FACULTAD DE INGENIERÍA
UNAM
INGENIERÍA GEOMÁTICA
M. EN I. ADOLFO REYES PIZANO
E
lementos
del
elipsoide
De duc ció n m ate mát ica
Se presenta la deducción matemática de cada uno de los elementos del elipsoide
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Elementos del elipsoide: Achatamiento, Excentricidad y Coordenadas., Diapositivas de Ingeniería
La deducción matemática de los elementos básicos del elipsoide geométrico, incluyendo el achatamiento, la excentricidad y las coordenadas cartesianas en función de las normales mayores y menores. El texto también incluye la transformación de latitud geodésica a latitud geocéntrica.
Tipo: Diapositivas
2021/2022
1 / 8
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FACULTAD DE INGENIERÍA
UNAM
INGENIERÍA GEOMÁTICA
M. EN I. ADOLFO REYES PIZANO
Elementos del
elipsoide
Deducción matemática
Se presenta la deducción matemática de cada uno de los elementos del elipsoide
Contenido
- DEDUCCIÓN DE LOS ELEMENTOS DEL ELIPSOIDE
- ACHATAMIENTO:
- EXCENTRICIDAD:
- “N” COORDENADAS CARTESIANAS DE M EN FUNCIÓN DE LA NORMAL MAYOR “N” Y NORMAL MENOR
- LATITUD GEOCENTRICA
- ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA ELIPSE MERIDIANA
- COORDENADAS CARTESIANAS
- DETERMINACION DE LOS PARAMETROS “N” y ”n”
- TRANSFORMACIÓN DE LATITUD GEODÉSICA A LATITUD GEOCÉNTRICA
La ecuación de la elipse con centro en el origen: 1 ( ) 2
2
2
2
2
- = K b
y
a
x
Sustituyendo (1) en (2):
( )
2 2
2
2
2
= −
a e
y
a
x
Despejando y^2 Obtenemos:
LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE MERIDIANA
( )( 1 ) ( 3 )
2 2 2 2 y = a − x − e K
COORDENADAS CARTESIANAS DE M EN FUNCIÓN DE LA NORMAL MAYOR
“N” Y NORMAL MENOR “N”
n
y
sen ϕ=
y = nsen ϕK^ ( 4 )
N
x
cos ϕ =
x = N cos ϕK^ ( 5 )
R
y
sen ϕ'=
y = Rsen ϕ'K ( 6 )
R
x
cos ϕ' =
x = R cos ϕ'K ( 7 )
En función de φ
En función de φ’
LATITUD GEOCENTRICA
Dividiendo (6) entre (7) =tan ϕ'K( 6 ')
x
y
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA ELIPSE MERIDIANA
tan K ( ) 8
dy
dx ϕ= −
COORDENADAS CARTESIANAS
FINALMENTE LAS COORDENADAS CARTESIANAS SE OBTIENEN DESARROLLANDO LO SIGUIENTE
Desarrollamos la ecuación (3)
( )( )
2 2 2 2 y = a − x 1 − e
2 2 2 2 2 2 2 y = a − a e − x + e x
Diferenciando:
ydy xdx e xdx
2 2 =− 2 + 2
( )
2
1 2 2
K
esen ϕ
a N
−
= Normal mayor
Por otro lado de la expresión (10)
( 1 ) tan ( 10 )
2 y = x − e ϕK
y las expresiones (4) y (5)
y = nsen ϕK ( 4 )
x = N cos ϕK ( 5 )
Tenemos:
( )
( 1 ) ( 13 ')
cos 1 tan
2
2
n N e K
nsen N e
Sustituyendo la normal N en (13’)
( )
( )
2
1 2 2
2
K
esen ϕ
a e n
−
= Normal menor
Si hacemos ( 1 ) ( 15 )
2
1 2 2
r = − e sen ϕ K
Entonces
( )
r
a e n
r
a N
2 1 − =
Si φ = 0 Si φ = 90
N = a b
a N
2
=
a
b n
2
= n =b
TRANSFORMACIÓN DE LATITUD GEODÉSICA A LATITUD GEOCÉNTRICA
De (10)
( )
( ) ϕ
1 tan
1 tan
2
2
e x
y
y x e
De (6’)
tan ' ( 1 ) tan ( 19 )
tan '
2
ϕ ϕK
e
x
y
Con estas ecuaciones se puede calcular: φ n N x y φ’