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Matemáticas I.
3. Tema 3: Espacios vectoriales
(𝐾, +,∙) es un cuerpo. 𝜇, 𝜆 ∈ Κ Un espacio vectorial es una estructura algebraica. V es un K-espacio vectorial (espacio vectorial sobre el cuerpo K)
+: VxV V; (𝑢, 𝑣 ) ⟼ 𝑢 + 𝑣 (V, +) grupo abeliano
Asociativa Elemento neutro Elemento opuesto Conmutativa
∙ : K x V V ; (𝜆, 𝑣) ⟼ 𝜆𝑣
Distributiva: ∀𝜆 ∈ 𝐾, ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 𝜆(𝑢 + 𝑣 )^ = 𝜆𝑢 + 𝜆𝑣 ∀𝜆, 𝜇 ∈ 𝐾, ∀𝑢 ∈ 𝑉 (𝜆 + 𝜇)𝑢 = 𝜆𝑢 + 𝜇𝑢 Asociativa: ∀𝜆, 𝜇 ∈ 𝐾, ∀𝑢 ∈ 𝑉 (𝜆 ∙ 𝜇) ∙ 𝑢 = 𝜆(𝜇𝑢) Elemento neutro: ∃𝑒 ∈ 𝐾, ∀𝑢 ∈ 𝑉 𝑒 ∙ 𝑢 = 𝑢
PROPIEDADES
- ∀𝑘 ∈ 𝐾, 𝑘0 = 0
- ∀𝑢 ∈ 𝐾, 0 𝑢 = 0
- ∀𝑘 ∈ 𝐾, ∀𝑢 ∈ 𝐾, 𝑘𝑢 = 0 ⟶ 𝑘 = 0 // 𝑢 = 0
- ∀𝑘 ∈ 𝐾, ∀𝑢 ∈ 𝐾, (−𝑘)𝑢 = 𝑘(−𝑢)^ = − 𝑘𝑢
Ejemplo = el conjunto Mnxm cumple todas las propiedades: Es espacio vectorial.
MORFISMOS Sean V y W dos espacios K-vectoriales. Sea f una aplicación de V a W.
V, W espacios vectoriales. f: V⟼W
Diremos que f es un homomorfismo
∀ 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 ⟹ 𝑓(𝑢 + 𝑣)^ = 𝑓(𝑢)^ + 𝑓(𝑣)
∀ 𝑘 ∈ 𝐾, ∀𝑢 ∈ 𝑉 ⟹ 𝑓(𝑘𝑢)^ = 𝑘 ∙ 𝑓(𝑢)
Ej = 𝑊 = 0
𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 2
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 +𝑐, ∀𝑎,𝑏,𝑐 ∈ ℝ^1 𝑘^
,𝑥- 𝑉 = ℝ^3 𝑥 = 4
f: 𝑉ℝ
3 ⟼W
5 = 𝑥 ⟼ 𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Isomorfismo. A cada vector de ℝ^3 le corresponde un polinomio de grado 2
V es un espacio vectorial.
Sea 𝑊 ⊆ 𝑉. Si W es un K-espacio vectorial, W es un subespacio vectorial.
Ej= 𝐾,𝑥-; 𝑀𝑛𝑥𝑚 ;
Diagonales de 𝑀𝑛𝑥𝑚 , matrices triangulares superiores, matrices triangulares inferiores… son subconjuntos vectoriales de las matrices cuadradas. La diagonal es la intersección de una matriz triangular superior y una inferior.
Si f es inyectiva, f : monomorfismo Si f es sobreyectiva, f: e pimorfismo Si f es biyecyiva, f : isomorfismo (APLICABLE A OTROS CONJUNTOS)
Matemáticas I.
TEOREMA
Sea V un k-espacio vectorial. Sea 𝑊 ⊆ 𝑉 W es un subespacio vectorial de V sí y sólo sí:
- 0 ∈ 𝑊
- ∀ 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑊 ⟹ 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑊
- ∀ 𝑘 ∈ 𝐾, ∀𝑢 ∈ 𝑊 𝑘𝑈 ∈ 𝑊
TEOREMA
Sean U y W subespacios vectoriales de V, entonces 𝑈 ∩ 𝑊 es un subespacio vectorial de V
0 ∈ 𝑈 ∩ 𝑊
∀𝜆, 𝜇 ∈ 𝐾, ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑈 ∩ 𝑊 ⟹
TEOREMA
Ssea M una matriz de dimensiones mxn, las soluciones del sistema líneal homogéneo. M ∈ 𝑀𝑛𝑥𝑚
𝑀 𝑥 = 0 con 𝑥 ∈ 𝐾𝑛^ , 0 ∈ 𝐾𝑚
𝑥 ∈ 𝐾𝑛^ / 𝑀 𝑥 = 0 forma un espacio vectorial, subespacio de 𝐾𝑛 ℝℂℤ 2 ….
Sea V un K-espacio vectorial, sean 𝑣 1 , 𝑣 2 … 𝑣𝑛 ∈ 𝑉 Es combinación líneal de los vectores 𝑣𝑖 ; 𝑖 ∈ *1,2 …. 𝑛+ a cualquier vector de la forma 𝑎 1 𝑣 1 + 𝑎 2 𝑣 2 + ⋯ 𝑎𝑛 𝑣𝑛 𝑎𝑖 ∈ 𝐾 𝑛𝑖=1 𝑎𝑖 𝑣𝑖 n es el número de puntos del conjunto. El conjunto de todas las combinaciones líneales se denominan envolvente líneal y se denomina par: 𝑙𝑖𝑛 (𝑣 1 , 𝑣 2 … 𝑣𝑛 ) = 𝐿 (𝑣 1 , … 𝑣𝑛 ) [Al hacer la envolvente líneal estamos generando todos los posibles vectores, combinación líneal de los puntos de S]
TEOREMA
Sea V un K-espacio vectorial, S un subconjunto finito de V, se cumplen:
- lin (S) es un subespacio vectorial
- S ⊆ lin (S)
- Si W es un subespacio vectorial de V y S ⊆ W entonces lin (S) ⊆ 𝑊
De hecho, lin(S), es el menor espacio vectorial que contiene a S
SISTEMAS GENERADORES
Sea V un k-espacio vectorial. Un conjunto de vectores {𝑣 1 , 𝑣 2 … 𝑣𝑛 } se dice sistema generador de V si y solo si lin( 𝒗𝟏, 𝒗𝟐 … 𝒗𝒏) = 𝑽 𝑛𝑖=1 𝑎𝑖 𝑣𝑖=
Si son linealmente dependientes, no podrán ser sistema generador.
Ej= ℝ^2 // 2.^1 0
/ ,.^0
/ ,.^2
/3 NO es sistema generador de ℝ^2 porque genera una recta.
Matemáticas I.
Sea V un k-espacio vectorial. Un conjunto de vectores S{𝑣 1 … 𝑣𝑛 } ≤ 𝑉 es una base de V si se cumple:
- S es L.I
- S es un sistema generador de V [lin (S)= V ]
TEOREMA
Sea V un k-espacio vectorial. Un conjunto de vectores S{𝑣 1 … 𝑣𝑛 } ≤ 𝑉 es una base de V si y solo si todo vector de V puede escribirse de manera única como combinación lineal de los elementos de S. Una base me permite describir cualquier vector de mi espacio vectorial de forma inívoca.
Las coordenadas de un vector respecto de una base son los coeficientes que necesito
Ejemplo #1 ℝ^3 𝑖 =
Base canóniga
2 3 13
TEOREMA
Sea V un k-espacio vectorial. La dimensión es el número de vectores que hay en la base Se dice que V tiene una dimensión finita si existe una base con un número
𝐵 = *𝑣 1 , … 𝑣𝑛 +^ dim (V) = n
Ejemplo #1: ℝ 2 ,𝑥- (Polinomios de grado ≤ 2 con coeficientes reales) Es isomorfo a 𝑣 ∈ ℝ^3. 𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ 𝐵 1 = *𝑥^2 , 𝑥, 1+^ dim (ℝ 2 ,𝑥-) = 3 𝛼(𝑥^2 + 1) + 𝛽(𝑥 − 1) + 𝛾 𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ ℝ 𝐵 2 = *𝑥^2 + 1, 𝑥 − 1, 1+ dim (ℝ 2 ,𝑥-) = 3
Ejemplo #2: Sea 𝑉 = 0 (L.D) No hay base para este espacio. dim (V)= 0
TEOREMA
Sea V un k-espacio vectorial con dim(V) = n Se cumplen las siguientes propiedades:
1. Todo conjunto de n vectores linealmente independiente es una base (y un sistema generador) 2. Todo conjunto generador de n vectores es una base 3. n+1 vectores cualesquiera son siempre linealmente dependientes 4. Si W es un subespacio vectorial de V, entonces dim (W) ≤ dim(V) y además si dim (W)=dim(V), W=V 5. Sea S=*𝑣 1 , … , 𝑣𝑛 + ⊆ 𝑉 se cumple dim (lin(S)) ≤ 𝑛
Coordenadas. Sea V un k-espacio vectorial de dimensión n. B=*𝑒 1 , 𝑒 2 … , 𝑒𝑛 + es base (por tanto podemos saber que los vectores son L.I) Las bases me permiten identificar de forma unívoca cualquier vector del k-espacio ∀𝑣 ∈ 𝑉; ∃! 𝑎 1 , 𝑎2, … 𝑎𝑛 ⟹ 𝑣 = 𝑎 1 𝑒 1 + 𝑎 2 𝑒 2 + 𝑎 3 𝑒 3 …. 𝑎𝑛 𝑒𝑛
La n-upla (𝑎 1 , 𝑎2, … 𝑎𝑛 ) ∈ 𝕜𝑛^ Son las coordenadas de V respecto de la base B.
Matemáticas I.
Ejemplo #1: Sea V= 𝑀 2 𝑥 2 (ℝ) ≈ ℝ^4 (isomorfos).^1 0 0
/.^0
/.^0
/.^0
𝑎.^1
/ + b.^0 0 0
/ + 𝑐.^0
/ + 𝑑.^0
/ = .𝑎^ 𝑏
/ ESTÁ OBLIGADA A SER BASE
𝐵 2.^1
/ ,.^0
/ ,.^0
/ ,.^0
/3 M= (a,b,c,d) B
𝐵´ 2.^1
/ ,. 0 −^1
/ ,.^0
/ ,.^0
/3 M= (𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿) B´
TEOREMA
Sea V un k-espacio vectorial con dim(V) = n y B una base. La aplicación f asocia a un vector de V, sus coordenadas en la base B. f: V 𝕂𝑛^ V ≈ 𝕂𝑛
𝑣 ⟶ 𝑓(𝑣) 𝑎 1 , 𝑎2, … 𝑎𝑛 )
Ejemplo #2 : Sean las matrices 2x3 (isomorfas a vectores de ℝ^6 )
𝐷 =.
𝑎 𝑑
𝑏 𝑒
𝑐 𝑓/^ =^ 𝑎.
1 0
0 0
0 0 / + 𝑏.^0 0
1 0
0 0 / + 𝑐.^0 0
0 0
1 0 / + 𝑑.^0 1
0 0
0 0 / + 𝑒.^0 0
0 1
0 0 / + 𝑓.^0 0
0 0
0 1 /
B=2.
1 0
0 0
0 0
0 0
1 0
0 0
0 0
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0 1 /3 D {a, b, c, d, e, f}
𝐴 =.^1
/ A= (1,2,-3,4,0,1)B 𝑎 = (1,2,-3,4,0,1)
𝐵 =.^1
/ B= (1,3,-4,6,5,4)B 𝑏 = (1,3,-4,6,5,4)
C=. 3
/ C= (3,8,-11,16,10,9)B 𝑐 = (3,8,-11,16,10,9)
Hacemos un cambio de base que me permite ver que no puedo alcanzar más allá de un plano.
Los vectores son L.D porque el rango de M´ es menor que el Rango máximo, por tanto una de las matrices (C) es CL de las otras dos y por eso las coordenadas salen 0 respecto a la base canóniga.
Rango=2 por tanto, generan vectores en ℝ^2 , es decir, en un plano. La Envolvente lineal es generable solo con las matrices A y B-A (que son L.I) porque la 3ª matriz es C.L.
Ejemplo #3 : 𝑉 = ℝ 2 ,𝑥-
𝑝 1 = 𝑥 − 1
𝑝 2 = 3 𝑥 − 2 B{1, x, 𝑥^2 } SIN ACABAR
𝑝 3 = 𝑥^2 + 2
Matemáticas I.
𝑎´ 𝑏´ 𝑐´
5 = 𝐃−𝟏^4
SUMAS
Sea V un k-espacio vectorial de dimensión n y sean A y B dos subconjuntos de V La suma, A+B, de los subconjuntos es: A+B = *𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑉 // 𝑢 ∈ 𝐴, 𝑣 ∈ 𝐵+^ 𝐴 = *𝑜, 𝑢+^ B= * 2 𝑢+ A y B no son subespacios vectoriales de V (el 0 pertenece al conjunto y la combinación líneal está incluído)
A cada elemento de A hay que sumarle uno a uno, todos los de B de B. A+ B= * 2 𝑢, 3𝑢+
Ejemplo #
𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑉 𝑢 ∈ 𝐴 *0, 𝑢 , 2𝑢+ A + B = *0, 𝑣 , 2 𝑣 , 𝑢, 𝑢 + 𝑣, 𝑢 + 2𝑣, 2 𝑢, 2 𝑢 + 𝑣 , 2 𝑢 + 2𝑣 +
𝑣 ∈ 𝐵 *0, 𝑣 , 2𝑣+
TEOREMA # Si U y W son subespacios vectoriales de V, el conjunto suma, U+W, también es un subespacio vectorial 𝒅𝒊𝒎 (𝑼 + 𝑾) = 𝒅𝒊𝒎 (𝑼) + 𝒅𝒊𝒎(𝑾)– 𝒅𝒊𝒎(𝑼 ∩ 𝑾)
𝜆 1 𝑥 1 + 𝜆 2 𝑥 2 = 𝜆 1 (𝑢 1 + 𝑤 1 ) + 𝜆 2 (𝑢 2 + 𝑤 2 ) = 𝜆 1 𝑢 1 + 𝜆 1 𝑤 1 + 𝜆 2 𝑢 2 + 𝜆 2 𝑤 2 U W
SUMAS DIRECTAS Un espacio vectorial V es la suma directa de dos subespacios U y W si todo vector de V puede escribirse de manera única como suma de un vector de U y otro de W. Se denota por V= 𝑼 ⊕ 𝑾 Si pongo suma, puedo estar repitiendo pero si pongo suma directa, estoy sumando algo totalmente nuevo. Uno complementa al otro.
TEOREMA #
V= 𝑈 ⊕ W ↔
𝑉 = 𝑈 + W
Como la intersección de ambas siempre será 0, 𝒅𝒊𝒎 (𝑼 + 𝑾) = 𝒅𝒊𝒎 (𝑼) + 𝒅𝒊𝒎(𝑾)
Ejemplo# 𝑢 = (𝑢 1 , 𝑢 2 , 𝑢 3 )𝐵 𝑢 𝑢 ∈ 𝑈 𝐵𝑢 (𝑒 1 , 𝑒 2 , 𝑒 3 )
𝑤 = (𝑤 1 , 𝑤 2 , 𝑤 3 , 𝑤 4 )𝐵 𝑤 𝑤 ∈ 𝑊 𝐵𝑤 (𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎3,𝑎 4 )
V= 𝑈 ⊕ W 𝐵𝑈⊕W(𝑒 1 , 𝑒 2 , 𝑒 3 , 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎3,𝑎 4 ) 𝑣 = 𝑢 + 𝑤
ℝ^1 ℝ^2 ℝ^3 ℝ𝟑^ ℝ^2 ℝ^3
𝑑𝑖 𝑚(𝑈 + 𝑊)^ = 1 + 2 − 0 = 𝟑 (^) 𝑑𝑖 𝑚(𝑈 + 𝑊) (^) = 3 + 2 − 2 = 𝟑
