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EXERCICIS D’EQUACIONS LOGARÍTMIQUES
- Resoldre les següents equacions logarítmiques:
i)
2 log x −log 25 = 0
( x = 5 )
ii)
3 log x −log 32 =log
x
( x = 4 )
iii)
log
√
3 x + 1 −log
√
2 x − 3 = 1 −log 5
(
x =
13
5
)
iv)
log
3
( x
2
− 2 x + 1
) = 2
x
1
= 4 , x
2
=− 2
v)
log x + log 20 =log 100
( x = 5 )
vi)
3 log x =log x + log ( x + 2 ) ( x = 2 )
vii)
2 log x = 3 +log
x
( x = 100 )
viii)
log x = 1 +log ( 10 + 3 x ) ( ∃ solució )
ix)
( x
2
− 5 x + 9
) ⋅log 2 + log 125 = 3
x
1
= 2 , x
2
= 3
x)
( x
2
− 4 x + 7
) ⋅log 5 +log 16 = 4 (
x
1
= 1 , x
2
= 3
xi)
5 log
x
x
= 3 log x −log
( x = 3 )
xii)
2 log x −log ( x − 16 )= 2
x
1
= 20 , x
2
= 80
xiii)
log
( 25 − x
3
) − 3 log
( 4 − x
) = 0 (
x
1
=
4 +√ 3
2
, x
2
=
4 −√ 3
2
)
xiv)
log
5
( 3 x + 4 ) = 2
( x = 7 )
xv)
log
1
3
( 2 x − 5 ) =− 2
( x = 7 )
xvi)
log
2
(
x
2
− x +
5
4
)
(
x
1
=−
1
2
, x
2
=
3
2
)
xvii)
log
5
( x
3
− 2 x
2
− x + 27
) = 2
(
x
1
=− 1 , x
2
= 1 , x
3
= 2
)
xviii)
log x +log 80 = 3
(
x =
25
2
)
xix)
2 log x + log x
4
( x = 10 )
xx)
3 log ( 2 x )− 2 log x =log ( 4 x + 1 ) (
x =
1
4
)
xxi)
log
2 x
= 2 log x − 3
(
x =
2000
3
)
xxii)
1 =log x +log ( 7 − x )
x
1
= 2 , x
2
= 5
xxiii)
log 4 =log ( 3 x − 2 )−log( 2 x − 3 ) ( x = 2 )
xxiv)
log √
x + 4 + log 2 =log
( 5 x + 4
)
( x = 0 )
xxv)
log ( 16 − 3 x
2
=log ( 3 x − 4 )
( x = 2 )
xxvi)
log
( x
2
) −log
( 3 x − 1
) = 1
( x = 29 )
xxvii)
log x
2
−log
(
x +
)
x
1
=− 1 , x
2
= 11
xxviii)
log
5
√
x −log x
2
= 9 ( x = 10
− 5
)
xxix)
3 log x =log 25 +log x
( x = 5 )
xxx)
log ( x − 4 )+ log ( x − 1 )= 0 (
x =
5 +√ 13
2
)
xxxi)
2 log
( x + 1
) −log 2 =log
( x
2
− 1
)
( x = 3 )
xxxii)
log ( 4 x − 1 )−log ( 3 x − 2 )=log 2 (
x =
3
2
)
xxxiii)
log
x
2
= 1 −log 5
x =±
√
xxxiv)
log x
2
−log
10 x + 11
(
x
1
=
− 1
10
, x
2
=
11
100
)
xxxv)
log
(
35 − x
3
)
log ( 5 − x )
x
1
= 2 , x
2
= 3
xxxvi)
4 log x −log
(
x
2
4
5
)
=log 5
x
1
= 1 , x
2
= 2
xxxvii)
log 2 +log ( 11 − x
2
)
log ( 5 − x )
(
x
1
=
1
3
, x
2
= 3
)
xxxviii)
3 log
( 4 − x
) −log
( 28 − x
3
) = 0
x
1
= 1 , x
2
= 3
xxxix)
3 log x −log
( 2 x
2
) = 0 (
x
1
= 1 , x
2
= 2
Apartat iii :
log
3 x + 1 −log
2 x − 3 = 1 −log 5 ⇒ log
3 x + 1
2 x − 3
=log 10 −log 5 ⇒
⇒ log
√
3 x + 1
2 x − 3
=log
10
5
⇒
√
3 x + 1
2 x − 3
=
10
5
⇒
√
3 x + 1
2 x − 3
= 2 ⇒
(
√
3 x + 1
2 x − 3
)
2
= 2
2
⇒
3 x + 1
2 x − 3
= 4 ⇒
⇒ 3 x + 1 = 4 ⋅( 2 x − 3 ) ⇒ 3 x + 1 = 8 x − 12 ⇒ 8 x − 3 x = 1 + 12 ⇒ 5 x = 13 ⇒ x =
possible solució
Justificació:
√ 2 x − 3 =
√
√
√
√
√
∈ Dom
log y
= IR
⇒∃ log
√
(I)
√
3 x + 1 =
√
√
+ 1 ∈ Dom
log y
= IR
⇒∃log
√
(II)
↑
[
( I ) , ( II ) ]
x =
és la solució
Apartat iv :
log
3
x
2
− 2 x + 1
= 2 ⇒ log
3
x
2
− 2 x + 1
= 2 · 1 ⇒ log
3
x
2
− 2 x + 1
= 2 · log
3
3 ⇒
⇒ log
3
( x
2
− 2 x + 1
) =log
3
3
2
⇒ x
2
− 2 x + 1 = 3
2
⇒ x
2
− 2 x + 1 = 9 ⇒ x
2
− 2 x + 1 − 9 = 0 ⇒ x
2
− 2 x − 8 = 0 ⇒
⇒ x =
− b ±√ b
2
− 4 ac
2 a
[ ( a , b , c )=( 1 , − 2 , − 8 ) ]
↑
√
2
2 ±√ 4 + 32
2 ±√ 36
= 1 ± 3 ⇒ ¿
{
x
1
= 1 + 3 = 4
¿ }
¿ {} ⇒ ¿
{
x
1
= 4
¿
¿ ¿
Justificació:
x
1
− 2 x
1
2
− 2 · 4 + 1 = 16 − 8 + 1 = 9 ∈ Dom ( log y ) = IR
⇒ ∃ log
3
(
x
1
− 2 x
1
)
¿
}
¿ ¿⇒ ¿
x
1
= 4 és una solució
i
x
2
=− 2 és l'altra solució
Apartat v :
log x +log 20 =log 100 ⇒ log x =log 100 −log 20 ⇒ log x =log
100
20
⇒ log x =log 5 ⇒
⇒ x = 5 és la possible solució
Justificació:
x = 5 ∈ Dom
( log y
) = IR
⇒∃log 5 ⇒ x = 5 és la solució
Exercici 6:Éric Pie
3 log x =log x +log
( x + 2
) ⇒ log x
3
=log x +log
( x + 2
) ⇒ log x
3
=log ( x ⋅
( x + 2
) ) ⇒
⇒ x
3
= x ⋅( x + 2 ) ⇒ x
3
= x
2
3
− x
2
− 2 x = 0 ⇒
↑
[ Factor comú ]
x ⋅
( x
2
− x − 2
) = 0 ⇒
⇒
{
x
1
= 0 possible solució
x
2
− x − 2 = 0
Resoldrem la equació de segon grau
t =
− b ± √
b
2
− 4 ac
2 a
=
[( a, b, c ) = ( 1, − 1 , -2 )]
↑
−(− 1 )± √
( − 1 )
2
− 4 · 1 · ( − 2 )
2 · 1
=
1 ± √
1 + 8
2
=
1 ± √
9
2
=
1 ± 3
2
=
¿
¿
{
x
2
=
1 + 3
2
=
4
2
= 2 ¿
¿ ¿ ¿
Apartat viii :
log x = 1 +log ( 10 + 3 x ) ⇒ log x =log 10 + log ( 10 + 3 x ) ⇒ log x =log [ 10 ⋅( 10 + 3 x ) ] ⇒
⇒ x = 10 ⋅
( 10 + 3 x
) ⇒ x = 100 + 30 x ⇒ 30 x − x =− 100 ⇒ 29 x =− 100 ⇒
⇒ x =
− 100
29
possible solució
Justificació:
x =
∉ Dom (log y )= IR
⇒ ∃log
⇒ x =
no és solució ⇒
x =
− 100
29
no és solució
Apartat ix :
(
x
2
− 5 x + 9
)
⋅log 2 +log 125 = 3 ⇒log 2
x
2
− 5 x + 9
+log 125 = 3 ⋅ 1 ⇒ log 2
x
2
− 5 x + 9
+log 5
3
= 3 ⋅log 10 ⇒
⇒ log
( 2
x
2
− 5 x + 9
⋅ 5
3
) =log 10
3
⇒ 2
x
2
− 5 x + 9
¿ 5
3
= 10
3
⇒ 2
x
2
− 5 x + 9
=
10
3
5
3
⇒ 2
x
2
− 5 x + 9
=
(
10
5
)
3
⇒
⇒ 2
x
2
− 5 x + 9
= 2
3
⇒ x
2
− 5 x + 9 = 3 ⇒ x
2
− 5 x + 9 − 3 = 0 ⇒ x
2
− 5 x + 6 = 0 ⇒
⇒ x =
-b±√ b
2
-4⋅ a ⋅ c
2 ⋅ a
=
↑
[
a,b,c
=
1,-5,
]
−
(
− 5
)
± √
(
− 5
)
2
2 ⋅ 1
=
5 ±√ 25 − 24
2
=
5 ±√ 1
2
=
5 ± 1
2
⇒
⇒
¿
{
x
1
=
5 + 1
2
=
6
2
= 3 ¿
¿ ¿ ¿
Justificació:
Com podem observar a l’enunciat, l’equació inicial és de segon grau
⇒
⇒
x
2
= 2 és l'altre solució
i
x
2
= 2 és l'altra solució
{
x
1
= 3
¿
¿ ¿ ¿
↑
( I ) , ( II )
{ ¿ ¿ ¿ ¿
Exercici 12:Ari Martínez
2 log x −log
x − 16
= 2 ⇒ log x
2
−log
x − 16
= 2 log 10 ⇒ log x
2
−log
x − 16
=log 10
2
⇒ log
(
x
2
x − 16
)
=log 100 ⇒
x
2
x − 16
= 100 ⇒ x
2
= 100 ( x − 16 ) ⇒ x
2
= 100 x − 1600 ⇒
⇒ x
2
− 100 + 1600 = 0 ⇒ x =
− b ±√ b
2
− 4 ac
2 a
↑
[( a ,b ,c )=( 1 , − 100 , 1600 ) ]
√
2
{
x
1
x
2
= 20 }
⇒ x
1
= 80 i x
2
= 20 són possibles solucions.
Justificació:
x = x
1
= 80 ∈ Dom ( log y )= IR
⇒∃log x
1
( I )
}
↑
[( I ) , ( II) ]
⇒ x = 80 és una solució.
x = x
2
= 20 ∈ Dom ( log y )= IR
⇒∃log x
2
( III) ¿ }
¿ ¿ ⇒
↑
[( III ) , ( IV) ]
¿
⇒ x = 20 és l'altra solució.
Apartat xiii :
log
( 25 − x
3
) − 3 log
( 4 − x
) = 0 ⇒ log
( 25 − x
3
) = 3 log
( 4 − x
) ⇒
⇒ 25 − x
3
=( 4 − x )
3
⇒
↑
¿
¿¿
¿
¿
¿
=
16 ± √
4
2
⋅ 3
8
=
16 ± √
4
2
⋅ √
3
8
=
16 ± 4 √
3
8
=
4 ± √
3
2
⇒¿
x
1
=
4 + √
3
2
¿
¿ ¿
possibles solucions
Justificació:
x
1
:
⇒
x
1
√
és una solució
x
2
=
4 − √
3
2
:
log
5
( 3 x + 4 )= 2 ⇒ log
5
( 3 x + 4 )= 2 · 1 ⇒ log
5
( 3 x + 4 )= 2 ·log
5
⇒ log
5
( 3 x + 4 )− 2 ·log
5
5 = 0 ⇒log
5
( 3 x + 4 )−log
5
2
= 0 ⇒ log
5
3 x + 4
2
2
⇒ log
5
3 x + 4
2
=log
5
3 x + 4
2
= 1 ⇒ 3 x + 4 = 5
2
⇒ 3 x = 5
2
− 4 ⇒ x =
2
= 7 ⇒ x = 7 és la possible solució
Justificació
log
5
( 3 x + 4 )=log
5
( 3 · 7 + 4 )=log
5
( 21 + 4 )=log
5
25 =log
5
2
= 2 log
5
¿ 2 ∈ Dom ( log y )= IR
⇒∃log
5
( 3 x + 4 ) ⇒
⇒
x = 7 és la solució
OPCIÓ 2
log
5
( 3 x + 4 )= 2 ⇒ log
5
( 3 x + 4 )= 2 · 1 ⇒ log
5
( 3 x + 4 )= 2 ·log
5
⇒ log
5
( 3 x + 4 )=log
5
2
⇒ 3 x + 4 = 5
2
⇒ 3 x = 5
2
− 4 ⇒ x =
2
= 7 ⇒ x = 7 és la possible solució
Justificació
log
5
( 3 x + 4 )=log
5
( 3 · 7 + 4 )=log
5
( 21 + 4 )=log
5
25 =log
5
2
= 2 log
5
¿ 2 ∈ Dom ( log y )= IR
⇒∃log
5
(
3 x + 4
)
⇒
x = 7 és la solució
Exercici 15:Marc Herrera
=
1 ± 2
2
=¿
{
x
=
1 + 2
2
=
3
2
¿
¿ ¿ ¿
Justificació:
log
2
(
x
2
− x +
5
4
)
= 1 ⇒ log
2
(
(
)
2
)
=log
2
(
2
2
)
=log
2 (
)
↑
[ mcm ]
=log
2 (
)
=log
2 (
)
=log
2 (
)
=log
2
2 = 1 =( I )
log
2
(
x
2
− x +
5
4
)
= 1 ⇒ log
2
(
(
)
2
(
)
)
=log
2
(
2
2
)
=log
2 (
)
↑
[ mcm ]
=log
2 (
)
=log
2 (
)
=log
2 (
)
=log
2
2 = 1 =( II ) ⇒
{
x
=
3
2
¿
¿ ¿ ¿
Exercici 17:Raúl Ortiz
1 xvii ) log
5
( x
3
− 2 x
2
− x + 27
) = 2 ⇒ log
5
( x
3
− 2 x
2
− x + 27
) = 2 ⋅ 1 ⇒
⇒ log
5
( x
3
− 2 x
2
− x + 27 ) = 2 ⋅log
5
5 ⇒ log
5
( x
3
− 2 x
2
− x + 27 ) =log
5
2
⇒ log
5
( x
3
− 2 x
2
− x + 27
) =log
5
25 ⇒ x
3
− 2 x
2
− x + 27 = 25 ⇒ x
3
− 2 x
2
− x + 27 − 25 = 0 ⇒
⇒ x
3
− 2 x
2
− x + 2 = 0
Resolem aquesta equació mitjanant el mètode de Ruffini
}
{
x
1
= 1
¿
{
x
2
=− 1
¿
¿ ¿ ¿
Justificació
x
1
= 1 ∈ Dom
(
log
5
( x
3
− 2 x
2
− x + 27 )
)
= IR
⇒∃log
5
( 1
3
− 2 ⋅ 1
2
− 1 + 27 )=log
5
( 1 − 2 ⋅ 1 + 26 )=
¿
}
¿ log
5
(− 2 + 27 )=log
5
25
¿
}
x
2
=− 1 ∈ Dom
(
log
5
( x
3
− 2 x
2
− x + 27 )
)
= IR
⇒ ∃log
5
( ( − 1 )
3
− 2 ⋅( − 1 )
2
−( − 1 ) + 27 ) =
¿
}
¿ log
5
( − 1 − 2 ⋅ 1 + 1 + 27 )=log
5
( − 2 + 27 ) =log
5
25
¿
}
x
3
= 2 ∈ Dom
(
log
5
( x
3
− 2 x
2
− x + 27 )
)
= IR
⇒∃log
5
( 2
3
− 2 ⋅ 2
2
− 2 + 27 )=log
5
( 8 − 2 ⋅ 4 + 25 )=
¿
}
¿ ¿⇒ ¿
⇒
x
1
= 1 , x
2
=− 1 , x
2
= 2 són solucions
Exercici 18:Carlos Tena...???
(xviii)
log x + log 80 = 3
log x + log 80 = 3 ⇒ log ( 80 x ) = 3 ⇒ log ( 80 x )= 3 ⋅ 1 ⇒ log ( 80 x )= 3 log 10 ⇒
⇒ log
(
80 x
)
=log 10
3
⇒ 80 x = 10
3
⇒ x =
3
⇒ x =
és la possible solució
Justificació:
x =
∈ Dom
(
log y
)
= IR
⇒
és la solució
Exercici 19:Marina Selva
2 log x + log x
4
= 6 ⇒ log x
2
+log x
4
= 6 ⇒ log
( x
2
⋅ x
4
) = 6 ⋅ 1 ⇒ log x
2 + 4
= 6 log 10 ⇒
⇒ log x
6
=log 10
6
⇒ x
6
= 10
6
⇒ x =±
6
√
10
6
=± 10 són les possibles solucions
Justificació:
Per a x
1
=− 10
x =− 10 ∉ Dom
log y
= IR
⇒∃log 10 ⇒ x
1
=− 10 no és solució
Per a x
2
= 10
x = 10 ∈ Dom ( log y ) = IR
⇒ ∃log 10
¿
} ¿ ¿ ⇒ ¿
x = 10 és la solució
