Mecánica de Materiales I
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Universidad de los Andes
Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Mecánica
Tema 6 - Columnas
Tema 6
Columnas
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estabilidad columnas, Ejercicios de Elasticidad y Resistencia de materiales
estabilidad de columnas y pandeo
Tipo: Ejercicios
2020/2021
1 / 33
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Mecánica de Materiales I ______________________________________________________________________________
Universidad de los AndesFacultad de IngenieríaEscuela de Ingeniería Mecánica
Tema 6 - Columnas
Tema 6Columnas
Consideraciones iniciales
Tema 6 - Columnas
Sección 1 - Consideraciones iniciales
Una columna es un elemento sometido a compresión, el cual es lo suficientemente delgado respecto a su longitud para que bajo la acción deuna carga gradualmente creciente se rompa por flexión lateral o
pandeo
ante^
una^
carga
mucho
menor
que
la^
necesaria
para
romperlo
por
aplastamiento. En
esto
se^
diferencia
de un
elemento corto sometido a
compresión, el cual, aunque este cargado excéntricamente, experimentauna flexión lateral despreciable.
Aunque no existe un límite perfectamente definido entre elemento corto y columna, se suele considerar que un elemento a compresión es unacolumna si su longitud es igual o mayor a diez veces la dimensión menor dela sección transversal.
Las columnas se suelen dividir en dos grupos: largas e intermedias. En^ algunos
casos,
los elementos
cortos
sometidos
a^ compresión
se
consideran en un tercer grupo: el de las columnas cortas.^ ________________________________________________________________________________
Universidad de los AndesFacultad de IngenieríaEscuela de Ingeniería Mecánica
La fuerza restauradora, que sería en este caso la reacción del resorte, sería:
Como el ángulo
“^ ”^
es muy pequeño, es válida la aproximación
‘tg^ ≈
sin^ ≈
’.^
Entonces,
si^
la^ fuerza
restauradora
fuese
mayor
que
la
perturbadora, tendríamos:
En esta situación, las barras volverían a su posición inicial; a esto se denomina
equilibro estable
. Si sucediese lo contrario:
De modo que el mecanismo se deformaría hasta una posición de equilibrio entre las fuerzas. A esto se llama
equilibrio inestable
Tema 6 - Columnas.
Sección 1 - Consideraciones iniciales
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L^4 K P^
r
sin 2 ^
L K F^
r ra restaurado
L^4 K P^
r
Si ambas fuerzas fuesen iguales, entonces:La carga axial crítica (
“P”cri
) representa el estado del mecanismo
con el cual éste se mantiene en equilibrio, pues de variar ligeramente dichacarga las barras del mecanismo no sufrirían nigún desplazamiento, es decir:el mecanismo
no se movería
Tema 6 - Columnas
Sección 1 - Consideraciones iniciales
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L^4 K P^
r cri^
Puede observarse que en la sección transversal que sufre lamayor deflexión, el momento flectores:
La fuerza
“Pcri
”^ es la carga
necesaria
para
mantener
la^
viga
flexada
sin^
empuje
lateral
alguno.
Un^
incremento
de
esta
carga,
implica a su vez un aumento de ladeflexión
“^ ”^ y viceversa.
Tema 6 - Columnas
Sección 2 - Carga crítica en columnas articuladas
Supongamos
ahora
que
añadimos
una
carga
axial
céntrica
a
compresión
“P”^
y la hacemos aumentar desde cero, al mismo tiempo que
disminuimos la carga
“H” , de modo que se mantenga constante la deflexión
“^ ”^ constante.^ ______________________________________________________________________________
Universidad de los AndesFacultad de IngenieríaEscuela de Ingeniería Mecánica ^ PM cri
Tema 6 - Columnas
Sección 2 - Carga crítica en columnas articuladas
Si para el caso anterior designamos como
“x”^ al eje vertical (sobre
el que se proyecta la longitud de la viga) e
“y”^ al eje horizontal (sobre el cual
se producen las deflexiones), puede plantearse el momento flector de laforma:^ ________________________________________________________________________________
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El^ signo
(-)^
se^ debe
a^
que^
la^ deflexión
producida es negativa (según la orientación el eje
“y” ),
y el momento flector es positivo.
Recordemos la ecuación de la elástica para vigas de sección transversal constante:
y
P
xM
cri
xM^ IE
yd dx
^
2 2
La solución de la ecuación anterior sirve para hallar el valor de “P”cri
, pues debe cumplirse:
Tema 6 - Columnas
Sección 2 - Carga crítica en columnas articuladas
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^
n L I Pcri E
Donde
‘n=1,2,3…’
En^
la^ figura
pueden
verse
distintas
formas
en^
que
puede
pandearse
la^
columna
utilizando
distintos
valores
de
“n”.
Para efectos de diseño, siempre trabajaremos con
‘n=1’
.^ De modo
que la carga crítica queda expresada de la forma:
A esta expresión se le conoce como la
carga crítica de Euler para
columnas articuladas.
2 IE^2^ L
Pcri
Tema 6 - Columnas
Sección 2 - Carga crítica en columnas articuladas
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Si en la expresión 6.2.10 enviamos el término
“A”^
a dividir hacia el
lado izquierdo, obtenemos:
Mediante esta ecuación se puede determinar el esfuerzo crítico
( “^ cri
” ) en una columna, el cual indica el esfuerzo normal con el cual la misma comienza a pandearse.
Obsérvese que los términos variables en
esta expresión son la relación de esbeltez (
“L/r” ) y el esfuerzo crítico en
cuestión.
De modo que podemos construir una gráfica que nos indique cómo
varía
dicho
esfuerzo
en^
función
de^
la^ relación
de^
esbeltez
en
columnas.
Como el módulo de elasticidad (
“E” ) varía para cada material,
tendremos distintas curvas para diferentes materiales.
Tema 6 - Columnas
Sección 2 - Carga crítica en columnas articuladas
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cri
cri
E rL P A
^
^
2 2 )/ (
Por ejemplo, en se presentan en la figura las curvas del acero estructural y del aluminio.
Es importante observar que para cada material
existe una esbeltez que se corresponde con su esfuerzo de fluencia, comose señala en las curvas.
A la derecha de estos puntos, puede observarse
que el esfuerzo crítico disminuye a medida que aumenta la relación deesbeltez (en otras palabras, se requiere menor carga para que se produzcael pandeo en la columna). A la izquierda de estos puntos, la gráfica no tienesentido práctico.
Tema 6 - Columnas
Sección 2 - Carga crítica en columnas articuladas
Universidad de los AndesFacultad de IngenieríaEscuela de Ingeniería Mecánica
De manera que la ecuación del esfuerzo crítico en una columna quedaría planteada de la forma:
Los valores de
“K”^ para las condiciones de apoyo más comunes se
ilustran en la figura.
Tema 6 - Columnas
Sección 3 – Columnas con varios tipos de soporte
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2 2 2 2
)/ ( )/ (^
rL K
E
E rLe cri^
^
La ecuación de Euler se obtiene a partir de la hipótesis de que la carga (
“P” ) siempre se aplica en el centroide de la sección transversal de la columna, y que ésta es perfectamente recta (antes de aplicar dicha carga).
Esta situación es ajena a la realidad, pues las columnas fabricadas no son perfectamente rectas, ni suele conocerse con exactitud el punto deaplicación de la carga.
Por tanto, las columnas no se pandean repentinamente sino que comienzan a flexionarse, si bien de modo ligero, inmediatamente despuésde la aplicación de la carga.
Tema 6 - Columnas
Sección 4 - Columnas sometidas a carga excéntrica
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Columnas sometidas a carga
excéntrica
Al plantear la ecuación de la elástica de la viga, queda:La solución general de esta ecuación es:Al plantear los límites de frontera, se obtiene que cuando
‘x=0’
‘y=e’
, de modo que
‘C^ =e’^2
. Luego, cuando
‘x=L’
→^ ‘y=e’
, de modo que: Tema 6 - Columnas
Sección 4 - Columnas sometidas a carga excéntrica
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ye IE P xM IE yd (^) dx
cri^
^
) ( )( 2 2
e x I P E C x I P E Cy
^
^
^
cos
sin^
2
1
^
2 tan 1
L I P E e C^
Finalmente, la ecuación 6.4.3 queda de la forma:La^ deflexión
máxima
en^
la^ viga
ocurre
cuando
‘x=0,5L
.^ Si
introducimos este valor en la ecuación, obtenemos:
En esta ecuación puede observarse que
‘y=0’
cuando
‘e=0’
.^ Sin
embargo, si la excentricidad
“e”^ es muy pequeña, y el término dentro de la
función trigonométrica la hiciese tender a infinito,
“y”^
tendría un valor no
nulo.
Tema 6 - Columnas
Sección 4 - Columnas sometidas a carga excéntrica
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^
^
^
^
1
cos
sin 2
tan^
x I P E x I P E L I P E ey
^
2 sec max
L I P E e y^