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Los conceptos básicos de la resistencia de una viga a cargas de flexión, incluyendo el momento de inercia, esfuerzos internos y tipos de fallas. Se presentan fórmulas y ejemplos para calcular el momento de inercia y esfuerzos máximos y mínimos. Además, se discuten las características mecánicas derivadas de ensayos en flexión estática.
Tipo: Ejercicios
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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS APLICADAS CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL ENSAYO DE MATERIALES I PRÁCTICA No. 11 TEMA: MODIFICACIÓN DE LAS PROPIEDADES DEL ACERO. INTEGRANTES: · FIGUEROA ERICK · MONAR NAYELLI · MOROCHO TATIANA · MULLO DANIEL · POZO CARLOS · RIVERA STIVEN · RUIZ KEVIN · SHIGUANGO BRANDON · TRONCOS JOSÉ GRUPO: 4 SEMESTRE : 3 PARALELO : FECHA DE REALIZACIÓN: 28/09/ FECHA DE ENTREGA: 07/10/
. Carga distribuida : Una viga es un elemento estructural diseñado para soportar cargas aplicadas en varios de sus puntos. Cuando la carga por unidad de longitud w es constante sobre una parte de la viga, como entre A y B como se puede observar la ilustración se dice que la carga está distribuida uniformemente sobre esa parte de la viga (Elementos estructurales, 2015) La carga distribuida se clasifica en dos: Uniformemente variable es una presión cuyo cambio está definido por una función lineal. La carga está representada por el área rodeada por triángulos o trapecios. Uniformemente distribuidas son elementos que se aplican a toda la longitud o la mayor parte del elemento estructural. La carga distribuida suele actuar en la mayoría de los pisos. Estas cargas son el resultado de todos los materiales depositados aquí en el área de almacenamiento. Estas cargas también se denominan cargas extendidas. Es el peso o la presión distribuidos uniformemente sobre un miembro estructural de una longitud determinada (Elementos estructurales, 2015). Ilustración 2 :Carga concentrada (Análisis estructural,2016) Ilustración 3:Carga distribuida (Elementos estructurales,2015) Ilustración 4:Carga distribuida triangular (Elementos estructurales,2015)
La fibra neutra o eje neutro es la superficie material curva, de una pieza alargada o de una placa, deformada por flexión, que separa la zona comprimida de la zona traccionada. Cuando una viga se flexiona debido a una carga aplicada, las fibras por encima de un cierto plano en la viga trabajan en compresión y aquellas por abajo de este plano, a tensión. Este plano se conoce como la superficie neutra. La intersección de la superficie neutra y la sección transversal de la viga se conoce como el eje neutro como se muestra en la ilustración: Si el eje neutro corta a la sección, la divide en dos zonas, una estará traccionada y la otra comprimida. Si el eje neutro no corta a la sección, toda la sección estará comprimida o traccionada, en función del valor de los esfuerzos que la solicitan (Imaz, 2013). MOMENTO DE INERCIA El momento de inercia (I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud vectorial llamada momento de inercia, Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos (Momento de inercia, 2015). El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia solo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la Ilustración 3 :Eje neutro (Imaz.2013) Ilustración 4 :Rotación de un cuerpo solido(Momento de inercia,2015)
Eu este sentido, el radio de giro k representa la distancia a la cual se debe concentrar toda la masa del cuerpo si su momento de inercia con respecto a AA' debe permanecer inalterado, si se utilizan las unidades del SI, el radio de giro k está expresado en metros y la masa ra está expresada en kilogramos, por tanto, la unidad empleada para el momento de inercia de una masa es kg • m2. Si se utilizan las unidades de uso común en Estados Unidos, el radio de giro se expresa en pies y la masa en slugs (esto es en lb • s2/ft), por tanto, la unidad derivada empleada para el momento de inercia de una masa es lb • ft • s2 (Mecanica para ingenierios 8, 2009). El momento de inercia Ix del cuerpo se calcula integrando la ecuación sobre la masa total del cuerpo, donde “r” es el brazo de momento, o distancia perpendicular del eje que se tome al elemento arbitrario dm. Como la formulación involucra a r, el valor de I es diferente para cada eje con respecto al cual se formula. El eje que generalmente se elige para el análisis pasa por el centro de masa G del cuerpo y es siempre perpendicular al plano de movimiento. El momento de inercia calculado con respecto a este eje. Si el cuerpo está constituido de material con densidad variable p=p(x,y,z) su masa elemental dm puede ser expresada en términos de su densidad y volumen como dm=pdV. Sustituyendo dm en la ecuación entonces el momento de inercia del cuerpo es calculado usando elementos de volumen en la integración (Momento de inercia, 2015). ESFUERZOS NORMALES POR FLEXION Si las fuerzas que actúan sobre un cuerpo tienden a inducir una solicitación de tracción en una parte de su sección transversal una solicitación de compresión en la sección restante, entonces el cuerpo está sometido a flexión. Para conocer el comportamiento que reinarán en materiales que serán solicitados a esfuerzos, son realizados varios ensayos. En el ensayo realizado, se utilizó una probeta de madera prismática con sección rectangular. Es importante resaltar las características de la probeta en el momento de la prueba de resistencia, ya que de estas dependerá el comportamiento del material. Una característica relevante es que la madera utilizada no presentaba características de una madera seca sino una madera en estado húmeda, por lo que se denomina madera verde la probeta, en la primera parte fue sometida a una fuerza central de tal manera a medir la deflexión máxima. (Beer,2015) Se trata de calcular los esfuerzos internos que se producen dentro del elemento estructural denominado viga, debido a las fuerzas externas que se aplican en sentido perpendicular al eje de esta estructura, El sistema de fuerzas internas que puede actuar en una sección debido a una fuerza perpendicular externa al eje de la viga son: Una fuerza axial. Una fuerza cortante y un momento flexionante o momento flector. (Mott,2009) Formula 4:Momento de inercia I(Mecánica para ingenieros 8, 2009) Formula 5:Momento de inercia I(Mecánica para ingenieros 8, 2009)
En la presenta se trata sobre los esfuerzos correspondientes debido al momento flexionante. Sobre una sección de viga pueden actuar fuerzas o pares de fuerzas situadas en un plano que contiene a su eje longitudinal, estos pares son los que producen los momentos que a su vez produce los esfuerzos flexionantes. Si se aplican pares (momentos) a los extremos de la viga y no actúa en ella ninguna fuerza longitudinal, la flexión se llama flexión pura; una viga sometida a flexión pura solo tiene esfuerzos normales y no esfuerzos de corte. (Beer,2015) Si además del momento flexionante actuaran también simultáneamente las fuerzas axiales y cortantes se llaman esfuerzos complejos o esfuerzos combinados. En este capítulo se relacionará el momento flexionante interno con los esfuerzos que causa en la sección de una viga recta de material homogéneo e isotrópico (Beer,2015).
Aplicaciones La mayoría de las vigas que se usan en pórticos. Diversos sistemas estructurales (vigas de viviendas, colegios, universidades. etc.) Elementos de máquinas donde fuerzas externas que se aplican son perpendiculares al eje de simetría. Vigas de elementos de acero y madera vigas cantiléver (postes de energía Eléctrica) -Puentes de acero y concreto. -Vigas de techos de madera, de acero y de concreto armado (Mott,2009). . Limitaciones Todas las fuerzas aplicadas sobre una viga son constantes (estáticas y Repetidas) y se aplican sin choque o impacto. Las vigas se consideran estables bajo la acción de las cargas o fuerzas aplicadas, si fuese una viga muy alta y de poco espesor entonces sufriría Esfuerzos máximos y mínimos (tracción y compresión) Figura 1:Momento flexionante (Beer,2015)
max Es una expresión general para el esfuerzo normal en cualquier área infinitesimal de la sección de la viga a una puesto que el segmento de la viga mostrado en la figura debe estar en equilibrio, la suma de todas las fuerzas en la dirección x, que se toma horizontalmente, debe anularse, Por consiguiente, como el segmento de la viga resiste solo un par de fuerzas, la suma (o integral) de todas las fuerzas que se ejercen en la sección transversal de la viga debe ser igual a cero. Por lo tanto. (Mott,2009) distancia “y “desde el eje neutro. Por lo tanto, el eje neutro la fibra que no está en tracción ni compresión, se podrá determinar rápida y fácilmente para cualquier viga (Beer,2015) Para evaluar la magnitud de los esfuerzos. Esta ecuación es , la cual para el presente objeto se enuncia en forma más conveniente como: El momento producido por fuerzas externas M, es equilibrado por el momento interno debido a los esfuerzos por flexión que se desarrollan en la sección transversal (propiedades geométricas de la sección y el esfuerzo). Dicho momento interno se determina sumando las fuerzas que actúan sobre áreas infinitesimales dA, de la figura ya mostrada, multiplicadas por sus respectivos brazos de momento a partir del eje neutro. Al formular Matemáticamente estos enunciados se obtiene la siguiente igualdad: ESFUERZOS CORTANTES POR FLEXION
Son elementos estructurales muy usados en las constricciones para soportar cargas o darle estabilidad a las mismas, para diseñarlas es necesario conocer las fuerzas perpendiculares a los ejes y que se ejerce a lo largo de su longitud(Mott,2009).
Las vigas pueden ser: ISOSTATICAS o estáticamente determinadas: Son aquellas en las que las reacciones en los apoyos se pueden calcular utilizando las Ecuaciones Fundamentales de la Estática y pueden ser: apoyadas o en voladizo: (Mott,2009). HIPERESTATICAS o estáticamente indeterminadas: Son aquellas en las que las reacciones en los apoyos plantean más incógnitas que las que permiten resolver las Ecuaciones Fundamentales de la Estática. Para su resolución se necesitan, además de dichas ecuaciones otras basadas en la deformación de la viga y pueden ser: apoyadas y empotradas, empotradas y continuas. (Mott,2009) El elemento de la viga mostrada en la figura, se deforma de tal manera que cualquier punto un una sección transversal entre apoyos se desplaza prácticamente a las cargas. Estos desplazamientos se denomina las deflexiones o flechas del momento. Al estar las cargas ubicadas en el Eje Principal de inercia, hace que las secciones transversales se desplacen verticalmente (Mott,2009). Angulo de Flexión Se denomina ángulo de flexión al ángulo que forma la línea de una poligonal, con la prolongación de la línea o segmento anterior. El ángulo se mide siempre desde la prolongación de la línea anterior hasta la línea. Se llama flexión positiva o derecha cuando al ángulo se mide en sentido horario y negativo cuando el ángulo se mide en sentido contra horario (Mott,2009). Figura 3: Vigas apoyadas y en voladizo (Mott, 2009) Figura 4: Vigas apoyada y empotrada (Mott, 2009)
Esfuerzo de corte en la sección Es de una viga, es la componente vertical, aplicada en el baricentro de actuantes a la izquierda de S, de todas las ff actuantes a S, respecto al baricentro de S, (o de las ff a la derecha con el signo contrario) la izquierda de S, (o de las ff situadas a la derecha con signo contrario) El momento flector es máximo cuando el esfuerzo de corte es nulo, o pasa por cero (Mott,2009). Se conoce como esfuerzo cortante al que resulta de aplicar dos fuerzas paralelamente a una superficie y en sentido contrario. De esta forma se puede dividir a un objeto en dos partes, haciendo que las secciones deslicen una sobre otra(Mott,2009). Cotidianamente se aplican esfuerzos cortantes directos sobre telas, papeles o metales, ejercidos mediante tijeras, guillotinas o cizallas. También aparecen en estructuras tales como pernos o tornillos, pasadores, vigas, cuñas y soldaduras (Mott,2009) Es preciso aclarar que no siempre se pretende seccionar o cortar, pero el esfuerzo cortante sí tiende a deformar al objeto sobre el cual se aplica; por eso las vigas sometidas a esfuerzos cortantes tienden a combarse por su propio peso. Los siguientes ejemplos aclaran el punto. En la figura se muestra un esquema sencillo para ilustrar lo antes dicho. Se trata de un objeto sobre el cual actúan dos fuerzas en direcciones contrarias. Hay un plano de corte imaginario (no está dibujado) y las fuerzas actúan una a cada lado del plano, cortando en dos la barra (Mott,2009) El esfuerzo cortante puede ocasionar deformación Se puede probar a ejercer un esfuerzo cortante deslizando la mano sobre la tapa de un libro cerrado. La otra tapa debe permanecer fija sobre la mesa, lo que se puede lograr apoyando la mano libre para que no se mueva. El libro se deformará un poco con esta acción, tal como se esquematiza en la siguiente figura ( Raskeland, 2012). Si se analiza esta situación cuidadosamente, se advierten las dos fuerzas ya referidas, pero esta vez aplicadas horizontalmente ( en fucsia ). Una es la de su mano sobre una cara y la otra Figura 5: Esfuerzo cortante (Raskeland, 2021)
La constante de proporcionalidad en este caso es el módulo de corte, módulo de rigidez o módulo de cizalla (G): Esfuerzo cortante = Módulo de cizalla x Deformación unitaria τ = G. γ Con γ = ΔL/Lo , donde Δ L es la diferencia entre la longitud final y la inicial. Combinando las ecuaciones dadas, se puede encontrar una expresión para la deformación causada por el esfuerzo: El valor de la constante G se encuentra en tablas y sus unidades son las mismas que las del esfuerzo, en vista de que la deformación unitaria es adimensional. Casi siempre el valor de G es la mitad o un tercio del valor de E , el módulo de elasticidad. De hecho están relacionados mediante la expresión: Donde ν es el módulo de Poisson, otra constante elástica del material cuyo valor está comprendido entre 0 y ½. Precisamente por eso G a su vez está comprendido entre E/3 y E/ (Raskeland, 2012). Fórmula general de Flexión En esta sección se desarrollará una ecuación que relaciona la distribución del esfuerzo en una viga con el momento flexionante resultante interno que actúa en la sección de una viga con el momento flexionante resultante interno que actúa en la sección transversal de esa viga transversal de esa viga (Fuentes, 1982). σ = − y c σ max Esta ecuación describe la distribución del esfuerzo sobre el área de la sección transversal. La convención de signos establecida aquí es significativa. Para M positivo, transversal. La Figura 6: Formulas (Raskeland, 2021)
convención de signos establecida aquí es significativa. Para M positivo, que actúa en la dirección +z, los valores positivos de y proporcionan valores negativos que actúa en la dirección +z, los valores positivos de y proporcionan valores negativos para s, es decir, un esfuerzo de compresión, ya que actúa en la dirección x negativa para s, es decir, un esfuerzo de compresión, ya que actúa en la dirección x negativa (Cervera & Blanco, 2003). La posición del eje neutro de la sección transversal puede localizarse al cumplir la siguiente condición: la fuerza resultante producida por la distribución del esfuerzo siguiente condición: la fuerza resultante producida por la distribución del esfuerzo sobre el área de la sección transversal debe ser igual a cero. Considerando que la sobre el área de la sección transversal debe ser igual a cero (Mayori, 2004). La sección transversal de una viga recta se mantiene plana cuando la viga se deforma debido a la flexión. Esto provoca esfuerzos de tensión en una porción de la sección debido a la flexión. Esto provoca esfuerzos de tensión en una porción de la sección transversal y esfuerzos de compresión en la parte restante. En medio de estas transversal y esfuerzos de compresión en la parte restante. En medio de estas porciones, existe el eje neutro que se encuentra sometido a un esfuerzo cero porciones, existe el eje neutro que se encuentra sometido a un esfuerzo cero (Mayori, 2004). Debido a la deformación, la deformación longitudinal varía linealmente desde cero en el eje neutro hasta un máximo en las fibras exteriores de la viga. Siempre que el eje neutro hasta un máximo en las fibras exteriores de la viga. Siempre que el material sea homogéneo y elástico lineal, el esfuerzo también variará de forma lineal material sea homogéneo y elástico lineal, el esfuerzo también variará de forma lineal sobre la sección sobre la sección transversal (Mayori, 2004). La viga es el elemento estructural utilizado para cubrir espacios, soportando el peso colocado encima del elemento mediante la resistencia a las fuerzas internas de flexión y corte. En tal sentido el pre dimensionado de las vigas consiste en determinar las dimensiones necesarias para que el elemento sea capaz de resistir la flexión y el corte, así como también debe tener dimensiones tales que la flecha no sea excesiva. Así, el esquema para cumplir con los requisitos de una viga consiste en: Una viga es un miembro que se somete a carga transversales, es decir, perpendiculares a lo largo de su eje. La viga es un elemento constructivo que trabaja a flexión, cuyo esfuerzo genera tensiones de tracción y compresión. Cuando las vigas se encuentran en el perímetro exterior de un forjado, es posible que también se produzcan tensiones por torsión. La ingeniería y la arquitectura utilizan diversas fórmulas para calcular las pendientes y las deformaciones de las vigas a la hora de ser sometidas a distintos tipos de cargos. Estos datos son imprescindibles para el desarrollo de las construcciones (Mayori, 2004). Es la que actúa perpendicular(normal) al eje mayor de la viga en un solo punto o a lo largo de un segmento muy pequeño de la viga. Muestra la forma característica de representar Una viga que se somete a cargas Esta situación produce cargas concentradas. El peso de los tubos y su contenido determinan las magnitudes de las cargas. Si bien con frecuencia se visualizan cargas que van hacia abajo debido a la gravedad, las cargas reales pueden actuar en cualquier dirección. La que actúa efectivamente en un punto, pero cuya línea de acción forma un ángulo con el eje principal de la viga (McEvily, 2010).
