UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
TRABAJO: Tarea 4 – Espacios Vectoriales
MATERIA: Algebra lineal
GRUPO: (208046_A951)
CENTRO: CCAV
ALUMNO:
PROFESORA: Jhonatan Andrés Arenas
FECHA DE ENTREGA:
11 de abril 2021
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Tarea 4 - Espacios Vectoriales: Algebra Lineal, Ejercicios de Álgebra Lineal
Introducción: En este trabajo se realiza el aprendizaje y dando las soluciones a los ejercicios expuestos por el tutor sobre el tema de Espacios vectoriales. Dar una solución paso a paso. Primeramente, aprendiendo una base teórica por medio de un mapa conceptual y por ultimo una serie de ejercicios donde validaremos si son correctas.
Tipo: Ejercicios
2022/2023
1 / 15
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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
TRABAJO: Tarea 4 – Espacios Vectoriales
MATERIA: Algebra lineal
GRUPO: (208046_A951)
CENTRO: CCAV
ALUMNO:
PROFESORA: Jhonatan Andrés Arenas
FECHA DE ENTREGA:
11 de abril 2021
Introducción:
En este trabajo se realiza el aprendizaje y dando las soluciones a los ejercicios expuestos
por el tutor sobre el tema de Espacios vectoriales. Dar una solución paso a paso.
Primeramente, aprendiendo una base teórica por medio de un mapa conceptual y por ultimo
una serie de ejercicios donde validaremos si son correctas.
Solución:
i)
ii)
iii)
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
Solución:
Para que sean linealmente independientes, la combinación lineal de ellos debe dar
cero únicamente para coeficientes iguales a cero, de lo contrario, son linealmente
dependientes.
Entonces, se buscan los coeficientes para los cuales, la combinación lineal resulta en
el vector cero.
x (2,8 , − 4 ) + y ( 2,3,6) + z (− 2 , −4,2)=( 0,0,0)
De aquí salen tres ecuaciones:
2 x + 2 y − 2 z = 0
8 x + 3 y − 4 z = 0
− 4 x + 6 y + 2 z = 0
Sumando la primera y la tercera, eliminamos la variable z y nos queda:
Tenemos que encontrar los coeficientes que hagan que los valores que tomen las
variables
x , y y
z , puedan escribirse como combinación lineal de los vectores del conjunto
dado, es decir:
( x , y , z )= a ( 4,0,4) + b ( 0 , − 2 , − 3 ) + c (−4,3,1)
→ ( x , y , z )=( 4 a , 0,4 a ) +( 0 , − 2 b , − 3 b ) +(− 4 c , 3 c , c )
→ ( x , y , z )=( 4 a − 4 c , − 2 b + 3 c , 4 a − 3 b + c )
Comparando términos:
x = 4 a − 4 c
y =− 2 b + 3 c
z = 4 a − 3 b + c
En notación matricial:
(
|
x
y
z
)
→ F
1
F
1
(
|
x / 4
y
z
)
→ F
2
F
2
x
− y
z
→ F
3
=− 4 F
1
+ F
3
x
− y
− x + z
→ F
3
= 3 F
2
+ F
3
x
− y
− x −
y + z
→ F
3
= 2 F
3
x
− y
− 2 x − 3 y + 2 z
→ F
2
F
3
+ F
2
x
− 3 x − 5 y + 3 z
− 2 x − 3 y + 2 z
Solución:
E =
(
)
→ F
1
F
1
(
)
→ F
2
=− 11 F
1
+ F
2
(
)
→ F
2
=− 7 F
2
(
)
→ F
3
=− 9 F
1
+ F
3
(
)
→ F
3
= 7 F
3
(
)
→ F
4
=− 6 F
1
+ F
4
(
)
→ F
2
F
2
→ F
4
= 7 F
4
(
)
Por lo tanto, el rango de la matriz es 3.
E =
(
)
Para ver si el rango es menor o igual a 2, tomamos un menor cualquiera de 2x2 y
calculamos su determinante. Si es por lo menos uno de los determinantes de los menores es
diferente de cero, entonces el rango es menor o igual a 2.
|
|
Entonces, el rango es ≥ 2.
Para ver si el rango es mayor o igual a 3, hacemos lo propio, pero con un menor de
3x3 que contenga el menor de 2x2 que usamos anteriormente.
|
|
Entonces, el rango es ≥ 3. Confirmando el resultado del punto anterior.
Que el rango sea 3 quiere decir que existen tres vectores filas linealmente
independientes.
Solución:
Sean
u =( u
1
, u
2
,u
3
y
w =( w
1
, w
2
, w
3
, el producto vectorial del lado izquierdo viene
dado por:
u × w ( k )=
|
x y z
u
1
u
2
u
3
k w
1
k w
2
kw
3
|
¿ x
u
2
kw
3
− k w
2
u
3
− y
u
1
kw
3
− k w
1
u
3
- z ( u
1
k w
2
− k w
1
u
2
¿( u
2
kw
3
− k w
2
u
3
, − u
1
kw
3
- k w
1
u
3
, u
1
k w
2
− k w
1
u
2
¿ k ¿
Por otro lado,