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Sonia L. Rueda ETS Arquitectura. UPM Curso 2007-2008. 1
MATEM ´ATICAS I
TEMA 5: ESPACIO EUCL´IDEO
1 Producto escalar. Espacio eucl´ıdeo
Definici´on 1.1. Sea V un espacio vectorial real y consid´erese una aplicaci´on
V × V −→ R (x, y) 7 → x · y
Dicha aplicaci´on recibe el nombre de producto escalar si ∀x, x′, y ∈ V y ∀λ, λ′^ ∈ R se verifica que
- x · y = y · x
- (λx + λ′x′) · y = λ(x · y) + λ′(x′^ · y)
- x · x > 0 para todo x 6 = 0. Dicho de otro modo, un producto escalar es una forma bilineal sim´etrica definida positiva.
Definici´on 1.2. Se llama espacio vectorial eucl´ıdeo a todo espacio vec- torial real E dotado de un producto escalar.
Ejemplo 1.3. En Rn,
(x 1 ,... , xn) · (y 1 ,... , yn) = x 1 y 1 + · · · + xnyn
es un producto escalar que llamaremos producto escalar can´onico. Con dicho producto, Rn^ es un espacio vectorial ecucl´ıdeo que llamaremos espacio vectorial eucl´ıdeo usual de Rn.
1.1 Expresi´on matricial del producto escalar.
Sea E un espacio vectorial eucl´ıdeo, dimE = n, B = {e 1 ,... , en} base de E. Supongamos que se conocen los productos escalares ei · ej , i, j = 1,... , n. Entonces, ∀x, y ∈ E,
x · y = XGY t^ =
∑^ n
i,j=
gij xiyj siendo gij = ei · ej , i, j = 1, 2 ,... , n G = [gij ] matrix n × n
donde X = (x 1 ,... , xn) e Y = (y 1 ,... , yn) son las coordenadas de x e y. G es una matriz sim´etrica definida positiva. Sea B′^ una nueva base de E, si P es la matriz de cambio de coordenadas de B′^ a B, la matriz del producto escalar en la nueva base es
G′^ = P tGP
es decir, G y G′^ son congruentes. Observaci´on En cualquier base de E, la matriz del producto escalar G (sim´etrica) es definida positiva.
- XGXt^ > 0, ∀X ∈ Mn× 1 , X 6 = 0.
- sigG = (n, 0), G es congruente con la matriz unidad.
- ∆ 1 > 0, ∆ 2 > 0,... ∆n > 0.
2 Normas y ´angulos
Definici´on 2.1. Sea E un espacio vectorial eucl´ıdeo. Para cualquier vector x ∈ E, se define la norma de x como
‖x‖ =
x · x.
Dicha definici´on tine sentido ya que x · x ≥ 0. Propiedades de la norma x, y ∈ E, λ ∈ R
- ‖x‖ > 0 si x 6 = 0, ‖ 0 ‖ = 0.
- ‖λx‖ = |λ|‖x‖.
- |x · y| ≤ ‖x‖‖y‖ (desigualdad de Schwarz).
- ||x + y|| ≤ ‖x‖ + ‖y‖ (desigualdad de Minkowski).
Definici´on 2.2. Una aplicaci´on ‖ · ‖ : E −→ R que verifica las condiciones 1,2,4 anteriones recibe el nombre de norma. Un espacio vectorial junto con una norma es un espacio vectorial nor- mado.
Definici´on 3.2. Se dice que x ∈ E es un vector normalizado o unitario si ‖x‖ = 1
Definici´on 3.3. Dado un sistema de vectores {u 1 ,... , up} de vectores de E, se dice que :
- {u 1 ,... , up} es un sistema ortogonal si ui · uj = 0, i 6 = j.
- {u 1 ,... , up} es un sistema ortonormal si
ui · uj =
0 si i 6 = j 1 si i = j
Proposici´on 3.4. Si {u 1 ,... , up} es un sistema ortogonal de vectores no nulos de E entonces {u 1 ,... , up} es un sistema de vectores linealmente in- dependientes.
Corolario 3.5. Si {u 1 ,... , up} es un sistema ortonormal entonces es un sistema linealmente independiente.
Observaciones
- Sean x, y ∈ E no nulos. Entonces, x⊥y ⇔ forman ´angulo recto.
- El vector nulo es ortogonal a cualquier vector. Es el ´unico vector que es ortogonal a todos los vectores de E.
Proof. Sea G la matriz del producto escalar. Sabemos que G es definida positiva, por lo tanto sigG = (n, 0), es decir rangG = n y por lo tanto el sistema GX = 0 tiene soluci´on ´unica 0. Lo que demuestra la afirmaci´on.
- Dado un sistema ortogonal de vectores {u 1 ,... , up} no nulos, el sistema { (^) ‖uu^11 ‖ ,... , (^) ‖uupp‖ } es ortonormal.
- x⊥y ⇔ son conjugados respecto de la forma bilineal sim´etrica f (x, y) = x · y.
Definici´on 3.6. Sea E un espacio vectorial eucl´ıdeo de dimensi´on finita. A una base de E que sea sistema ortogonal u ortonormal se le llamar´a, respectivamente, base ortogonal o base ortonormal de E.
Un producto escalar es una forma bilineal sim´etrica definida positiva.
- Si B es una base ortogonal de E, la matriz del producto escalar respecto a B es diagonal.
- Si B es una base ortonormal de E, la matriz del producto escalar respecto a B es la identidad.
3.1 Subespacios ortogonales
Definici´on 3.7. Sean U y V subespacios de E. Diremos que U y V son subespacios ortogonales si u · v = 0, ∀u ∈ U , ∀v ∈ V.
Proposici´on 3.8. Si un vector es ortogonal a cada uno de los vectores de un sistema {u 1 ,... , up}, es ortogonal a todo vector del subespacio que genera dicho sistema < u 1 ,... , up >.
Definici´on 3.9. Dado un subespacio U , del espacio vectorial eucl´ıdeo E, el conjunto U ⊥^ = {x ∈ E|x · u = 0, ∀u ∈ U }
es el mayor de los subespacios de E que son ortogonales a U. Se dice que U ⊥^ es el subespacio ortogonal de U.
Proposici´on 3.10. Si dimE = n. El subespacio ortogonal U ⊥^ de un sube- spacio cualquiera U de E, es suplementario de U , es decir U ⊕ U ⊥^ = E.
3.2 Proyecci´on ortogonal y m´ınima distancia
Sea E un espacio vectorial eucl´ıdeo. Sea U un subespacio de E y x ∈ U.
Definici´on 3.11. 1. El vector xu es proyecci´on ortogoanl de x sobre U si xu ∈ U y x − xu ∈ U ⊥^ ( el vector x − xu es ortogonal a U ).
- El vector xu ∈ U es el m´as pr´oximo a x de entre los vectores de U si ‖x − xu‖ es el menor de los valores ‖x − u‖ para u ∈ U.
