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I. INTRODUCCIÓN
En esta práctica se comprobará la teoría de establecer la
estabilidad según BIBO de manera gráfica, Primero con un
sistema lazo abierto, el cual servirá para determinar la
estabilidad del sistema de manera gráfica haciendo uso de
MatLab, en el segundo ejercicio se mostrara las alteraciones que
tiene el sistema cuando se usan valores cercanos al del
oscilatorio y cuando se usan valores muy alejados. Todo esto
con ayuda del software MatLab y Simulink. También se
reforzara el algebra de bloques.
II. DESARROLLO
A. Primer ejercicio.
Haciendo uso de Simulink, se pretende establecer si la
función de transferencia es estable según BIBO.
s + 1
s
2
Sabemos que un sistema es BIBO estable si para toda entrada
acotada se tiene una salida también acotada. [1]
B. Simulación.
En el entrono de Simulink procedemos a realizar el diagrama
de bloques de nuestro sistema, estableciendo una ganancia igual
a 1, un tiempo de muestra de 0.01 para las salidas durante un
tiempo de 10.
Fig. 1 Diagrama de bloques del ejercicio uno.
Los bloques, to workspace, se encargan de mandar las
muestras a nuestro workspace de MatLab, de manera que
podemos verificar esto introduciendo en el command window
el nombre de la variable.
out.y para la salida del sistema.
out.t para la salida del tiempo.
Para obtener la gráfica de la respuesta del sistema, en
command window introducimos el comando plot y el comando
grid, para observar la cuadricula, y así obtenemos la figura 2.
plot(out.t,out.y)
grid
Fig. 2 Gráfica de señal de salida del sistema.
Procedemos a establecer la etiqueta del eje x y eje y, así
como los valores cuando tenemos y max
(t) , figura 3.
Fig. 3 Gráfica de señal de salida de sistema con etiquetas en ejes y mostrando
los valores en el punto que y(t) tiene su valor máximo.
También podemos obtener el valor máximo de y en el
command window, introduciendo el comando max.
max(out.y)
ans =
Estabilidad BIBO
Yasser A. Manríquez Chávez
UPIITA, Instituto Politécnico Nacional
CDMX, México
[email protected]
C. Interpretación de resultados.
De la gráfica obtenida con la simulación podemos deducir
que y(t) es acotada, con lo que obtenemos que.
El sistema es estable según BIBO. Porque la entrada y salida
son acotadas.
D. Segundo ejercicio.
Con el uso de Simulink se pretende graficar la salida del
siguiente sistema de control lazo cerrado, figura 4.
Fig. 4 Diagrama de bloques del ejercicio 2.
Podemos deducir haciendo uso de algebra de bloques que la
función de transferencia es igual a:
3
2
Haciendo uso del Teorema de Routh-Hurwitz, mostrado en
la tabla I.
Tabla I
Aplicación de teorema de Routh-Hurwitz.
S
3
S
2
S − 1. 9 𝑘 + 6
S
0
Observamos que existen tres opciones de respuesta,
mostradas en la tabla II.
Tabla II
Clasificación de sistema según valor de k.
Valor de k Tipo de sistema
6
- 9
Oscilatorio
6
- 9
Estable
6
- 9
Inestable
E. Simulación.
Para llevar a cabo la simulación, es necesario replicar el
diagrama de bloques en Simulink, figura 5.
Fig. 5 Diagrama de bloques en Simulink.
Podemos observar como la ganancia se determina con la
constante K, para realizar la simulación es necesario asignarle
un valor a esta en el workspace.
1) Sistema oscilatorio: Primero simularemos el sistema en
estado oscilatorio, para eso asignamos el valor correspondiente
a k en command window.
K=6/1.
K =
Cambiamos el tiempo de simulación a 20, para poder
observar mejor la señal de salida y procedemos a usar el
comando plot y grid para visualizarla.
plot(out.t,out.y)
grid
Así mismo procedemos a poner etiquetas a los ejes y
obtenemos la figura 6 que muestra la señal de salida del
sistema en estado oscilatorio.
Fig. 6 Gráfica de señal de salida del sistema en estado oscilatorio.
2) Sistema estable: Para simular un sistema estable, tenemos
establecido que k debe ser menor a
6
- 9
por lo tanto asignamos un
nuevo valor a k. Primero introduciremos un valor muy cercano
al oscilatorio.
Y obtenemos la figura 10 , donde observamos un valor
máximo de y(t) de 1. 5 𝑥 10
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el cual es muy grande, lo cual
muestra cuan inestable es el sistema.
Fig. 10 Gráfica de señal de salida del sistema en estado inestable.
F. Interpretación de resultados.
Podemos observar como en el estado oscilatorio la señal una
ves que adquiere una forma sinusoidal esta no aumenta su
amplitud, si no que continua así infinitamente, por lo tanto no
es estable.
Para el caso de los sistemas inestables, podemos observar
como la amplitud de la señal continua aumentando,
demostrando que no esta acotada y por lo tanto no es estable
según BIBO.
Para el caso de sistemas estables, podemos observar
claramente que existe un valor máximo para y(t) lo cual hace a
estos sistemas un sistema BIBO estable.
III. CONCLUSIÓN
La división de la practica en dos ejercicios funciona de
manera que en la primer parte es fácilmente observable el pico
máximo de la señal, lo cual nos hace entender como se establece
que un sistema es estable según BIBO.
Para el segundo ejercicio, es muy funcional dado que ya
conocíamos el valor para que el sistema sea oscilatorio, de esta
manera se mostró gráficamente que pasa cuando el valor de la
ganancia esta cerca del estado oscilatorio y lo que sucede
cuando uno se aleja mucho.
También fue de gran utilidad dado que se pudo implementar
y corroborar el teorema de Routh-Hurwitz.
IV. REFERENCIAS
[
]
E. R. Ángles, «APUNTES DE LA UNIDAD DE
APRENDIZAJE SISTEMAS LINEALES Y
SEÑALES.,» 07 2017. [En línea]. Available:
http://ri.uaemex.mx/bitstream/handle/20.500.11799/
40/secme-25134_1.pdf?sequence=1. [Último acceso: 14
11 2020].
