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Colisiones en una dimensión
Diego Andrés Martínez Castro 2172445 En una colisión o choque intervienen dos objetos que ejercen fuerzas mutuamente. Cuando los objetos están muy cerca entre sí o entran en contacto, interaccionan fuertemente durante un breve intervalo de tiempo. Las variables dinámicas que permiten describir cuantitativamente un proceso de colisión entre dos objetos son el momento lineal y la energía mecánica. El momento lineal está dado por la siguiente expresión:
Donde m es la masa del objeto en movimiento y 𝒗⃗⃗ su velocidad.
La energía mecánica está dada por la expresión:
Donde K es la energía cinética y U la energía potencial. La energía cinética tiene la siguiente expresión:
Y el término de energía potencial U incluye la energía potencial gravitatoria, además de otros términos, tales como energía potencial asociada a deformación elástica. En este laboratorio se estudiará la evolución de estas variables dinámicas en procesos de colisión unidimensional entre dos cuerpos. El experimento se hará sobre una superficie nivelada horizontalmente, por lo que en este caso el término de energía potencial gravitatoria es constante. Las colisiones pueden ser elásticas o inelásticas, donde una colisión elástica se caracteriza por una deformación del cuerpo seguida por una restitución durante la colisión, terminando ambos cuerpos separados y sin deformación permanente. En una colisión elástica la energía cinética del sistema antes del choque es igual que después del choque. Por otra parte, una colisión inelástica se caracteriza por una deformación irreparable (permanente) de los cuerpos terminando, en muchos casos, ambos cuerpos unidos después del choque. En este tipo de colisión no hay conservación de la energía cinética. En una colisión siempre se cumple la ley de conservación de “la cantidad de movimiento o momento lineal”. Según esta ley, en un sistema en el que no actúa ninguna fuerza externa, el momento lineal se conserva. De hecho, la 2ª ley de Newton establece que la fuerza es la variación de momento lineal con respecto al tiempo. Si dicha fuerza es cero, el momento es necesariamente constante. Ésta es una ley general de la física y se
cumple independientemente de que la colisión sea elástica o inelástica. En el caso de un sistema con dos cuerpos, la ley de conservación del momento lineal se enuncia como:
Por otra parte, para caracterizar la elasticidad de una colisión entre dos cuerpos se define un coeficiente de restitución como:
Donde V 1f y V 2f es la velocidad final del cuerpo 1 y 2 respectivamente; V 1i y V 2i son las velocidades iniciales de los cuerpos 1 y 2 respectivamente. Este coeficiente varía entre 0 y 1, siendo 1 el valor para un choque totalmente elástico y 0 para uno totalmente inelástico. Consideremos dos cuerpos que se desplazan a lo largo de una misma línea recta. Llamemos m1 y m2 a las masas de los cuerpos. En el caso de un choque, las fuerzas internas entre los cuerpos que chocan (fuerzas normales o de reacción entre los cuerpos) son muy grandes comparadas con las posibles fuerzas (ej., el peso) que actúan sobre ellas. Además, el choque ocurre en un tiempo muy breve. Así pues, podemos despreciar la acción de cualquier fuerza externa sobre las partículas. Como solo consideraremos las fuerzas de reacción interna entre los cuerpos que chocan, el momento lineal total del sistema se conserva durante el choque, i.e., el momento lineal total justo antes del choque es igual al momento lineal total del sistema justo después del choque. todas las cantidades como velocidades y momento que consideraremos son escalares. Llamemos v1 y v2 a las velocidades de las partículas de masa m1 y m2 respectivamente, justo antes del choque. Por su parte, llamemos v ′ 1 y v ′ 2 a las velocidades de las mismas partículas justo después del choque. Como hemos argumentado, el momento lineal del sistema de dos partículas se conserva, de modo que:
A partir de este punto se distinguen dos tipos de colisiones; elásticas e inelásticas. Decimos que un choque es elástico si se conserva la energía cinética del sistema durante el choque. De lo contrario, decimos que la colisión es inelástica. Colisiones elásticas: En términos de las variables descritas anteriormente, la conservación de energía cinética durante el choque se expresa de la siguiente manera:
𝒎𝟏𝒗𝟏^ 𝟐^ +
𝒎𝟐𝒗𝟐^ 𝟐^ =
𝟐
El sistema (1), (2) es un sistema de dos ecuaciones algebraicas para las incógnitas v ′ 1, v′ 2 que son las velocidades de los cuerpos justo después del choque. La forma más
En este tipo de colisiones ambas partículas se quedan pegadas después del choque. En este tipo de choques no se conserva la energía. Incluso es bastante simple calcular la pérdida de energía. Consideremos dos partículas de masas m1 y m2 respectivamente que se mueven a lo largo de la misma línea, con velocidades v1 y v2 respectivamente. Llamemos vf a la velocidad común de las partículas luego de la colisión. Aplicando conservación del momento lineal, del sistema tenemos:
Luego 𝒗𝒇 está dada por
La energía cinética inicial es la siguiente:
(𝒎𝟏𝒗𝟏^ 𝟐^ + 𝒎𝟐𝒗𝟐^ 𝟐)
En tanto la energía cinética después del choque está dada por:
La pérdida de energía cinética durante el choque queda dada por:
La cantidad μ = m1m2/(m1+m2) aparece a menudo en sistemas de dos partículas y se conoce como la masa reducida del sistema. Por otra parte, vr ≡ v2 – v1 es la velocidad relativa entre las partículas antes del choque. En términos de μ y vr, la pérdida de energía se expresa simplemente como:
𝝁𝒗𝒓^ 𝟐
Esta pérdida de energía se transforma en un cambio de la energía interna del sistema o simplemente se disipa en forma de calor. Choque inelástico: En un choque inelástico se conserva el momento lineal, pero hay pérdida de energía. Llamemos Q a la pérdida de energía cinética durante el choque. Se usará la misma notación que al principio. Entonces, la conservación del momento lineal queda expresada por (1) en tanto que el balance de energía toma ahora la forma:
𝒎𝟏𝒗𝟏^ 𝟐^ +
𝒎𝟐𝒗𝟐^ 𝟐^ =
𝒎𝟏𝒗′𝟏^ 𝟐^ +
𝒎𝟐𝒗′𝟐^ 𝟐^ + 𝑸
Donde, como se ha dicho, Q representa la energía cinética perdida en el choque. Si Q = 0, el choque es elástico, si Q > 0, como suele suceder, parte de la energía cinética se pierde en el choque, en forma de calor o en un aumento de la energía interna del sistema. El momento se conserva debido a que durante el choque no actúan fuerzas externas, esto implica que el momento del centro de masa de las partículas se conserva. Por esto conviene introducir como variables la velocidad del centro de masa (CM) y la velocidad relativa de las partículas. La velocidad del centro de masas es:
en que la última igualdad sigue de la conservación del momento lineal. Por otra parte, las velocidades relativas de las partículas, antes y después del choque son:
^
Respectivamente. Mediante álgebra encontramos que: De la misma forma después del choque: Utilizaremos estas expresiones para las velocidades de las partículas en la ecuación (2) para el balance de energía cinética. Un cálculo rápido nos muestra que: donde M = m1+m2, y una expresión análoga vale después del choque. Entonces la ecuación (2) se escribe como:
