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1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
1.1. ESPACIOS VECTORIALES
- Analizar cuáles de los siguientes subconjuntos de R^3 son subespacios vectoriales.
a) A = {(2x, x, − 7 x)/x ∈ R} El conjunto A es una recta vectorial escrita en forma paramétrica. Se deja al alumno comprobar que A es subespacio vectorial de R^3. Debe demostrarse que, para cualesquiera dos vectores ¯u = (2x 1 , x 1 , − 7 x 1 ) ∈ A, v¯ = (2x 2 , x 2 , − 7 x 2 ) ∈ A y un escalar λ ∈ R, se cumple que u¯ + ¯v ∈ A y que λ¯u ∈ A. b) A = {(x, y, z)/xy = 1} El conjunto A no es subespacio vectorial de R^3. Basta comprobar que el elemento neutro ¯0 = (0, 0 , 0) no está en A. c) A = {(x, y, z)/x = y ó x = z} El conjunto A es la unión de dos planos vectoriales y no es subes- pacio vectorial de R^3. Para ello, basta elegir dos vectores que estén en A y cuya suma no permanezca en A. Por ejemplo, sean u ¯ = (1, 1 , 0) ∈ A y ¯v = (1, 2 , 1) ∈ A. Es claro que u¯ + ¯v /∈ A. d) A = {(x, y, z)/x + y + z = 0 y x − y − z = 0} El conjunto A es una recta vectorial (intersección de dos planos vectoriales) y sí es un subespacio vectorial de R^3. Se deja al alum- no comprobarlo (véase el ejercicio 5 para una demostración de este resultado en un ámbito más general).
- Analizar cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de Rn[t] (conjunto de los polinomios con grado menor o igual a n ≥ 1 , con coe cientes en el cuerpo R).
a) El conjunto A de todos los polinomios con coe cientes en R de grado n y el polinomio cero. El conjunto A no es subespacio vectorial de Rn[t]. Basta elegir los polinomios p(t) = tn^ ∈ A y q(t) = tn^ + 1 ∈ A. Es claro que q(t) − p(t) ∈/ A. b) A = {p(t) ∈ Rn[t]/ 3 p(0) + p(1) = 1}. El conjunto A no es subespacio vectorial de Rn[t] ya que el ele- mento neutro (el polinomio idénticamente nulo) no está en A. c) A = {p(t) ∈ Rn[t]/p′(0) + p′′(0) = 0} El conjunto A es subespacio vectorial de Rn[t]. Se escogen dos polinomios p(t), q(t) ∈ A y un escalar λ ∈ R. Entonces
2 1 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
(p + q)′(0) + (p + q)′′(0) = p′(0) + q′(0) + p′′(0) + q′′(0) = 0
Esto demuestra que p + q ∈ A. Por otro lado,
(λp)′(0) + (λp)′′(0) = λ(p′(0) + p′′(0)) = 0 con lo que λp ∈ A.
- Analizar cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de Mn×n(R).
a) A = {M ∈ Mn×n(R)/det(M ) = 0}. El conjunto A no es subespacio vectorial de Mn×n(R). Basta con- siderar las matrices diagonales
M 1 =
, M 2 =
Es claro que M 1 , M 2 ∈ A pero M 1 + M 2 ∈/ A. b) A = {M ∈ Mn×n(R)/det(M ) 6 = 0} El conjunto A no es subespacio vectorial de Mn×n(R) ya que el elemento neutro (la matriz nula) no pertenece a A. c) A = {M ∈ Mn×n(R)/tr(M ) = 0}. El conjunto A es subespacio vectorial de Mn×n(R). Considere- mos dos matrices M 1 y M 2 con tr(M 1 ) = tr(M 2 ) = 0. Entonces tr(M 1 + M 2 ) = tr(M 1 ) + tr(M 2 ) = 0, con lo que se prueba que M 1 + M 2 ∈ A. Es igualmente fácil ver que, dado λ ∈ R y M 1 ∈ A, entonces λM 1 ∈ A.
- Sea F (R, R) el espacio vectorial real de las funciones reales de variable real. Estudiar cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales de F (R, R).
a) W = {f ∈ F (R, R)/f es continua en el intervalo (a, b)}. Como la suma de funciones continuas es continua y el producto por un escalar de una función continua es otra función continua, se tiene que W es subespacio vectorial de F (R, R). b) W = {f ∈ F (R, R)/f (1) = f (2)}. El conjunto W es subespacio vectorial de F (R, R). La demostración se deja al lector.
4 1 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
Se tiene que, escalonando la matriz A,
r(A) = r
(^) = r
de manera que los tres vectores son linealmente independientes. c) {(2, − 1 , 4 , 0), (0, − 3 , 1 , 5), (4, 1 , 7 , −5)}.
Sea A =
. Se tiene, escalonando la matriz,
r(A) = r
(^) = r
de modo que los vectores son linealmente dependientes. d) {(1, − 1 , 1 , 0), (− 1 , 0 , 1 , 1), (0, 3 , − 1 , 1), (6, 1 , 2 , 0)}.
Sea A =
. Al escalonar la matriz se obtiene
r(A) = r
=^ r
= r
con lo que los vectores son linealmente independientes.
- En R^3 se consideran los vectores u = (1, 2 , 1), v = (1, 3 , 2), x = (1, 1 , 0), y = (3, 8 , 5). Demostrar que L({x, y}) = L({u, v}). Sean W 1 = L({x, y}) y W 2 = L({u, v}). Es claro que dim(W 1 ) = dim(W 2 ) = 2. Será su ciente ver que
r
(^) = r
esto es, el máximo número de columnas linealmente independientes es 2, lo que implica que ambos planos, W 1 y W 2 , son el mismo plano.
1.1 ESPACIOS VECTORIALES 5
- Determinar si las siguientes familias de vectores son sistemas de gene- radores de R^3. En los casos a rmativos, obtener una base.
a) {(1, 1 , 0), (2, 3 , 8)} No es sistema de generadores (deben ser al menos 3 vectores). b) {(1, 1 , 1), (2, 2 , 0), (3, 0 , 0)}
Como r
(^) = 3, se tiene que los tres vectores son sis-
tema de generadores (y base) de R^3. c) {(2, − 1 , 3), (4, 1 , 2), (8, − 1 , 8)}.
Como r
(^) = r
(^) = 2, se tiene que
los tres vectores no son sistema de generadores de R^3. d) {(1, 3 , 3), (1, 3 , 4), (1, 4 , 3), (6, 2 , 1)}. Como
r
(^) = r
= r
el conjunto de cuatro vectores es sistema de generadores de R^3. Tendremos que coger tres de ellos que sean linealmente indepen- dientes para obtener una base. Si los vectores han sido coloca- dos en forma de columna y se ha escalonado la matriz, basta considerar las columnas asociadas a las cabeceras de la matriz escalonada. Las posiciones de estas columnas (en este caso son las tres primeras) se corresponden con las posiciones de los vectores columna de la matriz inicial que dan lugar a una base. De manera que una base de entre la familia de cuatro vectores podría ser la formada por los tres primeros (tal como aparecen en forma de columna en la matriz que escalonamos).
- En el espacio vectorial Rn[t] de los polinomios con grado menor o igual que n sobre el cuerpo R, se considera el conjunto de vectores
B = { 1 , t, t^2 , ..., tn}
Probar que B es una base de Rn[t].
1.1 ESPACIOS VECTORIALES 7
La dimensión es 2 y una base es la formada por cualesquiera dos vec- tores linealmente independientes de la familia que nos dan o por la familia de vectores no nulos que aparecen en la matriz obtenida de escalonar A. En este caso escogemos como base
B = {(2, − 1 , 4 , 0), (0, − 3 , 1 , 5)}.
- Sea W = L{(1, 2 , − 1 , 3 , 4), (2, 4 , − 2 , 6 , 8), (1, 3 , 2 , 2 , 6), (1, 4 , 5 , 1 , 8), (2, 7 , 3 , 3 , 9)} Hallar un subconjunto de los vectores que sea base de W. Se nos pide que elijamos, de entre los vectores que nos dan, una fa- milia que sea base de la envolvente. Existen varios procedimientos. Se podrían escribir los vectores en forma de las de una matriz, escalonar la misma y, estudiando las operaciones elementales realizadas, obtener los vectores que dan lugar a la base. Otra técnica alternativa, que seguiremos ahora, es la siguiente: calcu- lamos la dimensión escribiendo los vectores en forma de columnas de una matriz que escalonaremos. Las posiciones de las columnas asocia- das a las cabeceras de la matriz escalonada serán las posiciones de las columnas de la matriz inicial que dan lugar a la base buscada.
A =
Se tiene que el rango es tres. De modo que deben elegirse 3 vectores linealmente independientes de la familia dada. Las columnas asociadas a las cabeceras de la matriz escalonada son la primera, la tercera y la quinta, de manera que nos quedamos con las columnas primera, tercera y quinta de la matriz inicial A. Esto quiere decir que una base asociada a W , y elegida entre los vectores que nos han dado, será
BW = {(1, 2 , − 1 , 3 , 4), (1, 3 , 2 , 2 , 6), (2, 7 , 3 , 3 , 9)}
- Se consideran en R^4 los subespacios vectoriales
W 1 = L({(1, − 1 , 0 , 1), (− 1 , 0 , 1 , 0), (1, − 2 , 1 , 2)})
W 2 = L({(0, − 1 , 1 , 1), (1, − 2 , 1 , 2)})
8 1 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
Hallar dim(W 1 ∩W 2 ) y dim(W 1 +W 2 ) así como las ecuaciones implícitas y paramétricas de W 1 , W 2 y W 1 + W 2. Estudiemos W 1. La dimensión de W 1 es
dim(W 1 ) = r
(^) = r
Una base para W 1 es BW 1 = {(1, − 1 , 0 , 1), (0, − 1 , 1 , 1)}. Las ecuaciones paramétricas de W 1 serán
W 1 ≡
x 1 = λ x 2 = −λ − μ x 3 = μ x 4 = λ + μ
Para obtener las ecuaciones cartesianas, consideramos un vector (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∈ W 1. Entonces se tiene
2 = r
x 1 x 2 x 3 x 4
(^) = r
0 x 2 + x 1 x 3 x 4 − x 1
= r
0 0 x 1 + x 2 + x 3 x 2 + x 4
De manera que, al permanecer invariante el valor del rango, debe ocu- rrir x 1 + x 2 + x 3 = 0 y x 2 + x 4 = 0. Éstas son las ecuaciones cartesianas de W 1. Escribimos
W 1 ≡
x 1 + x 2 + x 3 = 0 x 2 + x 4 = 0
Otro modo de obtener las ecuaciones cartesianas de W 1 es considerar (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∈ W 1 y la igualdad
2 = r
x 1 x 2 x 3 x 4
Los menores de orden 3 son todos nulos y dan lugar a las ecuaciones cartesianas de W 1. Sin embargo, no todas serán independientes. Basta
10 1 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
En el caso a) no hay base y dim(V 1 ) = 2. En el caso b) se tiene que
r
=^ r
de modo que sí son base de R^4 y dim(V 2 ) = 4, esto es, V 2 = R^4. En el caso c) se tiene que
r
=^ r
= r
de manera que en este caso no tenemos base y dim(V 3 ) = 3. A partir de lo observado, es claro que V 1 ∩ V 2 = V 1 y V 2 ∩ V 3 = V 3 , con lo que dim(V 1 ∩ V 2 ) = dim(V 1 ) = 2 y dim(V 2 ∩ V 3 ) = dim(V 3 ) = 3. Las ecuaciones cartesianas de V 1 ∩V 2 son las de V 1. Vamos a calcularlas. Sea (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∈ V 1. Entonces
2 = r
x 1 x 2 x 3 x 4
Si se escogen los menores
∣∣ ∣∣ ∣∣
x 1 x 2 x 3
∣∣ = 0^ y
x 1 x 2 x 4
se obtienen las ecuaciones cartesianas de V 1 = V 1 ∩ V 2
V 1 = V 1 ∩ V 2 ≡
−x 1 + 2x 2 − 3 x 3 = 0 − 2 x 1 + x 2 − 3 x 4 = 0
Las ecuaciones paramétricas son
1.1 ESPACIOS VECTORIALES 11
V 1 = V 1 ∩ V 2 ≡
x 1 = λ + 2μ x 2 = 2 λ + μ x 3 = λ x 4 = −μ
Determinemos ahora las ecuaciones cartesianas de V 2 ∩ V 3 = V 3. Sea (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∈ V 3. Entonces
3 = r
x 1 x 2 x 3 x 4
de modo que la ecuación cartesiana de V 2 ∩ V 3 = V 3 es
V 2 ∩ V 3 = V 3 ≡ {−x 1 + x 2 + x 3 = 0}
Calculemos dim(V 1 ∩ V 3 ) y sus ecuaciones cartesianas:
dim(V 1 ∩ V 3 ) = dim(V 1 ) + dim(V 3 ) − dim(V 1 + V 3 )
Se puede comprobar que
dim(V 1 + V 3 ) = r
de modo que dim(V 1 ∩ V 3 ) = 2 + 3 − 4 = 1. Las ecuaciones cartesianas de V 1 ∩ V 3 serán la unión de las ecuaciones de V 1 y las de V 3 , esto es,
V 1 ∩ V 3 ≡
−x 1 + 2x 2 − 3 x 3 = 0 − 2 x 1 + x 2 − 3 x 4 = 0 −x 1 + x 2 + x 3 = 0
A continuación escalonamos la matriz asociada al sistema
1.1 ESPACIOS VECTORIALES 13
¾En qué casos es directa la suma? Probemos a). Basta ver que dim(U + V ) = 3. Por la fórmula de las dimensiones, dim(U + V ) = dim(U ) + dim(V ) − dim(U ∩ V ). La di- mensión de U es dim(U ) = 3 − r
= 2. La dimensión de V es dim(V ) = 3 − r
= 2. Por otro lado, dim(U ∩ V ) = 3 − r
= 1, con lo que dim(U + V ) = 2 + 2 − 1 = 3. En este caso no hay suma directa ya que el subespacio intersección es una recta. Probemos b). Basta ver que dim(U + W ) = 3. Es claro que W = L((0, 0 , 1)) y que dim(W ) = 1. Las ecuaciones cartesianas de W son
W ≡
a = 0 b = 0
de modo que
dim(U ∩ W ) = 3 − r
Esto implica que dim(U + W ) = 2 + 1 − 0 = 3. En este caso sí hay suma directa ya que, al ser dim(U ∩ W ) = 0, se tiene que U ∩ W = ¯ 0. Probemos c). Basta ver que dim(V + W ) = 3. Se tiene que
dim(V ∩ W ) = 3 − r
con lo que dim(V + W ) = 2 + 1 − 0 = 3. En este caso sí hay suma directa.
- Sean los subespacios vectoriales de R^4 siguientes: U = L({(1, 1 , 0 , −1), (1, 2 , 3 , 0), (2, 3 , 3 , −1)})
V = L({(1, 2 , 2 , −2), (2, 3 , 2 , −3), (1, 3 , 4 , −3)})
Hallar:
a) dim(U + V ) y ecuaciones de U + V. b) dim(U ∩ V ) y ecuaciones de U ∩ V.
14 1 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
Resolvamos el apartado a). Como en el apartado b) necesitaremos cal- cular bases para U y para V , las obtenemos ahora.
dim(U ) = r
(^) = r
Una base para U es BU = {(1, 1 , 0 , −1), (0, 1 , 3 , 1)}. Por otro lado,
dim(V ) = r
(^) = r
con lo que una base para V es BV = {(1, 2 , 2 , −2), (0, − 1 , − 2 , 1)}. Como consecuencia, se tiene que
dim(U + V ) = r
= r
= r
y una base de U + V será la formada por los vectores
BU +V = {(1, 1 , 0 , −1), (0, 1 , 3 , 1), (0, 0 , 1 , 2)}
Las ecuaciones paramétricas son
U + V ≡
x 1 = λ 1 x 2 = λ 1 + λ 2 x 3 = 3 λ 2 + λ 3 x 4 = −λ 1 + λ 2 + 2λ 3
Para obtener las ecuaciones cartesianas, se considera un vector (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∈ U + V y se observa que
16 1 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
V ≡
− 2 x 1 + 2x 2 − x 3 = 0 x 2 + x 4 = 0
De este modo, las ecuaciones cartesianas de U ∩ V son
U ∩ V ≡
− 2 x 1 + 2x 2 − x 3 = 0 x 2 + x 4 = 0 3 x 1 − 3 x 2 + x 3 = 0 2 x 1 − x 2 + x 4 = 0
Si escalonamos la matriz asociada al sistema
el sistema escalonado equivalente es
U ∩ V ≡
− 2 x 1 + 2x 2 − x 3 = 0 x 2 + x 4 = 0 x 3 = 0
Las incógnitas principales son x 1 , x 2 , x 3 y el parámetro es x 4 , de modo que las ecuaciones paramétricas son
U ∩ V ≡
x 1 = −λ x 2 = −λ x 3 = 0 x 4 = λ
- Sean los subespacios vectoriales de R^4 siguientes: W 1 = {(x, y, z, t) ∈ R^4 /x − z = 0, y + t = 0}
W 2 = L({(0, 0 , 0 , 1), (1, 1 , 1 , −1)})
Calcular :
a) dim(W 1 ) y dim(W 2 ).
1.1 ESPACIOS VECTORIALES 17
b) dim(W 1 ∩ W 2 ) y ecuaciones de W 1 ∩ W 2. ¾Es R^4 = W 1 ⊕ W 2? c) Hallar dim(W 1 + W 2 ).
Resolvamos el caso a). Se tiene
dim(W 1 ) = 4 − r
= 2 y
dim(W 2 ) = r
Estudiemos el caso b). Primero calculamos las ecuaciones de W 1 ∩ W 2. Para ello basta obtener las de W 2. Sea (x, y, z, t) ∈ W 2. Entonces
2 = r
x y z t
lo cual da lugar, si escogemos el menor no nulo de orden máximo∣ ∣ ∣∣ 1 −^1 0 1
∣∣ y lo extendemos a todos los menores de orden 3 que po-
damos, a las ecuaciones
W 2 ≡
x − z = 0 y − z = 0
De este modo, las ecuaciones cartesianas de W 1 ∩ W 2 son
W 1 ∩ W 2 ≡
x − z = 0 y + t = 0 y − z = 0
El sistema escalonado asociado es
W 1 ∩ W 2 ≡
x − z = 0 y + t = 0 z + t = 0
Las ecuaciones paramétricas son
W 1 ∩ W 2 ≡
x = −λ y = −λ z = −λ t = λ
1.1 ESPACIOS VECTORIALES 19
W 1 ∩ W 2 ≡
x − y = 0 z + t = 0 x + y + z = 0 2 y − t = 0
Si escalonamos la matriz asociada al sistema, obtenemos
Entonces
W 1 ∩ W 2 ≡
x − y = 0 2 y + z = 0 z + t = 0
Las ecuaciones paramétricas son
W 1 ∩ W 2 ≡
x = −λ y = −λ z = − 2 λ t = 2 λ
Una base es BW 1 ∩W 2 = {(− 1 , − 1 , − 2 , 2)}. Obtengamos una base de W 1 + W 2. Por la fórmula de las dimensiones sabemos que dim(W 1 + W 2 ) = 2 + 2 − 1 = 3. Como W 1 + W 2 = L({(1, 1 , 0 , 0), (0, 0 , − 1 , 1), (1, 1 , − 2 , 2), (1, 0 , − 1 , 0)}) basta escoger tres vectores de la envolvente lineal que sean linealmente independientes para tener una base, por ejemplo
BW 1 +W 2 = {(1, 1 , 0 , 0), (0, 0 , − 1 , 1), (1, 0 , − 1 , 0)}.
Las ecuaciones paramétricas son
W 1 + W 2 ≡
x = λ 1 + λ 3 y = λ 1 z = −λ 2 − λ 3 t = λ 2
La ecuación cartesiana se obtiene considerando (x, y, z, t) ∈ W 1 + W 2 y observando que
20 1 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
3 = r
x y z t
Resulta W 1 + W 2 ≡ {−x + y − z − t = 0}. Es evidente que no hay suma directa.
- Sean
W 1 = L({(− 1 , 0 , 0 , 1), (0, − 1 , − 1 , 1), (0, 1 , − 1 , 0)}),
W 2 = {(x, y, z, t) ∈ R^4 /x + t = 0}.
a) Calcular las ecuaciones implícitas y paramétricas de W 2. b) Dar bases de W 1 ∩ W 2 y de W 1 + W 2.
Resolvamos el apartado a). La ecuación implícita de W 2 es W 2 ≡ {x + t = 0}. Al pasar a paramétricas, se tiene
W 2 ≡
x = −λ 3 y = λ 1 z = λ 2 t = λ 3
Una base para W 2 es BW 2 = {(0, 1 , 0 , 0), (0, 0 , 1 , 0), (− 1 , 0 , 0 , 1)}. Resolvamos el apartado b). En primer lugar, encontremos una base de
W 1 +W 2 = L({(− 1 , 0 , 0 , 1), (0, − 1 , − 1 , 1), (0, 1 , − 1 , 0), (0, 1 , 0 , 0), (0, 0 , 1 , 0)})
Escalonamos la matriz que tiene por las a los vectores generadores de W 1 + W 2.
Esto demuestra que dim(W 1 + W 2 ) = 4, de modo que W 1 + W 2 = R^4. Una base puede ser la canónica de R^4.
