¡Descarga Hipótesis Estadísticas: Tipos, Contraste y Potencia - Prof. Rey y más Ejercicios en PDF de Estadística solo en Docsity!
TEMA 5: Contrastes de hipótesis. Conceptos fundamentales
5.1. Hipótesis estadísticas. Tipología
Sea un fenómeno aleatorio o “población” que se puede representar por la variable aleatoria F 07 8 con distribución de probabilidad descrita por la función (de cuantía o de densidad):
Donde F 07 1 representa a un parámetro de valor desconocido o a un vector de parámetros con valores desconocidos.
Una hipótesis estadística es cualquier conjetura formulada sobre alguna de las características de la distribución de probabilidad de la población o de las observaciones muestrales que se pudieran hacer de la misma o de los modelos que se pudieran construir con diferentes variables poblacionales.
Tipos de hipótesis:
- Hipótesis paramétrica : La que supone atribuir un valor o un rango de valores al parámetro o parámetros desconocidos de la población. Ejemplos: Población F 07 8F 07 E B(1; F 07 0 ) Hip.: F 07 0 = 0,47 ó Hip.: 0,23 < F 07 0 < 0, Población F 07 8F 07 E N( F 06 D ; F 07 3^2 ) Hip.: F 06 D = 2,57 ó Hip.: F 07 3^2 < 0,
- Hipótesis no paramétrica : La que incluye características no paramétricas como son: la forma de la distribución de probabilidad, la relación de independencia entre variables o el modo de selección de los elementos muestrales. Ejemplos: Población F 07 8 Hip.: F 07 8F 07 E Poisson Poblaciones F 07 8 1 y F 07 8 2 Hip.: F 07 8 1 y F 07 8 2 son independientes en probabilidad
- Hipótesis simple : Aquella hipótesis que bajo su enunciado la distribución de probabilidad de F 07 8 y, por tanto la de la muestra, está completamente determinada y es única. Ejemplos:
Población F 07 8F 07 E Poisson(^ F 06 C )^ Hip.:^ F 06 C = 2,4^ F 0D E^ F 07 8F 07 E Poisson(2,4)^ F 0D E xi F 07 E Poisson
Población F 07 8F 07 E N( F 06 D ;1,54) Hip.: F 06 D = 2,5 F 0D E^ F 07 8F 07 E N(2,5;1,54) F 0D E xi F 07 E N(2,5;1,54)
Población F 07 8F 07 E N(16,5 ; F 07 3^2 ) Hip.: F 07 3^2 = 4,2 F 0D E^ F 07 8F 07 E N(16,5;4,2) F 0D E xi F 07 E N(16,5;4,2)
ema 5: Contrastes de hipótesis. Conceptos fundamentales Estadística Empresarial II
- Hipótesis compuesta : Aquella que bajo su enunciado la distribución de probabilidad de F 07 8 queda aún indeterminada dependiendo, generalmente, del valor de uno o más parámetros. Ejemplos: Población F 07 8F 07 E Poisson( F 06 C) Hip.: F 06 C > 2,4 F 0D E la dist. de probabilidad de F 07 8 no es única
Población F 07 8F 07 E N(^ F 06 D ;^ F 07 3^2 )^ Hip.:^ F 06 D = 2,5^ F 0D E^ F 07 8^ F 07 E N(2,5;^ F 07 3^2 ) depende del valor de
F 0 7 3^2
- Hipótesis nula : Es la hipótesis que se enuncia para ser contrastada con los resultados muestrales, de tal manera que va a ser rechazada o aceptada según se encuentre evidencia suficiente en la muestra. Se tenderá a enunciarla con un contenido lo más preciso posible. Se representa por.
- Hipótesis alternativa : Es la que se propone frente a la hipótesis nula, de tal forma que si el contenido de ésta fuera falso, dentro de lo formulado en la hipótesis alternativa deberá estar lo verdadero. Si la hipótesis nula fuera rechazada se deberá aceptar lo expresado por la hipótesis alternativa, aunque esto suponga admitir algo muy poco preciso. Habitualmente su contenido constituye todo lo contrario que supone el contenido de la hipótesis nula Se representa por.
En el caso de que las hipótesis fueran acerca del parámetro F 07 1 cuyo valor desconocido podría ser cualquier valor perteneciente al espacio paramétrico , la hipótesis nula y la alternativa, se plantearían, en general, de esta manera:
En el espacio paramétrico están incluidos todos los posibles valores que se pudieran
asignar al parámetro F 07 1. Con^ representamos al valor o valores cuya aceptación o rechazo se quiere decidir en el contraste. Con representamos al conjunto alternativo de valores que deberemos asumir su aceptación si en el contraste concluimos que se rechaza la hipótesis nula. Se cumple que: y Cuando se planteen estas hipótesis paramétricas nosotros lo haremos, casi siempre, de la siguiente forma:
- La hipótesis nula estará definida lo más precisa posible. Habitualmente se hará asignando un único valor para el parámetro desconocido, que si es el único desconocido hará que la hipótesis sea simple, supuesto un modelo de probabilidad para la población.
- Mientras que para la hipótesis alternativa podremos considerar los dos casos siguientes:
Tema 5: Contrastes de hipótesis. Conceptos fundamentales Estadística Empresarial II
SE RECHAZA H O
F 0 6 5^1 Error de primera especie
SE ACEPTA HO
F 0 6 5^2 Error de segunda especie
Donde se aprecia que es posible cometer dos tipos de errores:
- Error de tipo “1” o de primera especie (): cuando se rechaza la hipótesis y ésta fuera cierta.
- Error de tipo “2” o de segunda especie (): cuando se acepta la hipótesis y ésta fuera falsa.
En principio, parece más grave cometer el primer tipo de error (), ya que al rechazar una hipótesis es difícil volver a plantearla para su contraste de nuevo y es posible que nos mantengamos en el error de creer que no es válida durante mucho tiempo. Mientras que si caemos en el error de segunda especie () y aceptamos una hipótesis que resulta que es falsa, se podrá seguir replanteando su validez, con más facilidad, en las siguientes etapas del proceso al ser uno de los supuestos con que se trabaje.
Las probabilidades y conceptos que se definen para caracterizar el proceso del contraste de hipótesis son:
Probabilidad de cometer el error de primera especie: = P [ Rechazar/es cierta ] = Por tanto, esta probabilidad de cometer el error tomará un único valor si la hipótesis nula fuera simple, y será una función que dependerá de los valores del parámetro en si ésta fuera una hipótesis compuesta.
Nivel de significación ( F 06 1 ): Hace referencia a la probabilidad de cometer el error F 0 6 1 ( si es sim ple) ó
Probabilidad de cometer el error de segunda especie:
= P [ Aceptar/es falsa ] = Igualmente, esta probabilidad de cometer el error tomará un único valor si la hipótesis alternativa fuera simple, y será una función que dependerá de los valores del parámetro en si ésta fuera una hipótesis compuesta.
Potencia del contraste: Es la función, que dependiendo de los valores del parámetro en , , que nos da la probabilidad complementaria a la de cometer el error de segunda especie , es decir, la probabilidad de rechazar la hipótesis nula siendo ésta falsa. = P [ Rechazar/es falsa ] =
Si la hipótesis alternativa fuera simple, la potencia del contraste sería un valor:
Tema 5: Contrastes de hipótesis. Conceptos fundamentales Estadística Empresarial II
F 0 D E
Función de potencia: Es una función que dependiendo de todos los posibles valores del parámetro incorpora tanto a la probabilidad de cometer el error (y, por tanto, al nivel de significación) como a la potencia del contraste:
Un contraste de hipótesis se resuelve al determinar la región crítica correspondiente que se caracteriza por su nivel de significación, también denominado tamaño del contraste, y su potencia del contraste, habitualmente en función de los valores paramétricos establecidos en la hipótesis alternativa.
Diremos que una región crítica,, de nivel de significación o tamaño “ F 06 1 ” es^ óptima , si
entre todas las regiones críticas con el mismo tamaño “ F 06 1 ”, que se pudieran definir para
resolver ese contraste, posee la máxima potencia del contraste para cualquier valor del parámetro en la hipótesis alternativa.
es óptima F 0D B fijado^ F 06 1
Concepto de p-valor : El p-valor se determina una vez extraída la muestra y calculado el valor del estadístico con el que se resuelve el contraste. Se puede definir como la probabilidad de obtener un resultado al menos tan extremo (en el sentido de la región crítica) como el que realmente se ha obtenido (valor del estadístico calculado), suponiendo que la hipótesis nula es cierta. El p-valor es una medida directa de lo probable que resultaría obtener una muestra como la actual si es cierta H 0. Los valores pequeños indican que sería muy raro obtener una muestra como la actual si fuera verdadera la hipótesis nula, derivándose que el enunciado de ésta debería ser rechazado. En cambio, los valores altos indican que sería un resultado esperable y, por tanto, aceptable lo enunciado en la hipótesis nula.
Todos estos conceptos se pueden estudiar mediante un ejemplo. Utilizaremos uno de los casos más sencillos de contrastes de hipótesis paramétricas, el que se refiere al del valor de la media de una población Normal con varianza conocida.
Ejemplo
Sea un fenómeno aleatorio representado por la variable aleatoria F 07 8 con distribución de probabilidad Normal ( F 06 D ; F 07 3 = 2 ). Para hacer inferencias respecto al valor desconocido
de la media F 06 D se va a extraer una muestra (m.a.s.) de tamaño 25. Vamos a plantear los dos contrastes siguientes:
Como se observa, en ambos contrastes la hipótesis nula es simple (), mientras que la hipótesis alternativa es simple en el caso A () y compuesta en el caso B ()
ema 5: Contrastes de hipótesis. Conceptos fundamentales Estadística Empresarial II
Si se calcularan los valores de para muchos más valores de F 06 D y uniéramos esos puntos obtendríamos una gráfica como ésta:
F 0
6 A(^
F 0
6 D)
1
F 0 6 8 = 0,
F 0 6 1= 0,
10 11 F 06 D
En la que vemos representada la función de potencia, y en la que destacamos dos puntos: los correspondientes al nivel de significación, para F 06 D = 10 y el de la potencia del contraste del caso A para F 06 D = 11.
Obsérvese que la función de potencia, en este caso, es creciente para valores del parámetro que se alejan por la derecha del valor indicado en la hipótesis nula, reflejando que cuanto mayor sea el verdadero valor del parámetro F 06 D más probabilidad tendremos de rechazar el valor 10 con nuestra región crítica.
También se puede observar, para el segundo contraste, que si la hipótesis nula hubiese sido , nuestra región crítica ( ) seguiría siendo válida y con el mismo nivel de significación ya que para el máximo valor de la probabilidad de cometer el error es 0,05.
Resolución de los contrastes y cálculos del p-valor
Si el valor muestral obtenido hubiese sido al ser menor que 10,658 se aceptaría la hipótesis nula de que el valor medio poblacional podría ser igual a 10 (o mejor, no se rechazaría que la media F 06 D fuera igual a 10). El^ p-valor^ asignado a ese valor muestral será:
ema 5: Contrastes de hipótesis. Conceptos fundamentales Estadística Empresarial II
Indicando que la probabilidad de obtener un valor como el de nuestro resultado muestral o mayor, bajo el supuesto de que es cierta, no es tan pequeña como para considerar rechazable dicha hipótesis.
Si el valor muestral obtenido hubiese sido al ser mayor que 10,658 se rechazaría la hipótesis nula de que el valor medio poblacional pudiera ser igual a 10. El p-valor asignado a ese valor muestral será:
Indicando que la probabilidad de obtener un valor como el de nuestro resultado muestral o mayor, bajo el supuesto de que es cierta, es demasiado pequeña como para considerar rechazable dicha hipótesis.
5.3. Métodos de elaboración de contrastes de hipótesis
Existen varios procedimientos para determinar los estadísticos apropiados para resolver los diferentes contrastes de hipótesis. Los métodos más aplicados, y cuyo planteamiento y desarrollo se pueden consultar en la bibliografía recomendada 1 , son:
Contrastes basados en la función de verosimilitud:
- Teorema de Neyman-Pearson, para contrastar una hipótesis nula simple frente a una hipótesis alternativa también simple.
- Contrastes de la razón de verosimilitudes.
- Contrastes de Wald.
- Contrastes de los multiplicadores de Lagrange.
Contrastes de significación:
- Contrastes paramétricos de significación que estudiaremos en el Tema 6.
- Contrastes no paramétricos que estudiaremos en el Tema 7.
Lecturas recomendadas para este Tema:
Ruiz-Maya, L. y F. J. Martín-Pliego “Fundamentos de Inferencia Estadística” Ed. Thomson-Paraninfo: Capítulo 6 ( S519.2RUI ) ( M519.2RUI )
Tema 5: Contrastes de hipótesis. Conceptos fundamentales Estadística Empresarial II
(^1) En concreto: Ruiz-Maya, L. y F. J. Martín-Pliego “Fundamentos de Inferencia
Estadística” Ed. Thomson-Paraninfo:
Capítulos 6, 7 y 8 ( S519.2RUI ) ( M519.2RUI )
Tema 5: Contrastes de hipótesis. Conceptos fundamentales Estadística Empresarial II
