eliminación gaussiana, Diapositivas de Métodos Numéricos

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ELIMINACIÓN

GAUSSIANA

Eliminación gaussiana.

La eliminación gaussiana es una herramienta eficaz para los sistemas de ecuaciones lineales con un tamaño razonable. Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas puede considerarse en términos del álgebra o bien de la geometría. Desde el punto de vista geométrico, cada ecuación lineal representa una recta en el plano 𝑥𝑦 , en el que las rectas se cruzan satisface ambas ecuaciones y es la solución que se está buscando. El punto de vista geométrico es muy útil para visualizar las soluciones de los sistemas, pero para calcular la solución con una gran precisión es necesario regresar al álgebra. El método conocido como la eliminación gaussiana es una manera eficaz de resolver 𝑛 ecuaciones con 𝑛 incógnitas.

Ejemplo.

Considere el sistema 𝑥 + 𝑦 = 3 3𝑥 − 4𝑦 = 2 Solución: es posible restar 3 veces la primera ecuación de la segunda a fin de eliminar la variable 𝑥 de la segunda ecuación. Si se resta 3 [𝑥 + 𝑦 = 3 ] de la segunda ecuación, queda el sistema: 𝑥 + 𝑦 = 3 −7𝑦 = − 7

A partir de la ecuación inferior, puede “resolverse hacia atrás" hasta encontrar una solución completa, como en −7𝑦 = − 7 → 𝑦 = 1 y 𝑥 + 𝑦 = 3 → 𝑥 + 1 = 3 → 𝑥 = 2 Por lo tanto, la solución es 𝑥, 𝑦 = 2 , 1.

Ejemplo.

Aplique la eliminación gaussiana en forma de tabla para el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 3 2𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 3 −3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = − 6 Lo anterior se escribe en forma de tabla como 1 2 − 1 2 1 − 2 − 3 1 1

Se requieren dos pasos para eliminar la columna 1: y un paso más para eliminar la columna 2 :

Conteo de operaciones.

Lema. Para cualquier entero positivo 𝑛, (a) 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 𝑛 = ! !"# $ y (b) 1 $^ + 2 $^ + 3 $^ + 4 $^ + ⋯ + 𝑛$^ = 𝑛(𝑛 + 1 )(2𝑛 + 1 )/ 6 La forma general de la tabla para 𝑛 ecuaciones con 𝑛 incógnitas es

Para llevar a cabo la etapa de eliminación, es necesario poner ceros en el triángulo inferior, utilizando las operaciones por renglón permitidas. El paso de eliminación puede escribirse como el ciclo for 𝑗 = 1 ∶ 𝑛 − 1 eliminate colum 𝑗 end donde, “eliminate column j (eliminar la columna j), significa “usar operaciones por renglón para poner un cero en cada lugar por debajo de la diagonal principal, que son los lugares 𝑎%"#, 𝑎%"$, … , 𝑎!%. Por ejemplo, para realizar la eliminación en la columna 1, deben ponerse ceros en 𝑎$#, … , 𝑎!#. Esto puede escribirse como el siguiente ciclo dentro del ciclo anterior: for 𝑗 = 1 ∶ 𝑛 − 1 for 𝑖 = 𝑗 + 1 ∶ 𝑛 eliminate entry 𝑎 𝑖, 𝑗 end end

Si se cuentan las operaciones, esto requiere una división (para encontrar el multiplicador 𝑎$#/𝑎##), además de 𝑛 multiplicaciones y 𝑛 sumas. La operación por renglón usada para eliminar la entrada 𝑎&# de la primera columna, es decir, requiere un número similar de operaciones.

El procedimiento antes descrito se realiza mientras el número 𝑎## es diferente de cero. Este número y los demás 𝑎&& que a la larga se convierten en divisores en la eliminación gaussiana, se denominan pivotes. Un pivote igual a cero hará que el algoritmo se detenga, como se ha explicado hasta ahora. Observe que la eliminación de cada entrada 𝑎&# en la primera columna utiliza una división, 𝑛 multiplicaciones y 𝑛 adiciones/sustracciones, o 2 𝑛 + 1 operaciones en total. La colocación de ceros en la primera columna requiere una repetición de estas 2 𝑛 + 1 operaciones un total de 𝑛 − 1 veces. Después de eliminar la primera columna, se utiliza el pivote 𝑎$$ para eliminar la segunda columna de la misma manera y después de eso las columnas restantes. Por ejemplo, la operación por renglón usada para eliminar la entrada 𝑎&% es

Ahora son necesarios dos comentarios sobre este fragmento de código: en primer lugar, cuando se pide al índice 𝑘 que pase de 𝑗 a 𝑛 se coloca un cero en la ubicación 𝑎&% ; sin embargo, al pasar de 𝑗 + 1 a 𝑛 es una codificación más eficiente. Ésta no pondrá un cero en la entrada 𝑎&% , ¡que era la entrada que se trataba de eliminar! Aunque esto parece ser un error, observe que nunca se regresa a esta entrada en el resto de la eliminación gaussiana o en el proceso de sustitución hacia atrás. Así que en realidad la colocación de un cero en esa posición representa un paso perdido desde el punto de vista de la eficiencia. En segundo lugar, se pide que el código se detenga, con el comando error de Matlab , si se encuentra un pivote cero. Como se mencionó esta posibilidad se considerará con mayor seriedad cuando se analicen los intercambios de renglón. Puede hacerse un conteo total de operaciones para el paso de eliminación de la eliminación gaussiana. La eliminación de cada 𝑎&% requiere el siguiente número de operaciones, incluyendo las divisiones, las multiplicaciones y las sumas/restas:

Conteo de operaciones para el paso de

eliminación en la eliminación gaussiana.

El naso de eliminación para un sistema de n ecuaciones con n variables puede completarse en $ '

'

$

$ − ( ) 𝑛 operaciones. En general, el conteo exacto de operaciones es menos importante que las estimaciones del orden de magnitud, puesto que los detalles de la implementación en los diferentes procesadores de computadora difieren. El punto principal es que el número de operaciones es proporcional al tiempo de ejecución del algoritmo. Con frecuencia se hace la aproximación de eliminación, que es una aproximación razonablemente exacta cuando n es grande.

Después de completar la eliminación, la tabla es triangular superior: En forma de ecuación,