ESCENARIO NUMERO 6 MODELOS ANOVA, Apuntes de Estadística

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Unidad 3 / Escenario 6

Lectura Fundamental

ANOVA

Contenido

1 ANOVA

Referencias

Palabras Claves: muestra, poblaci´on, hip´otesis, significancia.

1. ANOVA

1.1. Introducci´on

El an´alisis de varianza ANOVA, por sus siglas en ingl´es, se puede ver como una generalizaci´on de las pruebas de hip´otesis para la media cuando se tienen m´as de dos tratamientos (uno por cada muestra), para determinar si existen diferencias siginificativas entre las poblaciones. Por lo tanto, a trav´es de esta herramienta estad´ıstica se determina si las poblaciones ten´ıan el mismo valor para la media; por ejemplo cuando se quiere observar si existen diferencias en los tiempos de mantenimiento en v´ıas principales o secundarias a trav´es de muestras que se toman en puntos cr´ıticos de las ciudades donde se construy´o con materiales de diferente tipo. A continuacn´on se muestran otras situaciones se aplica el an´alisis de varianza.

• En la universidad U se quiere medir si existen diferencias entre los diferentes modelos pedag´ogicos que se est´an implementando actualmente en las tres modalidades que tiene la instituci´on. - Presencial. - Semipresencial. - A distancia.
• En una empresa que provee material de construcci´on para grandes superficies de mercado, existe la necesidad de cuantificar si hay diferencias entre los tipos de bloques. - Sencillo. - Con acabados. - Sup´er resistente.
• Una ensambladora de vehiculos quiere determinar si el rendimiento por gal´on presenta un mejor desempe˜no con las nuevas propuestas de motores que se dise˜naron. - 1.000 cc. - 1.050 cc. - 1.200 cc.

Cuantificar si los niveles de material particulado en el centro de la ciudad son diferentes de acuerdo a la zona donde se mide.

• Zona sur.
• Zona norte.
• Zona oriente.
• Zona occidente.

El an´alisis de varianza nos permite determinar cu´al de los factores es la fuente de la variabilidad en un conjunto de datos, cuando se tiene un esquema como el siguiente.

Figura 2: Distribuci´on de ¯x bajo H 1 Fuente: Elaboraci´on propia

En la siguiente tabla se muestra un ejemplo donde no existe diferencias ni entre los tratamientos, ni dentro de cada una de las muestras.

Tabla 2: Autonomia en kilometros por carga. Tratamiento Motor 1 Motor 2 Motor 3 Motor 4 Media Motor el´ectrico universal 50 50 50 50 50 Motor de corriente continua 50 50 50 50 50 Motor de corriente alterna 50 50 50 50 50 Media de las medias= 50 Fuente elaboraci´on propia

La tabla 3 presenta un ejemplo donde existen diferencias entre los tratamientos, pero no dentro de cada una de las muestras.

Tabla 3: Autonomia en kilometros por carga. Tratamiento Motor 1 Motor 2 Motor 3 Motor 4 Media Motor el´ectrico universal 95 95 95 95 95 Motor de corriente continua 60 60 60 60 60 Motor de corriente alterna 70 70 70 70 70 Media de las medias = 75 Fuente elaboraci´on propia

La tabla 4 trae un ejemplo donde no existen diferencias entre los tratamientos, sino dentro de cada una de las muestras.

Tabla 4: Autonomia en kilometros por carga. Tratamiento Motor 1 Motor 2 Motor 3 Motor 4 Media Motor el´ectrico universal 95 100 95 120 102, Motor de corriente continua 80 80 125 125 102, Motor de corriente alterna 120 95 100 95 102, Media de las medias= 102, Fuente elaboraci´on propia

Por ´ultimo, se presenta una tabla donde existen diferencias tanto en los tratamientos como en las muestras.

Tabla 5: Autonomia en kilometros por carga. Tratamiento Motor 1 Motor 2 Motor 3 Motor 4 Media Motor el´ectrico universal 95 85 195 55 107, Motor de corriente continua 60 66 160 56 87, Motor de corriente alterna 70 77 170 57 93, Media de las medias= 96, Fuente elaboraci´on propia

1.2. An´alisis de varianza

En s´ıntesis, el an´alisis de varianza se centra en la comparaci´on de dos estimaciones de la variabilidad com´un σ^2 de una poblaci´on.

• La estimaci´on de la variabilidad entre las medias muestrales.
• La estimaci´on de la varibilidad con los datos de cada una de las muestras

Si el resultado obtenido al comparar dichas estimaciones es casi igual, entonces no se tiene evidencia estad´ıstica suficiente para rechazar H 0 , sino que las diferencias que existen entre los tratamientos son significativas. A conti- nuaci´on se presenta una serie de ejemplos para mostrar c´omo se calcula la variabilidad y c´omo se toma la decisi´on de rechazar o no H 0.

1.3. Ejemplos

1.3.1. Planta de concreto

El gerente de una planta de concreto desea comparar la productividad que se presenta en tres regiones con base en la cantidad de pedidos por regi´on, para ello selecciona aleatoriamente cuatro meses del a˜no obteniendo los siguientes resultados.

Tabla 6: Pedidos por regi´on. Costa Centro Oriente 54 86 45 70 65 69 70 67 53 56 76 40 Fuente elaboraci´on propia

Soluci´on La pregunta a la que se dar´a respuesta es: ¿Existen diferencias entre el n´umero promedio de pedidos en las tres regiones?

Donde:

• ni es el tama˜no de la muestra i.
• k es la cantidad de muestras.
• σ^2 DM es la estimaci´on de la varianza con base en la varianza dentro de las muestras.
• S i^2 es la varianza de la muestra i.

Continuando con el ejemplo se tiene:

Tabla 8: Varianza dentro de las muestras. Regi´on S i^2 ni Costa 75,7 4 Centro 92,3 4 Oriente 160,9 4

Fuente elaboraci´on propia

Por lo tanto, el c´alculo de la σ DM^2 es el siguiente:

σ^2 DM =

σ^2 DM =

Finalmente, se realiza la prueba de hip´otesis as´ı:

A trav´es del estad´ıstico de prueba F se compara la varianza entre las muestras con la varianza dentro de las muestras.

Fc =

Para determinar si se rechaza o no la hip´otesis nula ese valor se compara con el valor de Fα.

Donde:

• Fα tiene k − 1 gn:=grados de libertad en el n´umerador
• Fα tiene n − k gd:=grados de libertad en el denominador

En este caso a un nivel de significancia del 5 % se tiene un valor cr´ıtico Fα, gn = 3 − 1 = 2 y gd = 12 − 3 = 9, por lo tanto, Fα = 4, 2565.

Al comparar Fc con Fα se puede observar que Fc > Fα y por lo tanto se rechaza la hipot´esis nula H 0. De don- de se puede concuir que s´ı existen diferencias significativas entre el n´umero promedio de pedidos en las tres regiones.

1.3.2. Soluci´on del ejemplo de la planta de concreto en Excel

La ruta para hacer el ejercicio en Excel es la siguiente.

• Instalar el complemento de Excel an´alisis de datos

Figura 3: Pantallazo en excel. Fuente: Elaboraci´on propia

• En datos, ir a an´alisis de datos.

Figura 4: Pantallazo en excel. Fuente: Elaboraci´on propia

• En an´alisis de datos seleccionar ANOVA de un factor

Figura 5: Pantallazo en excel. Fuente: Elaboraci´on propia

• Seleccionar los datos.

Referencias

[1] Montgomery, Douglas C and Runger Probabilidad y estad´ıstica aplicadas a la ingenier´ıa 1996.

[2] Walpole, Ronald E and Myers, Raymond H and Myers, Sharon L Probabilidad y estad´ıstica para ingenieros

[3] Anderson, D.R. and Sweeney, D.J. Estad´ıstica Para Administraci´on y Econom´ıa 2008.

INFORMACI ´ON T´ECNICA

M´odulo: Estad´ıstica II

Unidad 3: Pruebas de hip´otesis con dos o m´as poblaciones

Escenario 6: ANOVA

Autor: Daniel Ernesto Santiago Garnica

Asesor Pedag´ogico: Diana Marcela Salcedo D´ıaz

Dise˜nador Gr´afico: Jully Amanda Guzman

Corrector de estilo: Felipe Gar´an

Asistente: Ginna Paola Quiroga

Este material pertenece al Polit´ecnico Grancolombiano.

Por ende, es de uso exclusivo de las Instituciones

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