Espacios Vectoriales: Definición, Ejemplos y Subespacios, Apuntes de Álgebra Lineal

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Espacios Vectoriales Ejemplos Subespacios

Espacios Vectoriales

Abraham Espinoza García

Academia de Matemáticas, UPIIG-IPN

noviembre, 2020.

Espacios Vectoriales Ejemplos Subespacios

Contenido

1 Espacios Vectoriales

Definición

2 Ejemplos

R

Recta en R

que pasa por el origen

Subconjunto de M 2 con traza nula

P 2

3 Subespacios

Definición y Teorema

Espacios Vectoriales Ejemplos Subespacios

Definición

Definición de Espacio Vectorial

Las propiedades V1-V10 son muy importantes porque caracterizan al conjunto de todas las flechas. Podemos olvidarnos de que los objetos que intervienen son flechas y pensarlos como “entes matemáticos abstractos” que satisfacen dichas propiedades. También podemos razonar en sentido opuesto: cualquier conjunto de entes matemáticos que se comporten como las flechas, los podemos pensar como flechas. Dicho de otro modo: cualquier conjunto de objetos que satisfagan las propiedaes fundamentales V1-V10, lo llamaremos conjunto de flechas (y llamaremos flechas a sus elementos). O usando nombres más “domingueros”... Definición de Espacio Vectorial. Un conjunto V es un espacio vectorial real si satisface las propiedades V1-V10. Llamamos vectores a los elementos de un espacio vectorial. Evidentemente, el conjunto R de los números reales (con la definición usual de suma y multiplicación de números reales) satisface las propiedades V1-V10. Por lo tanto, el conjunto de los números reales es un espacio vectorial. No es tan evidente que el conjunto Mn de todas las matrices con entradas reales de tamaño n × n (con las operaciones usuales de suma de matrices y multiplicación de matriz por un número) es un espacio vectorial (real). Menos evidente es que el conjunto Pm de todos los polinomios de grado menor o igual a m con coeficientes reales es un espacio vectorial (real). ¡Existen muchos conjuntos que son en escencia conjuntos de flechas! La ventaja de que conjuntos tan diversos compartan la característica de ser espacios vectoriales es que podemos estudiarlos a todos ellos estudiando un solo conjunto: el espacio de las flechas en Rn.

Espacios Vectoriales Ejemplos Subespacios

R^2

Recta en R^2 que pasa por el origen Subconjunto de M 2 con traza nula P 2

Ejemplos de Espacios Vectoriales

1. Muestre que R^2 := {(x, y)|x, y ∈ R} con las operaciones de suma y multiplicación por número real definidas como: (x 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 ) := (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ); a(x, y) := (ax, ay) (donde (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) ∈ R^2 y a ∈ R), es un espacio vectorial real. Debemos hacer ver que R^2 (con tales operaciones de suma y multiplicación por número real) satisface las propiedades V1-V10.

Para V1. De la definición de suma, es evidente que (x 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 ) es un elemento de R^2 , ya que es un objeto de la forma (x, y), donde x, y ∈ R (sabemos que x = x 1 + x 2 y y = y 1 + y 2 son números reales porque resultan de sumar números reales). Para V2. De la definición de multiplicación por un número, es evidente que a(x, y) es un elemento de R^2 , ya que es un objeto de la forma (˜x, y˜, donde ˜x, y˜ ∈ R (sabemos que x ˜ = ax y y˜ = ay son números reales porque resultan de multiplicar números reales). Para V3. Sean (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) ∈ R^2. Tenemos, (x 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 ) = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) = (x 2 + x 1 , y 2 + y 1 ) = (x 2 , y 2 ) + (x 1 , y 1 ) (donde en la segunda igualdad hemos utilizado el hecho de que en la suma de números reales el orden de los sumandos no altera la suma). Para V4. Sean (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), (x 3 , y 3 ) ∈ R^2. Como, [(x 1 , y 1 )+(x 2 , y 2 )]+(x 3 , y 3 ) = (x 1 +x 2 , y 1 +y 3 )+(x 3 , y 3 ) = (x 1 +x 2 +x 3 , y 1 +y 2 +y 3 ), y (x 1 , y 1 )+[(x 2 , y 2 )+(x 3 , y 3 )] = (x 1 , y 1 )+(x 2 +x 3 , y 2 +y 3 ) = (x 1 +x 2 +x 3 , y 1 +y 2 +y 3 ), entonces [(x 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 )] + (x 3 , y 3 ) = (x 1 , y 1 ) + [(x 2 , y 2 ) + (x 3 , y 3 )].

Espacios Vectoriales Ejemplos Subespacios

R^2

Recta en R^2 que pasa por el origen Subconjunto de M 2 con traza nula P 2

Ejemplos de Espacios Vectoriales (cont.)

2. Muestre que H = {(x, y) ∈ R^2 |ax + by = 0, a, b ∈ R}, con las operaciones usuales de suma y multiplicación por número real, es un espacio vectorial real. Advierta que la relación ax + by = 0 indica que H consta de todos los puntos en R^2 que se encuentran sobre la recta y = mx, donde m = − ab.

Para V1. Sean (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) ∈ H (esto significa que ax 1 + by 1 = 0 y ax 2 + by 2 = 0). Tenemos, (x 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 ) = (x 1 + y 1 , x 2 , y 2 ). Debemos mostrar que (x, y) = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) ∈ H, es decir, que se cumple ax + by = 0. Como ax 1 + by 1 = 0, ax 2 + by 2 = 0, luego (ax 1 + by 1 ) + (ax 2 + by 2 ) = 0; así, a(x 1 + x 2 ) + b(y 1 + y 2 ) = 0. Por tanto, (x, y) = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) ∈ H. Para V2. Sean (x, y) ∈ H (esto significa que ax + by = 0), c ∈ R. Tenemos, c(x, y) = (cx, cy). Debemos mostrar que (˜x, y˜) = (cx, cy) ∈ H, es decir, que se cumple ax˜ + bx˜ = 0. Como ax + by = 0, luego c(ax + by) = 0; así, acx + bcy = ax˜ + by˜ = 0. Por tanto, (˜x, y˜) ∈ H. Para V7. Sean c, d ∈ R y (x, y) ∈ H. Tenemos, (c + d)(x, y) = ((c + d)x, (c + d)y) = (˜x, y˜), y a(x, y) + b(x, y) = (ax, ay) + (bx, by) = ((a + b)x, (a + b)y) = (˜x, ˜x). Debemos mostrar ahora que (˜x, ˜x) ∈ H. Como ax + by = 0, entonces (c + d)(ax + by) = a(c + d)x + b(c + d)y = ax˜ + b˜y = 0. Por tanto (˜x, x˜) ∈ H. Para V8. Sea (x, y) ∈ H. Como (x, y) + (0, 0) = (x + 0, y + 0) = (x, y), y como también (0, 0) ∈ H (ya que se cumple la relación a0 + b0 = 0), entonces existe el vector cero de H , y es (0, 0). La demostración de las demás propiedades se dejan como ejercicio al estudiante.

Espacios Vectoriales Ejemplos Subespacios

R^2

Recta en R^2 que pasa por el origen Subconjunto de M 2 con traza nula P 2

Ejemplos de Espacios Vectoriales (cont.)

3. Muestre que W :=

a b c d

∈ M 2

∣∣ a + d = 0

, con las operaciones usuales de suma y

multiplicación por número real, es un espacio vectorial real.

Para V1. Sean

a b c d

e f g h

∈ W. Tenemos, ( a b c d

e f g h

a + e b + f c + g d + h

˜a ˜b ˜c d˜

. Como a + d = 0, e + h = 0; luego,

(a + d) + (e + h) = ˜a + ˜b = 0.

Para V2. Sean

a b c d

∈ W , k ∈ R. Tenemos, k

a b c d

ka kb kc kd

˜a ˜b c ˜ d˜

Como a + d = 0, luego, k(a + d) = ka + kd = ˜a + d˜ = 0.

Para V8. Sea

a b c d

, ∈ W. Tenemos

a b c d

a b c d

, y ( 0 0 0 0

∈ W. Entonces, el vector cero de W es

Para V9. Sea

a b c d

∈ W. Tenemos

a b c d

−a −b −c −d

, y ( −a −b −c −d

∈ W. Entonces,

−a −b −c −d

es el inverso de

a b c d

La demostración de las demás propiedades se dejan como ejercicio al estudiante.

Espacios Vectoriales Ejemplos Subespacios

Definición y Teorema

No cualquier “pedazo” de un espacio vectorial es un espacio vectorial, por ejemplo, el “pedazo” de R^2 definido por los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación x^2 + y^2 = 1 NO es un espacio vectorial (¡demuestre esto!). De hecho es raro que algún “pedazo” de cierto espacio vectorial sea en sí mismo un espacio vectorial.

Definición de Subespacio. Sea W un subconjunto de V. Si W es un espacio vectorial (con las operaciones de suma y multiplicación por números definidas en V ), entonces llamamos a W subespacio de V. Ya nos hemos encontrado con subespacios. Los ejemplos Recta en R^2 que pasa por el origen y Subconjunto de M 2 con traza nula son subespacios de R^2 y de M 2 , respectivamente. Teorema. Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V. Si W satisface las propiedades V1 y V2 (considerando la suma y multiplicación por números definidas en V ), entonces W es un subespacio de V. Por otro lado, si W no satisface las propiedades V1 y V2, entonces W no es un subespacio de V. La demostración puede ser encontrada en cualquier libro decente de Álgebra Lineal (Grossman, por ejemplo). Este teorema nos hubiera permitido establecer de manera más rápida que H del ejemplo Recta en R^2 que pasa por el origen es un espacio vectorial.

Ejercicio. Utilice el teorema para establecer que,

1 El conjunto U = {ax^2 + bx + c ∈ P 2 |a + b + c = 0} es un espacio vectorial; 2 El conjunto N = {A ∈ M 2 | det(A) = 0} NO es un espacio vectorial.