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MEMORIA TÉCNICA (ASIGNACIÓN 5)
Esta memoria técnica se divide en dos partes fundamentales:
- Cálculo de 20 log(|W (ejω^ )|) para varios tipos de funciones ventanas utilizados en el diseño de filtros digitales.
- Descripción y análisis de los métodos de diseño de filtros: Rizado constante, mínimos cuadrados y la aproximación de Padé.
En la primera parte, el cálculo de las transformadas de Fourier en tiempo discreto se complica dadas la expresiones de las funciones ventanas. Debido a que el software que se ha utilizado hasta ahora en las memorias técnicas previas (Matlab/Ocatve) es de cómputo numérico, este no proporciona una forma de calcular la DTFT de una función. Es por ello que se utilizó software de cálculo simbólico (Mathematica/Maxima) para el computo de la misma. Primero de definió la función ventana y se procedió a graficarla para N=20. Posteriormente, se calculó la expresión 20 log(|W (ejω^ )|). De esto se obtuvieron los siguientes resultados:
Ventana rectangular:
Se define como:
1 0 ≤ n ≤ N − 1 0 Resto
Figura 1: Gráfica de la ventana Rectangular para N=
Figura 2: Gráfica de 20 log|W (ejω^ )| para N=
El resultado obtenido fue el siguiente:
20
log
∗e19(Imω)|1 + eiω^ + e^2 iω^ + e^3 iω^ + e^4 iω^ + e^5 iω^ + e^6 iω^ + e^7 iω^ + e^8 iω^ + e^9 iω^ + e^10 iω^ +e^11 iω^ +e^12 iω^ +e^13 iω^ +e^14 iω^ +e^15 iω^ + e^16 iω^ + e^17 iω^ + e^18 iω^ + e^19 iω^ |))
Ventana de Hann (también conocida como ventana de Hanning, no confundir con la ventana de Hamming):
Se define como:
0 , 5 − 0 ,5(cos( (^) N^2 πn − 1 )) 0 ≤ n ≤ N − 1 0 Resto
Figura 3: Gráfica de la ventana de Hann para N=
Figura 4: Gráfica de 20 log|W (ejω^ )| para N=
El resultado obtenido fue el siguiente:
20 log
0 , 10543 ∗ eRe((0.^ −^18 .i)ω)^
∣ 0 ,256961 + 1. ∗ e(0.^ +1.i)ω^ + 2, 1486 ∗ e(0.^ +2.i)ω^ + 3, 57828 ∗ e(0.^ +3.i)ω^ +5, 13413 ∗ e(0.^ +4.i)ω^ +
6 , 64753 ∗ e(0.^ +5.i)ω^ + 7, 9545 ∗ e(0.^ +6.i)ω^ + 8, 91339 ∗ e(0.^ +7.i)ω^ + 9, 42031 ∗ e(0.^ +8.i)ω^ + 9, 42031 ∗ e(0.^ +9.i)ω^ +8, 91339 ∗ e(0.^ +10.i)ω^ + 7 , 9545 ∗ e(0.^ +11.i)ω^ + 6, 64753 ∗ e(0.^ +12.i)ω^ + 5, 13413 ∗ e(0.^ +13.i)ω^ + 3, 57828 ∗ e(0.^ +14.i)ω^ + 2, 1486 ∗ e(0.^ +15.i)ω^ +1. ∗ e(0.^ +16.i)ω^ + 0 , 256961 ∗ e(0.^ +17.i)ω^ |)
En la parte 2, se describen los siguientes métodos:
Rizado constante : Se plantea el diseño del filtro como un problema de aproximación de Tchebyshev, para ello se propone un criterio de diseño óptimo, en el sentido de que el error de aproximación entre la respuesta en frecuencia ideal y la real se reparten uniformemente en cada banda, pasante y atenuada, minimizando el error máximo en cada una de ellas. El filtro resultante presenta, pues, rizado en ambas bandas. Para su diseño consideramos 5 características:
- N : el orden del filtro.
- ωp: límite superior de la banda pasante.
- ωs: límite inferior de la banda atenuada.
- δ 1 : máximo rizado de la banda pasante.
- δ 2 : mínima atenuación de la banda atenuada.
El problema se plantea como la minimización de una función de error definida como: E(ω) = W (ω)(∆H(w)), con:
- W (ω): Máximo error permitido en cada banda.
- ∆H(w): Diferencia entre el filtro real y el filtro ideal.
Dada esta función de error, el objetivo es hallar los coeficientes h[n] que minimizan el valor de E(ω) en toda la banda, permitiendo un valor máximo del error específico dado por δ 1 y δ 2.
Aproximación por mínimos cuadrados : consta en determinar los coeficientes del sistema H(z), de manera que al colocarlo en cascada con el sistema que queremos modelar, obtengamos como resultado una señal y(n), que en el dominio temporal debería ser un impulso, cuando el modelado es exacto. Si definimos como criterio de error la suma de y^2 (n), podemos obtener los coeficientes imponiendo que dicho error sea mínimo. Lo obtenemos de la expresión:
E igualando las primeras derivadas a cero, se obtienen los valores mínimos del error:
Aproximación de Padé : con este método se busca obtener los L=M+N+1 (siendo M el grado del numerador y N el grado del denominador de la función de transferencia del sistema) coeficientes ak y bk, a partir de la minimización de la suma de los errores cuadráticos entre la respuesta impulsiva deseada y la real, de la siguiente forma:
Siendo U un límite superior escogido por el diseñador.
En general, h[n] es una función no lineal de ak y bk, sin embargo, si U=N+M, es posible hacer coincidir perfectamente las respuestas real y deseada para 0 ≤ n ≤ M + N. Si esto se cumple, el error cometido será:
Ahora, si la entrada del sistema es un impulso unitario, podemos escribirla ecuación en diferencias de mismo como:
Los coeficientes pueden obtenerse de la siguiente forma:
- Haciendo h[n] = hd[n] con M < n ≤ M + N , se obtiene ak.
- Haciendo h[n] = hd[n] con 0 < n ≤ M , se obtiene bk.
CONCLUSIONES
Las funciones ventana se utilizan cuando el análisis se centra en una señal de longitud voluntariamente limitada.
Para observar una señal en un tiempo finito, se multiplica por una función ventana.
El cálculo de la transformada de Fourier en tiempo discreto de las funciones ventana se hará mas complicado conforme aumente la longitud de la misma en el tiempo.
Los softwares de cálculo simbólico, como Mathematica, proporcionan ayuda al momento de trabajar con ecuaciones matemáticas complejas.
Los softwares de calculo numérico, como Matlab, permiten procesar una cantidad finita de datos, como los obtenidos de mediciones previas.
El método de rizado constante es más complejo en su desarrollo que el del enventanado y el de muestreo en frecuencia, pero permite un control total de las características del filtro en cuanto a frecuencias, ganancias y longitud.
La aproximación de Padé es especialmente útil cuando se conocen el número de polos y ceros (o los grados del numerador y el denominador). Sin embargo, en la práctica es muy difícil conocer estos valores.
