

(4 − δ) = 0 I

πδu′^ (W − αδ) = ( 1 − π) (4 − δ) u′^

W′^ − αδ + α 4

El mercado de seguros

Definition

Un contrato de seguros es actuarialmente equitativo (o justo) si el valor esperado de la indemnizaci´on coincide con la prima. En nuestro caso, ( 1 − π) 4 = δ.

Definition

Un contrato de seguros es actuarialmente no equitativo (o no justo) si el valor esperado de la indemnizaci´on es menor que la prima. En nuestro caso, ( 1 − π) 4 < δ.

El mercado de seguros

Caso 2: El contrato de seguros es actuarialmente no

equitativo

I (^) El valor esperado de la indemnizaci´on es menor que la prima: ( 1 − π) 4 < δ I (^) ( 1 − π) (4 − δ) = ( 1 − π) 4 − ( 1 − π) δ < δ − ( 1 − π) δ = πδ I (^) ( 1 −ππδ)(4−δ) > 1 I (^) u′′^ < 0 ⇒ u′^ – decreciente ⇒

πδu′^ (W − αδ) = ( 1 − π) (4 − δ) u′^

W′^ − αδ + α 4

πδ ( 1 − π) (4 − δ) u′^ (W − αδ) = u′^

W′^ − αδ + α 4

u′^ (W − αδ) < u′^

W′^ − αδ + α 4

W − αδ > W′^ − αδ + α 4 ⇒ W − W′^ > α 4 ⇒ 4 > α 4 ⇒ α < 1

El mercado de seguros

Resultado:

I (^) Si el contrato de seguros es actuarialmente equitativo, el consumidor adquiere una cobertura total.

I (^) Si el contrato de seguros es actuarialmente no equitativo, el consumidor s´olo adquiere una cobertura parcial y, por tanto, decide soportar parte del riesgo.