La Elipse: Definición, Ecuaciones y Propiedades Geométricas, Diapositivas de Matemáticas

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L A E L I P S E

Definición. La elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, situados en el mismo plano, llamados focos, es una cantidad constante y mayor que la distancia entre los focos.

La posición del eje focal define la posición de la elipse: horizontal, si su eje focal es paralelo o coincide con el eje x (Figura 1.1a); vertical, si su eje focal es paralelo o coincide con el eje y (Figura 1.1b); o inclinada. Si la posición de la elipse es inclinada, se recurre a la rotación de ejes para analizarla.

Figura 1.1a. (^) Figura 1.1 b.

Si P ( x , y ) es un punto cualquiera de la elipse, de acuerdo con la definición de esta curva P debe satisfacer la condición: 2  2 2   x  c (^) 2  y  2 a   x  c  y  x  c  2  y 2  2   x^ ^ c  2  y (^2)  2   2 a      x 2  2 xc  c 2  y 2  4 a 2  4 a  x  c  2  y 2  x 2  2 xc  c 2  y 2 4 a  x  c  2  y 2  4 a 2  4 xc FP  F ' P  2 a ; donde a > c Al sustituir en la fórmula para calcular la distancia de cada segmento se tiene:  x  c  2   y  0  2   x  c  2   y  0  2  2 a Desarrollando:

 a  x^ ^ c  2  y (^2)  2  (^)  a 2  xc  2   a 2  x 2  2 xc  c 2  y 2  a 4  2 a 2 xc  x 2 c 2 x 2 a 2 ^2 a 2 xc  a 2 c 2  a 2 y 2  a 4  2 a 2 xc  x 2 c 2 x 2 a 2 ^ x 2 c 2  a 2 y 2  a 4  a 2 c 2 x 2  a 2  c 2  a 2 y 2  a 2  a 2  c 2  Como a  c , a 2  c 2 y la expresión (^)  a 2  c 2  ^0 puede ser reemplazada por un número positivo b 2

b

2 ^ a 2  c 2 Sustituyendo : b 2 x 2 ^ a 2 y 2  a 2 b 2 Y dividiendo por (^) a 2 b 2 :   1 a 2 b 2 x 2 y 2

Características de la ecuación de una elipse : ^1 x 2  y 2 b 2 a 2 Centro: C (0, 0) Eje focal: eje y Vértices: V ( ) y V ’(0, – a ) Focos: F (0, c ), F ’(0, – c ) Distancia focal: 2 c Longitud del eje mayor: 2 a Longitud del eje menor: 2 b Longitud de cada lado recto: 2 b 2 a Excentricidad: c a 2  b 2 e    1 a a

Cuando una elipse tiene su centro en otro punto cualquiera ( h , k ) del plano y su eje focal es paralelo al eje x , la ecuación que la define se encuentra suponiendo que los ejes se trasladan de manera que el nuevo origen O’ coincida con el centro ( h , k ) de la curva.

En este caso, lo único que se modifica son las coordenadas de los focos y de los vértices, Centro: C ( h , k ) Eje focal: paralelo al eje x Vértices: V ( h + a , k ), V ’( h – a , k ) Focos: F ( h + c , k ), F ’( h – c , k ) Cuando el eje focal es paralelo al eje y , la elipse es vertical y su ecuación, referida a los ejes x ’ y y ’, es:

b 2 a 2

x '



y '

 Aplicando las ecuaciones de transformación se obtiene   1 b 2 a 2  x  h  2  y  k  2

Sus elementos son: Centro: C ( h , k ) Eje focal: paralelo al eje y Vértices: V ( h , k + a ), V ’( h , k – a ) Focos: F ( h , k + c ), F ’( h , k – c ) En ambos casos los demás elementos de la curva permanecen igual: Distancia focal: 2 c Longitud del eje mayor: 2 a Longitud del eje menor: 2 b Longitud de cada lado recto: 2 b 2 a Excentricidad: e  c  1 a

para la cual se necesita tener el valor de b , el semieje menor. Puesto que se conocen a y c , b se determina de la expresión que las relaciona:  1 a 2 La ecuación de la curva es del tipo b

1. Para encontrar la ecuación de la elipse con centro en el origen, un foco en el punto (0, 3) y semieje mayor igual a 5, por las coordenadas del foco se sabe que el eje focal es el eje y , y que la distancia del centro al foco es c = 3. Además, a = 5. x 2  y 2  a 2  c 2  5 2  3 2

b

2 b 2  16 b 2

x

2 

y

2  1 16 25

2. Se pueden determinar todos los elementos que caracterizan a del ejemplo representarla la elipse en el plano anterior y coordenado: Centro: C (0,^ 0) Eje focal: eje^ y Vértices: V (0,^ 5)^ y^ V ’(0,^ –5) Focos: F (0,^ 3),^ F ’(0,^ –3) Distancia focal:^2 c^ =^6 Longitud del eje mayor:^2 a^ =^10 Longitud del eje menor:^2 b^ =^8 Longitud de cada lado recto: 2 b 2  2  16   32 a 5 5 Excentricidad: c^ a 2  b 2 3 e   = < 1 a a 5

3. La ecuación de la elipse con vértices V (4, 0) y V ’(–4, 0) y excentricidad ¾ se puede obtener de la siguiente manera: Por los vértices se sabe que es una elipse con centro en el origen, que su eje focal es el eje x , y que a = 4. por lo tanto, , y c = 3. La ecuación es a Por la definición de la excentricidad: e^ ^ c 4 4 3  c Entonces b 2  a 2  c 2  4 2  3 2  7 b 2  1 x 2  y 2

4. Para la elipse cuyo eje mayor coincide con el eje x y pasa por los puntos(4, 3) y (6, 2), al considerar la fórmula Como los puntos deben satisfacer la ecuación, se tiene: Para (6, 2): Éste es un sistema de ecuaciones con dos incógnitas: a y b. Para resolverlo se puede despejar b 2 de las dos ecuaciones e igualar los valores para determinar el valor de a 2 :  1 a 2 b 2 x 2  y 2 Pa ra (4, 3): (^4)  1 2  3 2 a 2 b 2 (^16)  9  1..................... (1) a 2 b 2 (^6)  1 2  2 2 a 2 b 2 36 4 a 2 b 2   1..................... (2)