¡Descarga Problemas de Geometría Lineal: Clasificación y Solución de Desplazamientos - Prof. Llerena y más Apuntes en PDF de Geometría solo en Docsity!
Equacions dels despla¸caments
Clasificaci´o dels despla¸caments
Suposem donada una afinitat f a un espai euclidia, amb equacions x∗^ = Ax + b en un referencia {O; e 1 ,... , en} en la que la matriu del producto escalar ´es G.
A = I ⇒ f ´es una translaci´o de vector u = b A = −I ⇒ f ´es una simetria central de centre el seu ´unic punt fix C = b 2 Suposem que A 6 = ±I.
- Mirem si A ´es ortogonal: AtGA = G. Suposem que ho ´es.
Cas del pla
x∗^ = ax + by + m y∗^ = cx + dy + n
- Si det A = 1, aleshores f ´es una rotaci´o de centre l’´unic punto fix, i angle α amb
cos α =
tr A =
a + d 2
Busquem el centre i aquest cosinus.
- Si det A = −1, aleshores f ´es una simetria d’eix l’´unica recta invariant, seguida d’una translaci´o paral·lela a l’eix. Busquem la recta invariant: La seva direcci´o ´es el subespai de vectors de valor propi 1; el busquem, sigui u = (p, q). La recta invariant ´es:
x∗^ − x p
y∗^ − y q
´es a dir (a − 1)x + by + m p
cx + (d − 1)y + n q
Busquem el vector translaci´o: ´es el vector determinat per un punt qualsevol de l’eix (x 0 , y 0 ) i la seva imatge: u = (x∗ 0 − x 0 , y∗ 0 − y 0 ).
Quan el vector translaci´o ´es u = ~0 l’eix ´es la ´unica recta de punts fixos. u
P
f(P)
eix
Cas de l’espai
x∗^ = a^11 x + a^12 y + a^13 z + b^1 y∗^ = a^21 x + a^22 y + a^23 z + b^2 z∗^ = a^31 x + a^32 y + a^33 z + b^3
- Si det A = 1, aleshores f ´es una rotaci´o d’angle α tal que
1 + 2 cos α = tr A
Si cos α 6 = −1, l’eix ´es l’´unica recta invariant:
(a^11 − 1)x + a^12 y + a^13 z + b^1 u^1
a^21 x + (a^22 − 1)y + a^23 z + b^2 u^2
a^31 x + a^32 y + (a^33 − 1)z + b^3 u^3
on u = (u^1 , u^2 , u^3 ) ´es un vector de valor propi 1. Recordeu que, si la referencia ´es ortonormal, hi ha una manera molt facil de calcular u [Exercici 5.7].
Si cos α = −1, f ´es una simetria axial. Aleshores A t´e un subespai de vectors propis de valor propi +1 de dimensi´o 1 i un subespai de vectors propis de valor propi −1 de dimensi´o 2. Quan la referencia ´es ortonormal, hi ha una manera molt facil de determinar una base de vectors propis [Exercici 5.9].
- Si det A = −1, aleshores f ´es una rotaci´o d’angle α tal que
−1 + 2 cos α = tr A
seguida d’una simetria respecte un pla π perpendicular a l’eix. Si cos α 6 = +1, hi ha un ´unic punt fix Q, i un ´unic subespai propi < u > amb valor propi −1. Busquem Q i u. Aleshores,
l’eix ´es Q+ < u >, π : Q+ < u >⊥
Si cos α = +1, f ´es una simetria re- specte π , que ´es l’´unic pla de punts fixos.
P
f(P)
Nota. En el full d’exercicis teniu moltes exemples.
Com trobar les equacions d’un despla¸cament
- Busquem primer la matriu A de l’aplicaci´o lineal associada. Si la base ´es ortonormal, podem fer servir les equacions vectorials que hi ha als exercicis 5.12 i 5.13:
f (x) = x − 2(u · x)u, simetria especular respecte < u >⊥ s(x) = 2(u · x)u − x, simetria axial respecte < u > g(x) = cos α x + sin α(u ∧ x) + (u · x)(1 − cos α) u, rotaci´o d’eix < u > i angle α
on u ´es un vector unitari.
- Per trobar els termes independents b de l’equaci´o del moviment: x∗^ = Ax + b , hi ha prou amb que coneixem un punt P i la seva imatge f (P ) :
b = f (P ) − A P
En particular, si coneixem un punt fix.
