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La relación entre la intensidad de corriente eléctrica, la resistencia y la diferencia de potencial en un conductor. Se define la intensidad de corriente, se discuten las unidades de medida y se analiza el estado estacionario. Además, se presenta la definición de resistencia y se discuten las unidades de medida y el efecto de la temperatura sobre la resistividad. Se incluyen ejemplos y ecuaciones para calcular la resistencia y la resistividad.
Tipo: Apuntes
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Universidad Nacional de San Juan Facultad de Ingeniería
Sea un conductor aislado por ejemplo un trozo de cualquier metal. En él, los electrones
libres se mueven irregularmente, no existiendo una dirección definida de movimiento.
Considerando una sección cualquiera del conductor, la cantidad de electrones que pasan
por unidad de tiempo en un sentido, es igual a la cantidad de electrones que pasan por
unidad de tiempo en sentido contrario, o sea que no existe un pasaje neto de electrones por
unidad de tiempo en ningún sentido.
Si se establece un campo eléctrico E en el conductor (por ejemplo, conectando sus extremos
a una batería), aparecerá una fuerza de origen eléctrico sobre los electrones, los que serán
acelerados en sentido contrario al campo, originándose así un movimiento neto de
electrones en un sentido determinado. En este caso se dice que se ha establecido una
corriente eléctrica i.
En muchos circuitos simples, como los de linternas de mano o taladros eléctricos
inalámbricos, la dirección de la corriente siempre es la misma; a esto se le llama corriente
continua. Pero los aparatos domésticos, tales como tostadores, refrigeradores y televisores
utilizan corriente alterna , lo que significa que la corriente cambia continuamente de
dirección.
Si por una sección cualquiera del conductor pasa una carga neta dq, en un tiempo dt, la
intensidad de corriente i, que es un escalar, se define así:
i =
dq
dt
Si la cantidad de carga que pasa por unidad de tiempo a través de una sección transversal
del conductor es constante, la intensidad de corriente se define así:
i =
q
t
La unidad de intensidad de corriente es el Ampere (A), la cual se introdujo anteriormente al
definir la unidad de carga, el Coulomb (C), o sea:
s
En estado estacionario la corriente es la misma para todas las secciones transversales del
conductor, aunque varíe el área de la sección transversal.
Si bien en los metales los portadores de carga son los electrones, en otras sustancias los
portadores pueden ser también iones positivos, iones negativos o ambos. Cualquiera sea la
sustancia, se considera por convención que los portadores de carga son positivos, y la flecha
con que se representa la intensidad de corriente indica el sentido en que se mueven
aquellos.
Densidad de corriente
La densidad de corriente es una magnitud microscópica relacionada con la intensidad de
corriente. Es una magnitud vectorial que se representa por j y su sentido es el del
movimiento de portadores positivos de carga.
Llamando e a la carga del electrón, la carga q que hay en el tramo de conductor es:
q = n. A. L. e
Si un electrón tarda un tiempo t en ir de 1 a 2, el módulo de la velocidad de arrastre, que
suponemos constante, es:
v
d
t
En el tiempo en el que el electrón pasó de 1 a 2, la superficie 2 fue atravesada por una carga
igual a la contenida en el trozo del conductor, ósea n.A.L.e. Luego, la intensidad de corriente
es:
i =
q
t
n. A. l. e
t
Por lo tanto:
i = n. e. v
d
. A y
j = n. e. v
d
Suponga que un conductor es un alambre con sección transversal uniforme de área A y
longitud L , como se ilustra en la figura 1. Sea V la diferencia de potencial entre los extremos
de mayor (1) y menor potencial (2) del conductor, de manera que V es positiva. La dirección
de la corriente siempre va del extremo de mayor potencial al de menor potencial. Esto se
debe a que en un conductor la corriente fluye en dirección de sin importar el signo de las
cargas en movimiento y porque apunta en la dirección del potencial eléctrico decreciente
1
2
. A medida que la corriente fluye a través de la diferencia de potencial, la energía
potencial eléctrica se pierde; esta energía se transfiere a los iones del material conductor
durante las colisiones. Si se aplica una diferencia de potencial V entre los extremos de un
conductor (conectándolo por ejemplo a una batería), se observa que circula por la una
corriente eléctrica i. Se define la resistencia R de ese trozo de conductor, de la siguiente
manera:
i
La resistencia eléctrica es una magnitud escalar y macroscópica. Resistencia ( R ) es la
oposición de un conductor al paso de la corriente i.
La unidad de resistencia en el sistema internacional es el ohm (𝛀) , o sea:
i
= Ω (ohm)
Resistividad (𝛒)
La resistividad 𝛒 de un material se define como la razón de las magnitudes del
campo eléctrico y la densidad de corriente:
ρ =
E
j
(Definición de resistividad)
Cuanto mayor sea la resistividad, tanto mayor será el campo necesario para causar una
densidad de corriente dada, o tanto menor la densidad de corriente ocasionada por un
campo dado. Ésta es una magnitud microscópica asociada con la resistencia eléctrica, y se
define así:
ρ =
j
ρ
[j]
m
m
2
= Ω. m
Un conductor perfecto tendría una resistividad igual a cero; y un aislante perfecto tendría
resistividad infinita. Los metales y las aleaciones tienen las menores resistividades y son los
mejores conductores. Las resistividades de los aislantes son mayores que las de los metales
en un factor enorme, del orden de 10
22
.El inverso de la resistividad es la conductividad. Sus
unidades son (Ω.m)
mayor que la de los aislantes. La conductividad es el análogo eléctrico directo de la
conductividad térmica. Los buenos conductores eléctricos, como los metales, por lo general
son buenos conductores del calor. Los malos conductores de la electricidad, como la
cerámica y los materiales plásticos, también son malos conductores térmicos. En un metal
los electrones libres que transportan la carga en la conducción eléctrica también son el
mecanismo principal para la conducción del calor, por lo que es de esperar que haya una
correlación entre la conductividad eléctrica y la térmica. Debido a la enorme diferencia en
conductividad entre los conductores eléctricos y los aislantes, es fácil confinar las corrientes
eléctricas a trayectorias o circuitos bien definidos.
Los semiconductores tienen resistividades intermedias entre las de los metales y las de los
aislantes. Estos materiales son importantes en virtud de la forma en que sus resistividades
se ven afectadas por la temperatura y por pequeñas cantidades de impurezas.
Un material que obedece razonablemente bien la ley de Ohm se llama conductor óhmico o
conductor lineal. Para esos materiales, a una temperatura dada, R es una constante que no
depende del valor de E. Muchos materiales muestran un comportamiento que se aparta
mucho de la ley de Ohm, por lo que se denominan no óhmicos o no lineales. En estos
materiales, J depende de E de manera más complicada. Las analogías con el flujo de fluidos
son de gran ayuda para desarrollar la intuición con respecto a la corriente y los circuitos
eléctricos.
La resistividad depende del material con el cual está construido el cuerpo, y su valor puede
obtenerse de tablas.
Para calcular la resistencia de un cuerpo hay que aplicar la ecuación (7).
Sea por ejemplo calcular la resistencia de un alambre de longitud L y sección transversal de
área A.
En este caso particular:
V = − ∫ E. dl = E. L (Esta no es una expresion general)
B
A
i = ∫ j. dA = j. A (Esta no es una expresion general)
Reemplazando V en i en la ecuación (7):
j. A
Como:
ρ =
j
R = ρ
Esta expresión es aplicable cuando la corriente fluye a lo largo del eje del cuerpo.
Si se multiplican ambos miembros de la ecuación (11) por (L/A), resulta:
ρ (
) = ρ
0
) [ 1 + α
m
(t − t
0
De (13) y (14), se tiene:
0
1 + α
m
t − t
0
R = resistencia de la temperatura t
0
= resistencia de la temperatura de referencia t
0
Si bien la ecuación (15) se obtuvo a partir de una expresión particular, su validez es general.
Sea la siguiente experiencia. Se aplica una diferencia de potencial variable entre los
extremos de un cuerpo, conductor o no, cuya temperatura se mantiene constante. Para cada
diferencia de potencial aplicada, se miden ésta y la intensidad de corriente que circula por
aquél. Luego se representa gráficamente i en función de V.
V = R ∙ I (relación entre V, R e I)
Esta ecuación suele identificarse con la ley de Ohm, pero es importante entender que el
contenido real de la ley de Ohm es la proporcionalidad directa (para ciertos materiales) de
V con respecto a I , o de J con respecto a E. La ecuación define la resistencia R para cualquier
conductor, ya sea que cumpla o no la ley de Ohm, pero sólo cuando R es constante es
correcto llamar a esta relación ley de Ohm.
Si la gráfica es una recta, la resistencia del cuerpo es constante con la temperatura
considerada, o sea es independiente de la diferencia de potencial aplicada. En este caso el
material cumple con la Ley de Ohm. Ejemplo: los conductores metálicos (Figura 3).
Figura 3. Resistor óhmico (por ejemplo, un alambre de Diodo semiconductor: resistor no óhmico
metal común): a cierta temperatura, la corriente es proporcional al voltaje.
Si la gráfica no es una recta, la resistencia del cuerpo no es constante a la temperatura
considerada, o sea que depende de la diferencia de potencial aplicada. En este caso el
material no cumple con la Ley de Ohm.
Figura 4. Diodo semiconductor: resistor no óhmico.
O sea que la Ley de Ohm es una propiedad específica de ciertos materiales y no una ley
general de electromagnetismo.
La relación R=V/i, no es un enunciado de la Ley de Ohm, sino que es la ecuación de la
definición de resistencia, la cual es aplicable a todos los cuerpos, sean éstos, metales o no.
Si esta expresión se divide entre dt , se obtiene la rapidez a la que se transfiere la energía
hacia fuera o hacia dentro de circuito (resistencia o fem). La relación de transferencia de
energía por unidad de tiempo es la potencia, y se denota mediante P ; por lo tanto,
escribimos (rapidez con la que se entrega energía a un elemento de circuito o se extrae de
éste)
P = Vab. I
Potencia (rapidez con la que se entrega o extrae energía a un elemento del circuito)
Sea el circuito de la figura 6 , formado por una batería conectada en una caja, en cuyo interior
puede haber una resistencia, un motor o un acumulador o un faro en carga. La corriente en
el circuito es constante y tiene el sentido indicado.
Figura 6. Circuito real del tipo que se muestra en la figura 5.
P = V. i
Expresión general de Potencia
Esta expresión es completamente general y expresa ritmo de transformación de energía
eléctrica en otro tipo de energía.
Si dentro de la caja hay una resistencia, como R=V/i , reemplazando V en la ecuación (16),
resulta:
P = i
2
Si en la ecuación (16) se reemplaza i, resulta:
2
Las ecuaciones (17) y (18) expresan la velocidad de transformación de energía eléctrica en
energía calorífica y se conocen como la Ley de Joule.
En el sistema internacional de unidades la potencia eléctrica se expresa en watt (W).
[P] = [V]. [i] = V. A = (
s
[P] = V. A = W (Watt)
La influencia que hace que la corriente fluya del potencial menor al mayor se llama fuerza
electromotriz (se abrevia fem). Éste es un término inadecuado porque la fem no es una
fuerza, sino una cantidad de energía por unidad de carga, como el potencial. La unidad del
SI de la fem es la misma que la del potencial, el volt (1V = 1 J/C). Una batería (pila) de linterna
común tiene una fem de 1.5 V; esto significa que la batería hace un trabajo de 1.5 J por cada
coulomb de carga que pasa a través de ella. Para denotar la fem se usará el símbolo (la letra
ε). Todo circuito completo con corriente constante debe incluir algún dispositivo que provea
una fem. Tal dispositivo recibe el nombre de fuente de fem. Algunos ejemplos de fuentes de
fem son las pilas, baterías, los generadores eléctricos. Todos estos dispositivos convierten
energía de alguna forma (mecánica, química, térmica, etcétera) en energía potencial
eléctrica y la transfieren al circuito al que está conectado el dispositivo. Las fuentes de
fuerza electromotriz, que se nombran abreviadamente fem, son dispositivos que permiten
mantener una diferencia de potencial entre dos puntos conectados con ellos. Ejemplo: las
baterías y los generadores eléctricos.
Figura 7. Esquema de circuito para representar una fem ε.
Una fem, que se simboliza por ε, y que se representa esquemáticamente de la forma
mostrada en la figura 7 , conserva la terminal 1 positiva y la 2, negativa. En el circuito
exterior a la fem, los portadores positivos de carga se mueven como indican las flechas.
La fem se representa con una flecha que apunta en el sentido en que la fuente, si actuara
sola, haría que se movieran los portadores positivos en el circuito exterior.
La fem realiza un trabajo sobre los portadores de carga que llegan a ella para moverlos de
un punto de menor potencial (terminal negativa), a otro de mayor potencial (terminal
positiva).
Sea una carga dq que llega a la terminal negativa de la fem. Si se realiza un trabajo dW para
mover esa carga hasta la terminal positiva, la fem se define así:
dW
dq
La unidad de ℇ es, por lo tanto:
[ε] =
[q]
= V (Volt)
El trabajo que realiza la fem se transforma en energía potencial eléctrica de la carga
transportada. Por lo tanto, se puede definir una fuente de fem como “ un dispositivo en el
cual se transforma, reversiblemente, energía química, mecánica, o de otro tipo en
energía eléctrica ”.
cuando una corriente fluye a través de una fuente de la terminal negativa b a la terminal
positiva a , la diferencia de potencial V ab
entre las terminales es:
AB
= ε − i ∙ r
Por lo tanto, una fem real debería representarse como se muestra en la figura 9.
Figura 9. Representación de fem real.
Si se considera r=0, tenemos una fem ideal.
No hay que confundir los conceptos de fem y diferencia de potencial. La diferencia de
El análisis de los circuitos eléctricos más complejos se facilita con la aplicación de dos
reglas simples que se denominan leyes de Kirchhoff. Antes de enunciarlas, definiremos dos
términos empleados en ellas:
Nodo o nudo: es un punto donde se unen 3 o más conductores.
Malla: es una trayectoria conductora cerrada.
Rama : Trayectoria conductora entre dos nodos. En el circuito hay tantas corrientes como
ramas tenga el mismo.
Primera ley de Kirchhoff
Esta es una forma de expresión del principio de conservación de la carga y dice que “ la
suma algebraica de las corrientes que concurren a un nodo es cero ”.
Válida para cualquier nodo
Segunda ley de Kirchhoff
Esta es una forma de expresión del principio de conservación de la energía y expresa que
“ la suma algebraica de las diferencias de potencial en cualquier espira, malla o
circuito cerrado, incluso las asociadas con las fem y las de elementos con resistencia u
otro elemento debe ser igual a cero ”.
Válida para cualquier malla o circuito cerrado
Convenciones de signo para la regla de las espiras
Para aplicar la regla de las espiras, se necesitan algunas convenciones de signos. A
continuación, se da una descripción rápida. Primero suponga un sentido de la corriente en
cada ramal del circuito e indíquelo en el diagrama correspondiente. En seguida, a partir de
cualquier punto del circuito, realice un recorrido imaginario de la espira sumando las fem y
los IR conforme los encuentre. Cuando se pasa a través de una fuente en la dirección de - a
+, la fem se considera positiva; cuando se va de + a - , la fem se considera negativa. Cuando
se va a través de un resistor en el mismo sentido que el que se supuso para la corriente, el
término IR (caída de potencial en la resistencia) es negativo porque la corriente avanza en
el sentido del potencial decreciente. Cuando se pasa a través de un resistor en el sentido
opuesto a la corriente que se supuso, el término IR es positivo porque representa un
aumento de potencial. La aplicación de las leyes de Kirchhoff a la resolución de redes
eléctricas puede verse en los problemas resueltos.
Figura 10. Convenciones de signos para a) fem y para b) resistores.
Existen dos tipos básicos de asociación: a) En serie. B) En paralelo.
a) Asociación en serie
Figura 11. Diagrama de circuito eléctrico (asociación en serie).
Cuando en un circuito se conectan las resistencias de modo que la corriente que las atraviesa
es la misma, se duce que están asociadas en serie. Ese es el caso de las resistencias R 1
2
y
3
de la figura.
Se llama resistencia equivalente a las anteriores, a la resistencia única que, cuando se le
aplica la misma diferencia de potencial que al conjunto de aquella (V = V 1
2
3
) , permite
el pasaje de la misma corriente (i).
Aplicando la segunda Ley de Kirchhoff al circuito anterior se tiene:
1
2
3
Un instrumento medidor de corriente por lo general se conoce como amperímetro (o
miliamperímetro, micro amperímetro, etcétera, según su escala). Un amperímetro
(representado por A en la figura 13) siempre mide la corriente que pasa a través de él. Un
amperímetro ideal, tendría una resistencia igual a cero, por lo que si se incluyera en un
ramal de un circuito no se afectaría a la corriente que circula por el ramal. Los amperímetros
reales siempre tienen una resistencia finita, pero es deseable que sea tan pequeña como sea
posible. Un medidor puede adaptarse para medir corrientes mayores que su lectura de
escala completa si se conecta a él un resistor en paralelo. Un amperímetro se conecta en
serie con la carga en la cual se requiere medir la corriente que la atraviesa.
El dispositivo que mide el voltaje se llama voltímetro (o mili voltímetro, entre otros
nombres, según sea su escala de medición) representado por V en la figura 13. Un voltímetro
siempre mide la diferencia de potencial entre dos puntos a los que deben conectarse sus
terminales. Un voltímetro ideal tendría resistencia infinita, por lo que si se lo conectara
entre dos puntos de un circuito no se alteraría ninguna de las corrientes. Los voltímetros
reales siempre tienen resistencia finita, pero un voltímetro debería tener resistencia
suficientemente grande como para que al conectar el aparato en paralelo a una carga (por
ej. Resistencia) del circuito, la corriente no cambie de manera apreciable.
Figura 1 3. Método del amperímetro-voltímetro para medir la resistencia.
En los circuitos que hemos analizado hasta este momento hemos supuesto que todas las fem
y resistencias son constantes (independientes del tiempo), por lo que los potenciales, las
corrientes y las potencias también son independientes del tiempo. Pero en el simple acto de
cargar o descargar un capacitor se encuentra una situación en la que las corrientes, los
voltajes y las potencias sí cambian con el tiempo. Muchos dispositivos importantes
incorporan circuitos en los que un capacitor se carga y descarga alternativamente. Éstos
incluyen marcapasos cardiacos, semáforos intermitentes, luces de emergencia de los
automóviles y unidades de flash electrónico. Comprender lo que pasa en esa clase de
circuitos tiene gran importancia práctica.
Figura 14. Circuito R-C para cargar o descargar un capacitor.
La figura muestra un circuito para cargar o descargar un capacitor se llama circuito R-C. Un
circuito como éste, que tiene un resistor y un capacitor conectados en serie al llevar la llave
S a la posición 1, se establece una corriente i en el circuito, y comienza el proceso de carga
del capacitor.
constante y una resistencia eléctrica igual a cero ( r = 0 ), y se desprecia la resistencia de
todos los conductores de conexión.
Se comienza con el capacitor descargado; después, en cierto momento inicial, t = 0 , se cierra
el interruptor S , lo que completa el circuito y permite que la corriente alrededor de la espira
comience a cargar el capacitor. Para todos los efectos prácticos, la corriente comienza en el
mismo instante en todas las partes conductoras del circuito, y en todo momento la corriente
es la misma en todas ellas.
La fem crea en los conductores del circuito un campo eléctrico E que no varía con el tiempo,
mientras que las cargas que se van acumulando en las armaduras del capacitor crean un
campo E’ , opuesto al anterior y cuyo modulo va aumentando a medida que transcurre el
tiempo. Cuando los módulos de ambos campos se igualan, termina el proceso de carga del
capacitor y la corriente en el circuito se hace cero.
Llamaremos:
R
y
x
= Diferencia de potencial entre los extremos de la resisitencia.
C
z
y
= Diferencia de potencial entre armaduras del capacitor.
x
u
= Diferencia de potencial entre las terminales de la fem.
Para determinar cómo varia la carga del capacitor con el tiempo hay que aplicar la
segunda Ley de Kirchhoff al circuito de la figura:
x
u
y
x
z
y
R
C
Por definición de resistencia, R =
V
i
, por lo tanto V
R
= i. R
Por definición de capacitancia, C =
q
V
, por lo tanto V
C
q
C
dq
´
q
´
− Cε
q
0
dt
´
t
0
Se efectúa la integración y se obtiene
ln
q − Cε
−Cε
t
Se aplica la función exponencial (es decir, se toma el logaritmo inverso) y se despeja
q , para obtener:
q − Cε
−Cε
= e
−t
R.C
⁄
Despejando q :
q = Cε[ 1 − e
−t/RC
] ( 7. 10 ) circuito RC en carga capacitor
Si derivamos la (7.10) respecto del tiempo obtenemos i :
i =
dq
dt
ε
R
. e
−t
R.C
⁄
(7.11) circuito RC en carga capacitor
Esta ecuación muestra como varia la carga del capacitor con el tiempo. La gráfica
correspondiente se puede ver en la figura 15.
Para t=0 , de (7.10) y (7.11) resulta:
q=0 (carga inicial del capacitor)
i =
dq
dt
ε
Para un tiempo infinitamente grande, t = ∞ resulta
q = Cε,
que es la carga de equilibrio , o final, del capacitor.
i =
dq
dt
Esta ecuación muestra como varia la corriente en el circuito con el tiempo.
La cantidad RC que aparece en (7.10) y (7.11) tiene las dimensiones de un tiempo y se llama
constante de tiempo capacitiva, representándose por τc, o sea que:
τ
C
Luego (7.10) y (7.11) también puede escribirse así:
q = Cε[ 1 − e
−t/τ
C
] (7.12)
i =
dq
dt
ε
) e
−t/τ
C
( 7. 13 )
Si en (7.12) se hace t=τ C
, resulta q =0.63C .ε, o sea que se puede definir la constante de
tiempo capacitiva como el tiempo que tarda el capacitor en alcanzar en 63 por ciento
de su carga de equilibrio o carga máxima (C.ε )
Si bien se necesita un tiempo infinito para que el capacitor se cargue totalmente, el capacitor
se puede considerar cargado una vez que han transcurrido cinco constantes de tiempo
desde el comienzo del proceso de carga. Esto se puede comprobar haciendo t igual a 5 τ C
en
la (7.12), con lo que resulta q= 0.99 C.ε.
A partir de la (7.12) y teniendo en cuenta la definición de capacitancia, se obtiene la ecuación
que da la variación con el tiempo de la diferencia de potencial entre los extremos del
capacitor:
C
= ε[ 1 − e
−t/τ C
A parir de la (7.13), y teniendo en cuenta la definición de resistencia, se obtiene la ecuación
que da la variación con el tiempo de la diferencia de potencial entre los extremos de la
resistencia:
R
= εe
−t/τ
C
( 7. 15 )
Al principio, la corriente inicial es I 0
y la carga del capacitar vale cero. La corriente tiende a
cero en forma asintótica, y la carga del capacitor se aproxima en forma asintótica a su valor
final Qf.
Figura 15.
o
ε
R
f
= C. ε τ
C
Si en el circuito se vuelca la llave S a la posición 2 el capacitor se descarga.
