Esquema - Apuntes 1-3, Apuntes de Matemáticas

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Motivación Números reales Ecuaciones en los reales

ECUACIONES EN R

MATEMÁTICA I - INGENIERÍA CIVIL

Jenny Rojas Jerónimo

Trujillo - Perú

Motivación Números reales Ecuaciones en los reales Contenido

(^1) Capacidades/ Objetivos (^2) Motivación (^3) Números reales Conjuntos numéricos Sistema de números reales Expresiones algebraicas (^4) Ecuaciones en los reales Ecuaciones Polinómicas Ecuaciones Racionales Ecuaciones Irracionales Ecuaciones con valor absoluto

Motivación Números reales Ecuaciones en los reales Problemas

Problema 1: Caída de un cuerpo Un objeto se deja caer verticalmente de una altura h 0 por encima del suelo. Después de t segundos, su altura es dada por la expresión h(t) = − 16 t^2 + h 0 donde h se mide en pies. Si un Ing. Civil deja caer su plomada de lo alto de un edificio de 288pies de altura. Cuánto tiempo necesita para que la plomada alcance el nivel del suelo?

Motivación Números reales Ecuaciones en los reales Problemas

Problema 2: Inversiones Si un Ingeniero invierte $25 000 al 5 % anual. Cuanto tiempo necesita invertir para llegar a $ 30 000.

Figura: -

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Conjuntos numéricos Sistema de números reales Expresiones algebraicas

Conjuntos Numéricos

Figura: Conjuntos numéricos

Figura: Recta real

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Conjuntos numéricos Sistema de números reales Expresiones algebraicas

Sistema de los números reales

Definición axiomática Se llama sistema de números reales al conjunto no vacío de los números reales,R, y dos operaciones internas: adición y multiplicación, denotadas por + y. donde

• : R × R → R : (a, b) → a + b y. : R × R → R : (a, b) → a · b, y una relación de orden > que satisfacen los siguientes propiedades:

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Conjuntos numéricos Sistema de números reales Expresiones algebraicas

Definición axiomática

Propiedades Distributivos a · (b + c) = a · b + a · c (b + c) · a = ba + ca

Propiedades de Igualdad a = b o a 6 = b. a = a. a = b → b = a. a = b ∧ b = c → a = c. Si a = b → a + c = b + c. Si a = b → ac = bc.

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Conjuntos numéricos Sistema de números reales Expresiones algebraicas

Definición axiomática

Propiedades de orden Solo una se cumple: a < b o a = b o a > b. Si a < b y b < c → a < c. Si a < b → a + c < b + c ∀ c ∈ R Si a < b y c > 0 → ac < bc. Si a < b y c < 0 → ac > bc. Existe R+^ tal que R+^ ⊂ R llamado conjunto de los reales positivos tal que: 0 ∈/ R+. Si a y b ∈ R+^ → (a + b) ∈ R+. Para cada a 6 = 0 o a ∈ R+^ o −a ∈ R+^ (no ambos).

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Conjuntos numéricos Sistema de números reales Expresiones algebraicas

Simplificar

(^1) ( 13 x^3 + 12 x^2 + 2 x) + (− 23 x^4 − 6 x^3 − x^2 + 8 x) (^2) ( 12 xyn+^1 − 4 x^2 y) + (− 10 xyn+^1 − 3 x^2 y − 14 x^3 ) (^3) (x^4 − x^2 + 1 ) − (x^4 + 2 x^2 + 1 ) + ( 3 x^4 − 3 x^2 − 2 ) 4 8 x^2 y 23 x− (^210) yx^3 y (^5 5) a + 3 b − { 5 a − b − [ 2 a − 8 b − ( 3 a − 4 b)] − ( 2 a − b)}. 6 3 u^3 v^4 −^2 u^5 v^2 +(u^2 v^2 )^2 u^3 v 2 7 9 x^2 −^4 3 x^2 +x− 2 8 x^3 +^5 x 8 x^3 − 1 +^

x− 6 x (^9) E = (x^2 +^8 x+^16 )(x−^5 ) (x^2 − 5 x)(x^2 − 16 ). (^10) Racionalizar el numerador de:

1 +a^2 −

√^1 −a^2 1 +a^2 +

1 −a^2

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Conjuntos numéricos Sistema de números reales Expresiones algebraicas

Ejercicios

(^1) Si a = 1 , b = 2 ; c = 3 ; d = 4 ; m = − 1 / 2 ; n = 2 /3 hallar el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas: (^1) (b − n)(c − m) + a^2. (^2 2) mn + 6 (b^2 + c^2 ) − 2 d (^3) ( 89 mn + (^16) db )a (^2) Represente mediante expresiones algebraicas los siguientes enunciados: (^1) Una extensión de forma rectangular tiene 24m de largo y x metros de ancho, exprese su superficie. (^2) La suma de los cuadrados de dos números consecutivos. (^3) Para construir una caja de forma cúbica se ha usado 96 cm^2 de cartón. Exprese la longitud de la arista. (^4) Un estudiante de cálculo tiene de notas en sus dos primeros examenes 13 y 17. Si su promedio es 15 exprese la nota de su tercer examen.

Capacidades/ Objetivos Motivación Números reales Ecuaciones en los reales

Ecuaciones Polinómicas Ecuaciones Racionales Ecuaciones Irracionales Ecuaciones con valor absoluto

Tipos de ecuaciones

Polinómicas. Racionales. Irracionales. Con valor absoluto. Trigonometricas. Logaritmicas.

Capacidades/ Objetivos Motivación Números reales Ecuaciones en los reales

Ecuaciones Polinómicas Ecuaciones Racionales Ecuaciones Irracionales Ecuaciones con valor absoluto Ecuaciones en R

Ecuaciones Polinómicas Son de la forma P(x) = 0 donde P(x) = anxn^ + an− 1 xn−^1 + · · · + a 1 x + a 0 con ai ∈ R.

Solución consiste en hallar el o los valores de x que satisfagan la ecuación. Se les llama raices de la ecuación. OBSERVACIÓN: No todas las ecuaciones polinómicas tienen raíces reales. n es el grado del polinómio. Las ecuaciones lineales tienen solución en los reales.

Capacidades/ Objetivos Motivación Números reales Ecuaciones en los reales

Ecuaciones Polinómicas Ecuaciones Racionales Ecuaciones Irracionales Ecuaciones con valor absoluto Ejemplos

Ecuaciones lineales de 1 variable: (^1 3) x − 2 = 12 (x + 8 ) 2 2 x 3 − 4 + x = 7 x − 3 3 2 (x 16 − 4 )− 8 x = x 12 +^3 (^4) (x − 3 )(x + 5 ) = 5 x + x(x + 2 ) 5 x 3 + 34 x = 2 (^6) x^2 + 2 ( 3 x − 2 ) = x^2 + 6 x − 4 7 25 x − x 2 = 3 + 310 x (^8 2) ( 1 − x) = 3 ( 1 + 2 x) + 8 9 3 + 55 x= 4 − 7 x (^10 1) , 5 x − 0 , 7 = 0 , 4 ( 2 − 5 x).

Capacidades/ Objetivos Motivación Números reales Ecuaciones en los reales

Ecuaciones Polinómicas Ecuaciones Racionales Ecuaciones Irracionales Ecuaciones con valor absoluto Ecuación Cuadrática

Ecuación Cuadrática de una variable Es de la forma ax^2 + bx + c = 0 donde a 6 = 0, a, b, c son números reales.

Solución Si: b^2 − 4 ac > 0 la ecuación tiene raíces reales y diferentes. Si b^2 − 4 ac = 0 tiene raíces reales e iguales. Si b^2 − 4 ac < 0 no tiene raíces reales.

Interprete geometricamente