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ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍA
Elementos fundamentales de la Geometría
OBJETIVOS
- Conocer los elementos fundamentales de la Geometría y su representación.
- Aprender las definiciones fundamentales obtenidas a partir de los elementos fundamentales.
- Encontrar la medida de ángulos en figuras geométricas utilizando los postulados y teoremas de ésta sección. Términos básicos no definidos La Geometría tiene tres entes o elementos fundamentales no definidos: punto , recta y plano. Punto El punto es el primer elemento que no está definido en Geometría. Se representa gráficamente por un pequeño círculo y una letra mayúscula que lo identifica. La siguiente figura muestra tres puntos A, B y C. A B C Recta El segundo término no definido de la Geometría Euclideana es el de recta, aunque se entiende que una recta es un conjunto infinito de puntos que se extienden indefinidamente en sentidos opuestos. Para referirse a una recta, se seleccionan dos puntos sobre ella; la recta queda determinada por dichos puntos. Una recta también se puede identificar por una letra minúscula. La figura siguiente muestra la recta AB que pasa por los puntos A y B. La recta de la figura también está identificada como la recta l. A B l Plano
El tercer término no definido de la Geometría Euclideana es el de plano. Se entiende que un plano es una superficie totalmente plana que se extiende indefinidamente. Una mesa de vidrio o la cubierta de un escritorio da la idea de un plano. Un plano se representa geométricamente por una figura de cuatro lados y una letra mayúscula. La siguiente figura representa al plano P. Definiciones fundamentales A partir de los elementos fundamentales se pueden definir otros elementos de la Geometría, en ésta sección se definen algunos de ellos. Espacio Está formado por todos los puntos posibles y contiene infinitos planos. Puntos colineales Son todos los puntos que están situados sobre una misma recta. Puntos coplanares Son todos los puntos que están situados en un mismo plano. Segmento de recta El segmento de recta AB está formado por todos los puntos entre A y B incluyendo los puntos A y B. La longitud de un segmento es la distancia entre sus puntos extremos. Para indicar que la longitud del segmento AB es 5 escribimos AB 5. La siguiente figura muestra el segmento de recta AB. A B Rayo o semirecta El Rayo AB está formado por todos los puntos que se extienden en una sola dirección a partir del punto A pasando por el punto B. El punto A se llama origen o punto extremo del rayo. La siguiente figura muestra el Rayo AB. P
Ángulo recto Es un ángulo cuya medida es 90º y usualmente se representa con una pequeña escuadra en el vértice del ángulo. Ángulo obtuso Es un ángulo cuya medida es mayor de 90º pero menor que 180º, en la figura se muestra un ángulo obtuso de 150º A Ángulo llano Es un ángulo cuyos lados son rayos opuestos. La medida de un ángulo llano es 180º 180º A EL TRIANGULO Un triángulo en geometría plana es un polígono de tres lados. Los puntos comunes a cada par de lados se denominan vértices del triángulo. A 50 º A 90 º 150 º
Un triángulo tiene tres ángulos interiores, tres pares congruentes de ángulos exteriores, 2 tres lados y tres vértices entre otros elementos. Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico. ELEMENTOS VÉRTICES Cada uno de los puntos que determinan un triángulo. Tal como los vértices de un polígono, suelen ser denotados por letras latinas mayúsculas: Un triángulo se nombra entonces como cualquier otro polígono, designando sucesivamente sus vértices, por ejemplo ABC. En el caso del triángulo, los vértices pueden darse en cualquier orden, porque cualquiera de las 6 maneras posibles (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA), corresponde a un recorrido de su perímetro. Esto ya no es cierto para polígonos con más vértices. LADOS Cada par de vértices determina un segmento, que se conoce como lado del triángulo. No interesa el orden de los vértices para nombrar un lado de modo AB, BA nombran a un mismo lado. Los lados del triángulo se denotan, como todos los segmentos, por sus extremos: AB, BC y AC. Para nombrar la longitud de un lado, por lo general se utiliza el nombre del vértice opuesto, convertido a minúscula latina: La suma de los lados de un triángulo se conoce como perímetro, denotado por p o ÁNGULOS Cada par de lados con origen común el vértice de un triángulo y que contienen dos de esos lados concurrentes se llama ángulo del triángulo u -ocasionalmente- ángulo interior.
TEOREMA DE PITÁGORAS
El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusaes igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos. Es la proposición más conocida entre las que tienen nombre propio en la matemática. TEOREMA DE PITÁGORAS En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. El teorema de Pitágoras fue comprobado en el siglo VI a.C. por el filósofo y matemático griego Pitágoras, pero se estima que pudo haber sido previo a su existencia, o demostrado bajo otra denominación. El teorema de Pitágoras tiene este nombre porque su demostración, sobre todo, es esfuerzo de la escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros. Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación. 3 La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5. CUADRILÁTEROS En geometría plana, un cuadrilátero o tetrágono es un polígono de cuatro lados y cuatro vértices La palabra "cuadrilátero" procede de dos palabras latinas quadri, que significa cuatro, y latus, que significa lado.
Los cuadriláteros según su forma se dividen en complejos y simples, y estos a su vez se dividen en cóncavos y convexos, y estos a su vez pueden estar o no inscritos o circunscritos. ELEMENTOS DE UN CUADRILÁTERO Los elementos de un cuadrilátero son los siguientes: 4 vértices: puntos de intersección de los lados que conforman el cuadrilátero. 4 lados: segmentos que unen los vértices contiguos. 2 diagonales: segmentos cuyos extremos son dos vértices no contiguos. 4 ángulos interiores: el determinado por dos lados contiguos. 4 ángulos exteriores: el determinado por la prolongación de uno de los lados sobre un vértice y el contiguo en el mismo vértice. CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS DELTOIDES TIPOS DE PARALELOGRAMOS Los cuadriláteros se clasifican según el paralelismo de sus lados, sus longitudes y sus ángulos interiores: Paralelogramo: sus lados opuestos son paralelos. Cuadrado: todos sus lados son iguales, todos sus ángulos interiores son rectos, sus diagonales son iguales y perpendiculares entre sí, tiene una circunferencia inscrita y otra circunscrita. Rombo: todos sus lados son iguales, cada par de ángulos agudos y obtusos son opuestos, sus diagonales son distintas y perpendiculares entre sí, son bisectrices, tiene una circunferencia inscrita. Rectángulo: sus lados opuestos son iguales dos a dos y los paralelos, todos sus ángulos interiores son rectos, sus dos diagonales son iguales pero no son perpendiculares entre sí y tiene una circunferencia circunscrita. Romboide: sus lados opuestos son iguales dos a dos, cada par de ángulos agudos y obtusos son opuestos, sus dos diagonales son de distinta longitud y no son perpendiculares entre sí.
La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad o circunferencia goniométrica. ÁNGULOS Y ARCOS EN LA CIRCUNFERENCIA Sabes del curso pasado que el ángulo A mide 45° y es un ángulo agudo, y que el ángulo B mide 90° y es un ángulo recto. Si sumamos estos ángulos obtenemos el ángulo A+B =135°, que es un ángulo obtuso. En este tema estudiaremos ángulos en una circunferencia, mediremos los ángulos y el arcocorrespondiente, y por último, veremos alguna propiedad de los ángulos de un polígono. Los ángulos en la circunferencia son: Ángulo interior es el que tiene el vértice dentro de la circunferencia. Ángulo central es el que tiene el vértice en el centro de la circunferencia.
Ángulo inscrito es el que tiene el vértice sobre la circunferencia y sus lados son dos secantes. Ángulo semiinscrito es el que tiene el vértice dentro de la circunferencia, un lado es secante y el otro tangente a la circunferencia.
LÍNEA POLIGONAL
Se denomina línea poligonal o línea quebrada al conjunto de segmentos, unidos sucesivamente por sus extremos donde el extremo de cada uno es origen del siguiente, tal que dos segmentos sucesivos no están alineados, en tal caso se considera ambos como un único segmento. POLIGONO REGULAR En geometría, se denomina polígono regular a un polígono cuyos lados y ángulos interiores son iguales entre sí. Los polígonos regulares de tres y cuatro lados se llaman triángulo equilátero y cuadrado, respectivamente. Para polígonos de más lados, se añade el término regular (pentágono regular, hexágono regular, octágono regular, etc.). Solo algunos polígonos regulares pueden ser construidos con regla y compás. ÁREAS DE FIGURAS PLANAS Área de figura plana es una medida de extensión de una superficie. En las áreas de superficie planas o polígonos que son superficies planas de lados rectos; estas pueden triangularse para obtener sus áreas. Entre los polígonos tenemos: el triángulo, rectángulo, rombo, cuadrado, romboide, trapecio, etc. Área del rectángulo: es el área más sencilla para calcular. Es el resultado de multiplicar la longitud de sus lados o también, como se dice habitualmente, se obtiene multiplicando la base (b) por la altura (h). Fórmula: Área del rectángulo = base · altura A = b · h Área del paralelogramo: Si consideramos el paralelogramo ABCD. La base AB desde C y D se hace perpendiculares sobre la base AB. Los triángulos ADM y BCN son iguales. Por tanto, el área del paralelogramo ABCD es la misma que la del rectángulo MNCD. Observamos que las dos figuras tienen la misma base y la misma altura. Este proceso nos permite afirmar que el área de un paralelogramo es, también, el producto de su base por su altura. Fórmula: Área del paralelogramo = base · altura A = b · h Área del cuadrado: en un cuadrado la base y la altura son iguales a su lado y por tanto: Fórmula: Área del cuadrado de lado c = lado al cuadrado A = c Área del triángulo: consideremos un triángulo cualquiera ABC, de base AB. Dibujemos una paralela a AB que pase por C y una paralela a AC que pase por B. Éstas se encuentran en un punto D. El área de las figuras planas Los triángulos ABC y BCD serán iguales. Por tanto, la superficie del paralelogramo ABCD será el doble del área del triángulo ABC.
Fórmula: Área del paralelogramo ABCD = 2 · área del triángulo ABC O bien, Área del triángulo ABC = área del paralelogramo: 2 Como la base y la altura del paralelogramo son la base y la altura del triángulo obtendremos: Fórmula: Área del triángulo = base por altura dividido por 2 / A = b · h : 2 ÁREAS Y VOLÚMENES DE SOLIDO PRISMA Un prisma es un poliedro con dos caras congruentes paralelas llamadas las bases que son polígonos. El volumen de un sólido de 3 dimensiones es la cantidad de espacio que ocupa. Las unidades de volumen están dadas en unidades cúbicas (pulg 3 , pies 3 , cm 3 , m 3 , etcétera). Asegúrese de que todas las medidas estén en las mismas unidades antes de calcular el volumen. El volumen V de un prisma es el área de la base B por la altura h. EJEMPLO: Encuentre el volumen del prisma mostrado.
Esfera proviene del término griego σφαῖρα, sphaîra, que significa pelota (para jugar). Coloquialmente hablando, se emplea la palabra bola, para describir al cuerpo delimitado por una esfera. COMO SUPERFICIE La esfera (superficie esférica) es el conjunto de los puntos del espacio tridimensional que tienen la misma distancia a un punto fijo denominado centro; tanto el segmento que une un punto con el centro, como la longitud del segmento, se denomina radio. En este caso se genera al rotar una semicircunferencia, usando como eje de rotación su diámetro. 2 Este concepto se usa al definir la esfera en geometría analítica del espacio. COMO SÓLIDO La esfera (sólido esférico) es el conjunto de puntos del espacio tridimensional que están, respecto del centro, a una distancia igual o menor que la longitud de su radio. Este concepto coincide con la definición de bola cerrada en el análisis real de ℝ3. Se genera al rotar un semicírculo, teniendo como eje de rotación su diámetro. 3 En esta situación, topológicamente, se puede hablar de frontera( Fr) el conjunto de puntos de la esfera de distancia igual al radio; interior ( Int), el conjunto de puntos de distancia menor que el radio; exterior (Ext), el conjunto de puntos de distancia mayor que el radio. Cumpliéndose que estos tres conjuntos forman una partición del espacio, de modo que son disjuntos dos a dos y la unión de los tres es el mismo espacio. CILINDRO En geometría, un cilindro es una superficie de las denominadas cuádricas formada por el desplazamiento paralelo de una recta llamada generatriz a lo largo de una curva plana, denominada directriz del cilindro. Si la directriz es un círculo y la generatriz es perpendicular a él, entonces la superficie obtenida, llamada cilindro circular recto, será de revolución y tendrá por lo tanto todos sus puntos situados a una distancia fija de una línea recta, el eje del cilindro. El sólido encerrado por esta superficie y por dos planos perpendiculares al eje también es llamado cilindro. Este sólido es utilizado como una superficie Gausiana. En geometría diferencial, un cilindro se define de forma general como cualquier superficie reglada generada por una familia uniparamétrica de líneas paralelas. SUPERFICIE CILÍNDRICA
La superficie cilíndrica está conformada por rectas paralelas, denominadas generatrices, las cuales contienen los puntos de una curva plana, denominada directriz del cilindro. La superficie lateral cilíndrica se obtiene mediante el giro de una recta alrededor de un eje. Las superficies cilíndricas pueden ser: Superficie cilíndrica de revolución: si todas las generatrices equidistan de un eje, paralelo a ella. Superficie cilíndrica de no revolución: si no existe un eje que equidiste de las generatrices. CONO En geometría, un cono recto y es un sólido de revolución generado por el giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Al círculo conformado por el otro cateto se denomina base y al punto donde confluyen las generatrices se llama vértice o cúspide,como ejemplo puedes tomar el cono del helado que comes es un triangulo con una bola. Superficie cónica se denomina a toda superficie reglada conformada por el conjunto de rectas que teniendo un punto común (el vértice), intersecan a una circunferencia no coplanaria. ELEMENTOS Directriz Es una curva plana, por cuyos puntos pasa una recta que también pasa por un punto fijo. Vértice Es el punto fijo exterior al plano de la directriz. Ordinariamente, las respectivas semirrectas originadas por el vértice, generan dos partes de la superficie llamadas mantos. Generatriz Es la recta que pasa por el punto fijo y un punto de la directriz, la unión de estas rectas constituye la superficie cónica. Base Si la directriz es una circunferencia, el sólido limitado por la respectiva superficie cónica y el círculo que clausura la circunferencia se llama cono circular recto. Y el círculo respectivo se llama base del cono.
cartesianas se determinan las coordenadas al origen como la longitud de cada una de las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes. La denominación de 'cartesiano' se introdujo en honor de René Descartes, quien las utilizó por primera vez de manera formal. El sistema en sí es un sistema bidimensional, que se denomina plano cartesiano. El punto de intersección de las rectas, por definición, considera como el punto cero de las rectas y se conoce como origen de coordenadas. Al eje horizontal o de las abscisas se le asigna los números reales de las equis ("x"); y al eje vertical o de las ordenadas se le asignan los números reales de las yes ("y"). Al cortarse las dos rectas, dividen al plano en cuatro regiones o zonas, que se conocen con el nombre de cuadrantes: Primer cuadrante "I": Región superior derecha Segundo cuadrante "II": Región superior izquierda Tercer cuadrante "III": Región inferior izquierda Cuarto cuadrante "IV": Región inferior derecha El plano cartesiano se utiliza para asignarle una ubicación a cualquier punto en el plano. En la gráfica se indica el punto +2 en las abscisas y +3 en las ordenadas. El conjunto (2, 3) se denomina "par ordenado" y del mismo modo se pueden ubicar otros puntos. Las coordenadas cartesianas se usan por ejemplo para definir un sistema cartesiano o sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas se denominan abscisa y ordenada. La abscisa es la coordenada horizontal y se representa habitualmente por la letra x, mientras que la ordenada es la coordenada vertical y se representa por la y. CÍRCULO Y GRAFICAS Un gráfico circular o gráfica circular, también llamado "gráfico de pastel", "gráfico de tarta", "gráfico de torta" o "gráfica de 360 grados", es un recurso estadístico que se utiliza para representar porcentajes y proporciones. El número de elementos comparados dentro de una gráfica circular suele ser de más de cuatro. El gráfico circular más temprano conocido se atribuye generalmente al escocés William Playfair, en la obra Statistical Breviary de 1801. Se utilizan en aquellos casos donde interesa no solamente mostrar el número de veces que se dan una característica o atributo de manera tabular sino más bien de manera gráfica, de tal manera que se pueda visualizar mejor la proporción en que aparece esa característica respecto del total.
A pesar de su popularidad, se trata de un tipo de gráfico poco recomendable debido a que nuestra capacidad perceptual para estimar relaciones de proporción o diferencias entre áreas de sectores circulares es mucho menor que, por ejemplo, entre longitudes o posiciones, tal y como sucede en otras gráficas. GRÁFICAS Y FUNCIONES En matemáticas, la gráfica de una función es un tipo de representación gráfica que permite conocer intuitivamente el comportamiento de dicha función. Más formalmente dada una función: El gráfico es el conjunto de todos los pares ordenados (x, f(x)) de la función f, es decir, como un subconjunto del producto cartesiano X×Y. Se representa gráficamente mediante una correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen. Las únicas funciones que se pueden trazar de forma no ambigua mediante líneas, son las de una sola variable, con un sistema de coordenadas cartesianas, donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada representa el valor correspondiente del conjunto imagen. Si la función es continua, entonces la gráfica formará una línea recta o curva. En el caso de funciones de dos variables es posible visualizarlas de forma unívoca mediante una proyección geométrica, pero a partir de tres variables tan solo es posible visualizar cortes (con un plano) de la función para los que los valores de todas las variables, excepto dos, permanezcan constantes. Algún software de representación usa además colores, o curvas de nivel lo cual se puede lograr una representación satisfactoria. El concepto de gráfica de una función se generaliza a la gráfica de una relación. Notar que si bien cada función tiene una única representación gráfica, pueden
