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Capítulo 1
CAMPO ELÉCTRICO I
1.1. INTRODUCCIÓN
En este apartado introduciremos las definiciones y expresiones más im- portantes que se utilizarán en los problemas que se proponen y resuelven en este capítulo.
1.1.1 CARGA ELÉCTRICA La carga eléctrica es un atributo de las partículas elementales que la poseen caracterizado por la fuerza electrostática que entre ellas se ejerce. Dicha fuerza es atractiva si las cargas respectivas son de signo contrario, y repulsiva si son del mismo signo. En el sistema internacional SI la unidad de carga es el culombio. La carga libre más pequeña que se conoce es la correspondiente al elec- trón = 1 60 × 10 −^19 culombios [C].
1.1.2 DISTRIBUCIONES DE CARGA ELÉCTRICA Las distribuciones de carga puntuales se caracterizan por que suponemos la carga concentrada en el punto donde está situada cada una de las cargas que componen la distribución.
1.1.3 DISTRIBUCIONES CONTINUAS Son aglomerados de carga que desde un punto de vista macroscópico pueden ser caracterizados por densidades de carga. Se definen las densidades por la relación entre la suma de todas las cargas que hay en un volumen, superficie o longitud elemental y dicho volumen, superficie o longitud. Densidad volumétrica de carga
= l´ım ∆→ 0
Densidad superficial o
= l´ım ∆→ 0
Densidad lineal
= l´ım ∆→ 0
1.1.4 LEY DE COULOMB
La ley de Coulomb establece que la fuerza entre dos cargas puntuales, es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente propor- cional al cuadrado de la distancia, cuya dirección es la de la recta que une las cargas y el sentido depende de los respectivos signos, de atracción si son de signo opuesto y de repulsión si son del mismo signo.
F =
^0
|r − r^0 |^3
(r − r^0 ) [N] (1.4)
Figura 1.1 Figura 1. 1.1.5 CAMPO ELÉCTRICO Campo eléctrico es la región del espacio donde la fuerza electrostática actúa. Intensidad de campo eléctrico E, es el límite al que tiende la fuerza sobre una carga de prueba ∆, producida por una distribución de carga, cuando
^0 por ^0 o ^0 , y por o , respectivamente. Las expresiones para el campo eléctrico en el caso de distribuciones superficiales y lineales son:
E =
Z
(r^0 )(r − r^0 ) |r − r^0 |^3
^0 (1.10)
E =
Z
(r^0 )(r − r^0 ) |r − r^0 |^3
^0 (1.11)
1.2. PROBLEMAS
PROBLEMA 1.
Disponemos tres cargas 1 , 2 , 3 sobre una circunferencia de radio un metro como indica la figura P1.1; 1 = , 2 = 3 = − 2.
- Calcular el campo eléctrico creado en el centro de la circunferencia.
- Calcular la fuerza ejercida sobre la carga 1.
Figura P1. Solución
- Calculamos el campo en el centro de la circunferencia, teniendo en cuenta el principio de superposición y su aplicación al caso de un sistema de cargas puntuales. Es decir, el campo será la suma vectorial de los campos creados por cada una de las cargas. Aplicando la ecuación (1.7), con:
r = 0 r 1 = u ; r 2 = − (ucos + u sen )
r 3 = (ucos − usen ) y |r − r| = con = 1, 2 , 3
E 1 =
^2
(−u)
E 2 =
^2
(u cos + u sen )
E 3 =
^2
(−u cos + u sen )
- Suponiendo que la carga = 9 está distribuida uniformemente sobre el segmento de recta comprendido entre los puntos (0, 4 , 0) y (0, − 4 , 0), calcular el campo en los puntos (1, 0 , 0) y (10, 0 , 0). Comparar los resultados obtenidos en 1) y 2).
Figura P1. Solución
- Campo debido a las cargas puntuales Para calcular el campo en los puntos indicados, recurrimos a la ecuación (1.7). 1.1) Punto (1, 0 , 0)
r = u ; r = sen u para 0 ; r = −sen u para 0
sen = , ( = 1 4) → |r − r| = = (1 + ^2 )^1 ^2 Dada la simetría de la distribución, las componentes u al sumar se anulan, ya que, salvo la situada en O, cada carga tiene otra situada de forma simétrica.
E 1 =
Ã
u +
X^4
=
(u − sen u)
^3
X^4
=
(u + sen u)
^3
Operando y sustituyendo obtenemos:
E 1 =
Ã
X^4
=
(1 + ^2 )^3 ^2
u '
1 98 u
1.2) Punto (10, 0 , 0) Se procede en forma análoga al caso anterior, con la diferencia de que ahora r = 10u, y = (10^2 + ^2 )^1 ^2.
E 2 =
Ã
X^4
=
(10^2 + ^2 )^3 ^2
u '
8 21 × 10 −^2 u
- Campo debido a la distribución lineal de carga En el cálculo que vamos a realizar en este apartado, se supone que existe una distribución lineal de carga = 9 8 (C/m). Los campos se calculan mediante la ecuación (1.11). 2.1) Punto (1, 0 , 0)
r = u ; r^0 = u ; ^0 = ;
¯r − r^0
¯ = = (1 + ^2 )^1 ^2
E^01 =
Z 4
− 4
(u − u) (1 + ^2 )^3 ^2 Integrando por componentes, quedan de la forma siguiente: Z (^4)
− 4
(1 + ^2 )^3 ^2
(1 + ^2 )^1 ^2
− 4
171 ^2
para u
Z (^4)
− 4
(1 + ^2 )^3 ^2
(1 + ^2 )^1 ^2
− 4
= 0 para u
Llevando los cálculos anteriores a E^01 , obtenemos:
E^01 '
2 18 u
2.2) Punto (10, 0 , 0) Procedemos de manera similar al caso anterior, poniendo ahora: r = 10u y = (10^2 + ^2 )^1 ^2. La integral que no se anula en este caso es:
Z (^4)
− 4
(10^2 + ^2 )^3 ^2
10(10^2 + ^2 )^1 ^2
− 4
El campo E queda de la forma,
Z 2
− 2
cos = 2
- Campo Aplicaremos la ecuación (1.11) para calcular el campo en el punto O. Dada la simetría de la distribución con respecto al eje X, la componente del campo será nula. Los vectores de posición r y r^0 son respectivamente:
r = 0 ; r^0 = cos u + sen u ;
¯r − r^0
Los límites de integración son los indicados en el apartado 1).
E =
Z 2
− 2
cos (− cos u − sen u) ^3 La integración de la parte correspondiente a la componente es de la forma
R
sen cos = (12)sen^2 , que entre los límites indicados es nula, por tanto sólo queda la componente .
E =
Z 2
− 2
− cos^2
u = −
sen 2 4
− 2
u
E = −
u
- Punto sobre el eje X Para calcular la distancia a que debemos colocar una carga = 2, que produzca el mismo campo en O, se igualará el campo que crea en el punto de coordenada con el obtenido en el apartado anterior.
8
4 ^2
por tanto deducimos que
)^1 ^2
Dado que el campo tiene la dirección u ( 0) y por ello,
= 2 −^1 ^2
es la coordenada del punto donde debemos situar la carga . PROBLEMA 1. Sobre una capa semiesférica de radio , tenemos una distribución super- ficial de carga uniforme = 1 C/m^2. Calcular el campo eléctrico en el centro O de la figura P1.4.
Figura P1. Solución Se trata de una distribución superficial de simetría cilíndrica, por tan- to aplicaremos la ecuación (1.10) para calcular el campo en el centro O. Teniendo en cuenta la citada simetría al sumar las contribuciones de ^0 sobre la semiesfera sólo quedan las componentes en la dirección del eje Z. Las componentes perpendiculares se anulan pues cada ^0 tiene otro elemento simétrico que produce una componente perpendicular al eje Z del mismo módulo pero de signo contrario.
r = 0 ; r^0 = u ;
¯r − r^0
¯ (^) = ; ^0 = ^2 sen Cada componente sobre el eje Z es proporcional a,
(r − r^0 ) · u = −u · u = − cos Teniendo en cuenta la ecuación (1.10) y las relaciones anteriores,
Z 2
0
Z 2
0
^2 sen ^3 cos = −
sen^2
0 El vector campo tiene sentido hacia 0 por tanto,
E = −
u
Teniendo en cuenta las consideraciones anteriores y la ecuación (1.10), podemos calcular de la forma siguiente:
Z 2
0
Z 2
0
^2 cos sen ^3
cos =
cos^3
0 Realizando operaciones obtenemos,
→ E = −
u
PROBLEMA 1. Sobre un plano indefinido tenemos dos distribuciones de carga. Una den- sidad superficial de carga uniforme − sobre un círculo de radio y otra de signo contrario sobre el resto del plano, véase la figura P1.6.. Aplicando el principio de superposición, calcular el campo eléctrico sobre el eje Z.
Figura P1. Solución Las distribuciones de carga propuestas son equivalentes a las siguientes: una distribución uniforme sobre todo el plano, incluido el círculo de radio , y una distribución − 2 sobre el círculo de radio . El cálculo del campo eléctrico, aplicando el principio de superposición a la distribución indicada anteriormente, es el que obtendríamos con la distribución propuesta en el problema. Los cálculos correspondientes a cada distribución los haremos utilizando la ecuación (1.10).
- Campo debido al círculo de radio y densidad − 2 La distribución tiene simetría cilíndrica con eje el Z. El campo eléctri- co en cualquier punto del eje Z, dada la simetría de la distribución, sólo
tiene componente en la dirección de dicho eje, ya que cada elemento − 2 ^0 tiene un simétrico que produce una componente perpendicular al eje Z de signo contrario, véase la figura P1.6., por lo que al integrar se anulan las componentes perpendiculares al eje Z. Como se indica en la figura P1.6.,
r = u ; ^0 = ^0 ^0 ; r^0 = ^0 cos u + ^0 sen u
¯¯ r − r^0
= (^2 + ^02 )^1 ^2
Las componentes en la dirección del eje son proporcionales a,
u · (r − r^0 ) = Aplicando la ecuación (1.10) y teniendo en cuenta las condiciones par- ticulares del problema expresadas anteriormente,
Z 2
0
Z
0
− 2 ^0 ^0
(^2 + ^02 )^3 ^2
(^2 + ^02 )^1 ^2
0
= −
Ã
(^2 + ^2 )^1 ^2
El significado de || es el siguiente: El campo tiene el mismo módulo, tanto para 0 como para 0 , pero el sentido es opuesto, el sentido de −u para 0 y u para 0.
- Campo debido al plano con la distribución El planteamiento es similar al caso anterior, lo que varía es la densidad superficial de carga y los límites de integración para ^0.
Z 2
0
Z ∞
0
^0 ^0
(^2 + ^02 )^3 ^2
(^2 + ^02 )^1 ^2
0 =
El campo eléctrico en este caso tiene el sentido de u en la zona de 0 y el de −u para 0. El campo eléctrico total será:
tiene un simétrico, que produce una componente perpendicular al eje Z del mismo módulo pero de signo opuesto, con lo que al integrar se anula la componente perpendicular al eje Z. Los distintos elementos de la ecuación (1.10) en este caso son:
r = 0; r^0 = u ;
¯r − r^0
¯ (^) = ; ^0 = ^2 sen La componente en la dirección del eje Z es proporcional a:
(r − r^0 ) · u = −u · u = − cos
Z 2
0
Z 12
0
^3 cos sen ^3
sen^2
0 El campo E en O será:
' 1 67 × 10 −^2
→ E ' 1 67 × 10 −^2
u
PROBLEMA 1. Una esfera de material dieléctrico, se taladra diametralmente, dejando un hueco cilíndrico de radio = 10−^2 . El hueco se puede considerar filiforme en comparación con el radio de la esfera. Véase la figura P1.8. Sobre la esfera, salvo en el hueco cilíndrico, se distribuye un densidad de carga uniforme . Aplicando el principio de superposición calcular el campo eléctrico E en el punto P.
Solución La distribución indicada en el problema es equivalente a las dos distribu- ciones siguientes: Una esfera con una distribución uniforme y un hilo de radio y altura 2 con una densidad lineal tal que 2 = (−)^22 , es decir, = −^2 .
- Campo creado por la esfera Dicho campo es el mismo que si consideramos toda la carga sobre la esfera situada en su centro. Con los datos de la figura OP^2 = 4^2 − ^2 , es decir, OP =
3 , por tanto,
E 1 =
3 ^2
Z
^0 u =
3 ^2
^3 u
E 1 =
u
Figura P1.
- Campo creado por el hilo Para dicho cálculo utilizamos la ecuación (1.11) y las siguientes condi- ciones particulares del problema:
r = u ; r^0 = u ; ^0 = ;
¯r − r^0
¯ = (^2 + ^2 )^1 ^2
Los límites de integración son − y ; =
E 2 = −
Z
−
(u − u) (^2 + ^2 )^3 ^2 La integración de cada componente, produce lo siguiente: Componente u
^2 (^2 + ^2 )^1 ^2
−
Componente u
^2 (^2 + ^2 )^1 ^2
−
(^2 + ^2 )^1 ^2
Sustituyendo los valores de = −^2 × 10 −^4 y =
E 2 = −
10 −^4
u
Sumando los valores obtenidos en 1) y 2) calculamos E,
Calculamos el campo integrando la distribución de carga que representa el anillo. Usaremos coordenadas cilíndricas, pero con el eje Y como eje del anillo. Aplicamos la siguiente ecuación para el campo,
E 2 () =
Z
0
(r^0 )(r − r^0 )^0 |r − r^0 |^3 Donde, en nuestro caso, y para el punto P, suponiendo que ^0 ' ya que ¿ .
(r^0 ) = − ; r = 2 u ; r^0 ' u
¯¯ r − r^0
4 ^2 + ^2
5 y ^0 = ^2 La integral se extiende al volumen del anillo, y la única variable es , cuyos límites son 0 y 2 . Rescribimos la integral,
E 2 (P) =
− ^2
Z 2
0
(2 u − u) (
5)^3
− ^2
Z 2
0
(2u − u) 25 Resolvemos la integral para cada componente de los vectores u y u, que son: Z (^2)
0
u = 0
El resultado es nulo por que se trata de la suma de vectores radiales que varían para cada ángulo de la circunferencia, de manera que u() = −u( + ).
Z (^2)
0
2 u = 2 2 u = 4u
Sustituyendo en la ecuación anterior:
E 2 (P) =
−^2
u Ahora ya podemos escribir el campo total como E(P) = E 1 + E 2
E(P) =
u −
^2
u =
Ã
^2
u
PROBLEMA 1.
Sobre un sector truncado de una esfera de ángulo 60 como el indicado en la figura P1.10, existe una distribución de carga uniforme . Calcular el campo eléctrico en el punto O debido a la distribución de cargas.
Figura P1. Solución El campo eléctrico en el punto O debido a la distribución de carga dada se calcula mediante la expresión
E =
Z
0
^0 (r − r^0 ) |r − r^0 |^3 En este caso r = 0 y r^0 = ^0 u. ^0 = ^02 sen ^0 . Sustituyendo en la ecuación anterior,
E =
Z
− ^0 u ^02 sen ^0 ^03
Z
u sen ^0 Dada la simetría de la distribución al sumar las componentes sólo nos queda la que corresponde al eje Z. O de otra manera, como u en coordenadas cilíndricas es u = u cos + u sen ; al considerar todas las variaciones del ángulo , u tiene signo opuesto en + con respecto al valor en , por tanto al integrar dicha componente se anula, en consecuencia,
E = −
Z
u cos sen ^0 Los intervalos de variación para y son: varía entre 0 y 2 , entre 0 y 6 , y ^0 entre y .
