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Documento en donde se habla de los espacios vectoriales
Tipo: Apuntes
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ESPACIOS VECTORIALES ESPACIOS VECTORIALES MARIA ELENA RAMOS DE LA OSSA VALERIA CARNA ANGEL MARIA CAMILA ALVARES SAMUR PRESENTADO AL PROFESOR: JAVIER ANDRES CASTRO RODRIGUEZ CORPORACION UNIVERSITARIA DEL CARIBE-CECAR FACULTAD CIENCIAS BASICAS ARQUITECTURA, E INGENIERIAS ASIGNATURA: ALGEBRA LINEAL SINCELEJO-SUCRE 2018
ESPACIOS VECTORIALES TABLA DE CONTENIDO
ESPACIOS VECTORIALES Y la operación producto por un escalar: Operación externa tal que:
ESPACIOS VECTORIALES Si supiésemos que el producto es una acción por la izquierda de tendríamos probados los apartados 5 y 6. Si no se dice lo contrario PROPIEDADES: Unicidad del valor neutro en la propiedad 3 Unicidad del vector opuesto de la propiedad 4 Unicidad del elemento 1 en el cuerpo Unicidad del elemento inverso en el cuerpo Producto de un escalar por el vector neutro Producto del escalar 0 por un vector Notación: Observación
ESPACIOS VECTORIALES La operación interna suma tiene las propiedades
ESPACIOS VECTORIALES Donde: Esto implica que la multiplicación de vector por escalar es externa y aun así está bien definida.
ESPACIOS VECTORIALES SUBESPACIOS DE UN ESPACIO VECTORIAL Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V. W es un subespacio de V si W es en sí mismo un espacio vectorial con las mismas operaciones (suma de vectores y producto por un escalar) definidas en V. Ejemplo: Es un subespacio? Primero analicemos el conjunto W. Son todos vectores de tales que la segunda componente es el triple de la primera: W es la recta que pasa por el origen y tiene vector director (1,3), o sea la recta de ecuación y = 3x. Para decidir si W es un subespacio de habría que verificar que se cumplen los axiomas del 1 al 10. Condiciones necesarias para caracterizar subespacios:
ESPACIOS VECTORIALES Observaciones
ESPACIOS VECTORIALES Segundo paso: después de haber encontrado las restricciones que es : Las remplazamos dentro del sub espacio vectorial: De la siguiente manera: Tercer paso. Procedemos a contar el número de variables involucradas de: Como se puede observar, existen dos palabras involucradas que son “ x y z” Cuarto paso: descomponemos en una suma vectorial, dependiendo del número de variables involucrados En el ejemplo como son dos las variables encontradas, por lo tanto serán dos los valores a utilizarse, de la siguiente manera: Quinto paso: extraemos los vectores mediante factor común, donde las variables serán los factores comunes De la siguiente manera: Sexto paso: como último paso escribimos el conjunto generado, de la siguiente manera: Teniendo en cuenta la notación:
ESPACIOS VECTORIALES INDEPENDENCIA LINEAL Sea V es un espacio vectorial. Se dice que un vector en V es combinación lineal de los vectores , también en V, si existen escalares tales que: Se dice que un conjunto de n vectores de un espacio vectorial V son linealmente dependiente si existen escalares no todos cero, tales que (1) Observa que la ecuación (1) se cumple siempre si las constantes son todas cero. Si la única forma en que se cumple la ecuación (1) es ésta, esto es, si sólo si Entonces se dice que los vectores son linealmente independiente Ejemplo 1. Considere los vectores , y. Al observar las componentes de ambos vectores vemos que o que:
ESPACIOS VECTORIALES Este sistema de ecuaciones lineal homogéneo (2) tiene solución no trivial si el número de incógnitas k es mayor que el número de ecuaciones n , esto es, si k > n. Por lo que cualquier conjunto de vectores de es linealmente dependiente si k > n. Ejemplo 3. El conjunto de vectores de es linealmente dependiente por ser tres vectores en. La independencia lineal puesta en palabras: Un conjunto de vectores (diferentes de cero) de un espacio vectorial V es linealmente dependiente si y sólo si, algún vector del conjunto es una combinación lineal de los demás. Es decir, si uno de los vectores depende de los demás, el conjunto es dependiente. Un conjunto de vectores (diferentes de cero) de un espacio vectorial V es linealmente independiente, si y sólo si, ningún vector del conjunto es una combinación lineal de los demás. Es decir, si ninguno de los vectores depende de los demás, el conjunto es independiente. Si un vector es un múltiplo escalar de otro, los vectores son linealmente dependiente Cualquier conjunto de más de n vectores de es linealmente dependiente
ESPACIOS VECTORIALES Finalmente: Sean n vectores de , las siguientes condiciones son equivalentes
