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MÉTODOS NUMÉRICOS

LABORATORIO N°12: INTEGRACIÓN DE

NEWTON COTES : METODO DEL TRAPECIO

Fernando D. Siles Nates

Doctor en Ing. Mecánica Magister en Ing. de Mantenimiento Ing. Mecatrónico – CIP :

Como se puede verificar, el método del TRAPECIO se encuentra dentro del grupo

de los métodos de NEWTON COTES

El siguiente paso será HALLAR LOS LIMITES de cada uno de los subintervalos representado como “xi” En este caso “a” vendría ha ser el LIMITE INFERIOR mas la variable “i” que multiplica a Δx , con esta formula podremos encontrar los limites “x 0 ” para un valor de “i” igual a cero y sucesivamente para x 1 , x 2 y x 3 respectivamente.

Como podemos ver, en este tipo de casos encontraremos “n+ 1 ” limites para cada uno de los intervalos. Por ejemplo si tuviéramos 3 intervalos entonces el valor de “n” sería 3 y por lo tanto tendríamos “ 3 + 1 = 4 ” limites INTERVALOS DE TRABAJO LIMITES DE INTEGRACIÓN

Para continuar con el procedimiento , tenemos que recordar como se calcula el área de los trapecios. Primero se debe de conocer la ALTURA DEL LADO IZQUIERDO del trapecio en este caso “B 1 ” , también se debe de conocer el valor de la ALTURA DEL LADO DERECHO EN ESTE CASO REPRESENTADO POR “B 2 ” También si conocemos el ANCHO DEL TRAPECIO EN ESTE CASO “C” se podrá encontrar el área del mismo , revisaremos la siguiente formula:

Si hacemos una semejanza de este trapecio con el trapecio de la grafica inicial (T 1 ), se encontrará lo siguiente : Entonces T 1 (Área) es igual al ancho del trapecio ( Δx ) por la semisuma de cada uno de los lados , en este caso el lado izquierdo de t 1 en la función evaluada en x 0 y el lado derecho del mismo estará dado por la función evaluada en el punto x 1. Y por ultimo esta suma la vamos a dividir entre 2

Para el calculo del área bajo la

curva , estará dada por la suma

aproximada de las áreas de los

trapecios (T 1 +T 2 +T 3 )

Reemplazando ahora los

valores de T 1 , T 2 Y T 3 en la

fórmula , tal como se aprecia :

Como factor común se observa

que tenemos a Δ x (BASE DEL

TRAPECIO) y el valor de 2 en el

denominador , por lo tanto se

puede factorizar y quedaría de

la siguiente forma:

Sin embargo si deseamos

encontrar la REPRESENTACIÓN

DE MANERA GENERAL de la

regla del trapecio será la

siguiente

EJEMPLO DE APLICACIÓN DE LA REGLA DEL TRAPECIO

PASO N° 1 : Calculamos el valor

de “Δx” (Base del trapecio)

con la formula:

Se tiene que es la diferencia

entre el limite superior “b”

menos el limite inferior “a” entre

el número de muestras “n”

Reemplazando tenemos:

Mismo caso

del método

del rectángulo

EJEMPLO DE APLICACIÓN DE LA REGLA DEL TRAPECIO

Luego el limite 1 , es decir

cuando i= 1 , tenemos:

Para el limite 2 , es decir cuando

i= 2 , tenemos:

Para el limite 3 , es decir cuando

i= 2 , tenemos:

Para el limite 3 , es decir cuando

i= 2 , tenemos:

EJEMPLO DE APLICACIÓN DE LA REGLA DEL TRAPECIO

Luego el limite 5 , es decir

cuando i= 1 , tenemos:

Ahora usaremos los valores de la tabla para

aplicar la formula general de la regla del

trapecio

Por lo tanto en este caso, la aplicaremos de

la siguiente forma:

Reemplazando los valores , tenemos:

El siguiente paso será evaluar la función en

cada uno de los puntos que nos pide la

ecuación general , es decir: