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ESTADISTICA I (ADE)
Curs 2014-15. Grup Y1 (GIE) Prova dâ 0 0 8 00 0 9 9Avaluació Continuada 3 Instruccions per a la realització de la prova: â 0 0 8 0¢ â 0 0 8 0¢ â 0 0 8 0¢ â 0 0 8 0¢ â 0 0 8 0¢
Per a realitzar la prova només cal bolÃgraf (llapis) i calculadora. Les respostes a les diferents preguntes sâ 0 0 8 00 0 9 9han de posar en el quadern en blanc proporcionat amb lâ 0 0 8 00 0 9 9enunciat (i no en aquest enunciat). Sâ 0 0 8 00 0 9 9ha dâ 0 0 8 00 0 9 9indicar clarament el número i lâ 0 0 8 00 0 9 9apartat de la pregunta que es respon i sâ 0 0 8 00 0 9 9ha dâ 0 0 8 00 0 9 9escriure amb claredat per facilitar la correcció. Sâ 0 0 8 00 0 9 9han de proporcionar tots els cà lculs necessaris per a donar una resposta i les justificacions que es demanin. Una resposta sense les corresponents explicacions o injustificada no puntuarÃ. Les puntuacions corresponents als diferents exercicis són les següents: Exercici 1: 3 punts; exercici 2: 4 punts; exercici 3: 3 punts; exercici 4: 5 punts; exercici 5: 6 punts; i exercici 6: 4 punts. Total: 25 punts.
- Una botiga té 2 datà fons de dues entitats financeres diferents. La probabilitat que el primer no funcioni és dâ 0 0 8 00 0 9 9un 10% ; la probabilitat que no ho faci el segon, dâ 0 0 8 00 0 9 9un 5%. Si els dos funcionen de forma independent, indica: a) La probabilitat que tots dos funcionin correctament? b) La probabilitat que només un dâ 0 0 8 00 0 9 9ells funcioni correctament? c) La probabilitat que, si només funciona un correctament, sigui el segon?
Definim els següents successos: D1-F = El primer datà fon funciona D2-F = El segon datà fon funciona
D1-NF = El primer datà fon no funciona D2-NF = El segon datà fon no funciona
i, per tant,
Pr( D1 â 0 0 8 80 0 9 2NF ) = 0,10 que implica que Pr( D1 â 0 0 8 80 0 9 2F ) = 1 â 0 0 8 80 0 9 2Pr( D1 â 0 0 8 80 0 9 2NF ) = 1 â 0 0 8 80 0 9 20,10 = 0, Pr( D 2 â 0 0 8 80 0 9 2NF ) = 0,05 que implica que Pr( D 2 â 0 0 8 80 0 9 2F ) = 1 â 0 0 8 80 0 9 2Pr( D 2 â 0 0 8 80 0 9 2NF ) = 1 â 0 0 8 80 0 9 20,05 = 0, La taula següent mostra les 4 possibles situacions que es poden donar i les corresponents probabilitats, calculades a partir dels supòsit dâ 0 0 8 00 0 9 9independència.
D1-NF D1-F
D2-NF (D1-NF;D2-NF)
(D1-F;D2-NF)
D2-F (D1-NF;D2-F)
(D1-F;D2-F)
Pr( D1 â 0 0 8 80 0 9 2NF I D 2 â 0 0 8 80 0 9 2NF ) = {indep.} = Pr( D1 â 0 0 8 80 0 9 2NF )·Pr(D 2 â 0 0 8 80 0 9 2NF ) = 0,10·0,05 = 0, Pr( D1 â 0 0 8 80 0 9 2NF I D 2 â 0 0 8 80 0 9 2F ) = {indep.} = Pr( D1 â 0 0 8 80 0 9 2NF )·Pr(D 2 â 0 0 8 80 0 9 2F ) = 0,10·0,95 = 0, Pr( D1 â 0 0 8 80 0 9 2F I D 2 â 0 0 8 80 0 9 2NF ) = {indep.} = Pr( D1 â 0 0 8 80 0 9 2F )·Pr(D 2 â 0 0 8 80 0 9 2NF ) = 0,90·0,05 = 0, Pr( D1 â 0 0 8 80 0 9 2F I D 2 â 0 0 8 80 0 9 2F ) = {indep.} = Pr( D1 â 0 0 8 80 0 9 2F )·Pr(D 2 â 0 0 8 80 0 9 2F ) = 0,90·0,95 = 0,855 (a)
b)
Pr(nomes funciona un) = Pr( D1 â 0 0 8 80 0 9 2NF ; D 2 â 0 0 8 80 0 9 2F ) + Pr( D1 â 0 0 8 80 0 9 2F ; D 2 â 0 0 8 80 0 9 2NF ) = 0.095 + 0.045 = 0,
c)
Pr( D 2 â 0 0 8 80 0 9 2F / nomes un) =
Pr( D 2 â 0 0 8 80 0 9 2F I només un) Pr( D1 â 0 0 8 80 0 9 2NF I D 2 â 0 0 8 80 0 9 2F ) 0.
= = 0. Pr(només un) Pr(nomes un) 0,
- En una facultat, 6 de cada 10 estudiants ho són dâ 0 0 8 00 0 9 9ADE, el 30% dâ 0 0 8 00 0 9 9Economia i la resta de Sociologia. Per un altre costat, la probabilitat que un estudiant sigui usuari habitual de la biblioteca és dâ 0 0 8 00 0 9 9un 60% si lâ 0 0 8 00 0 9 9estudiant és dâ 0 0 8 00 0 9 9ADE, dâ 0 0 8 00 0 9 9un 70% si és dâ 0 0 8 00 0 9 9Economia i dâ 0 0 8 00 0 9 9un 80% si és de Sociologia. A partir dâ 0 0 8 00 0 9 9aquesta informació, si se sap que un estudiant no és usuari habitual del servei de biblioteca, quines són les probabilitats a posteriori de cada ensenyament. Seran més grans o més petites que les probabilitats a priori? De què depèn això?
Tenim les següents probabilitats a priori dels diferents (3) ensenyaments:
Pr( ADE ) = 0,
Pr( ECO) = 0,
Pr( SOC ) = 0,
Aquestes probabilitats sumen la unitat perquè un estudiant de la facultat ho ha de ser dâ 0 0 8 00 0 9 9algun dâ 0 0 8 00 0 9 9aquests ensenyaments i només dâ 0 0 8 00 0 9 9un. Després tenim les següents probabilitats condicionades. (Nota: B és el succés ser usuari habitual de la biblioteca). Aquestes no tenen perquè sumar la unitat.
Pr( B / ADE ) = 0.
Pr( B / ECO) = 0.
Pr( B / SOC ) = 0.
De les anteriors es deriven les següents:
Pr( B / ADE ) = 0.60 â 0 0 8 60 0 9 2Pr( NB / ADE ) = 1 â 0 0 8 80 0 9 20.60 = 0. Pr( B / ECO) = 0.70 â 0 0 8 60 0 9 2Pr( NB / ECO) = 1 â 0 0 8 80 0 9 20.70 = 0. Pr( B / SOC ) = 0.80 â 0 0 8 60 0 9 2Pr( NB / SOC ) = 1 â 0 0 8 80 0 9 20.80 = 0. Per a calcular les probabilitats a posteriori de cada ensenyament, a posteriori de saber que lâ 0 0 8 00 0 9 9estudiant no és usuari de la biblioteca, necessitem aplicar el teorema de Bayes i, en concret, calcular la probabilitat total que un estudiant no sigui usuari habitual de la biblioteca ( B ) en el denominador de la fórmula:
Pr(ensenyament / B ) =
Pr(ensenyament I B ) Pr( B )
=
Pr(ensenyament ) Pr( NB / ensenyament ) â 0 0 8 80 0 9 1Pr(ensenyamenti ) Pr( NB / ensenyamenti )
Pr( B ) = Pr( B I ADE ) + Pr( B I ECO) + Pr( B I SOC ) = = Pr( ADE ) Pr( B / ADE ) + Pr( ECO) Pr( B / ECO) + Pr( SOC ) Pr( B / SOC ) = = (0,60·0,40) + (0,30·0,30) + (0,10·0,20) = 0,24 + 0,09 + 0,02 = 0, Per tant, les probabilitats dels tres ensenyaments a posteriori (de conèixer que sâ 0 0 8 00 0 9 9ha produït el succés B ) són:
Nota: Aquesta és una variable geomètrica amb p = probabilitat èxit = 0,20. Les fórmules generals de les funcions P i F dâ 0 0 8 00 0 9 9aquest model de distribució de probabilitat són: P ( x) = (1 â 0 0 8 80 0 9 2p ) x â 0 0 8 80 0 9 21 p i F ( x) = 1 â 0 0 8 80 0 9 2(1 â 0 0 8 80 0 9 2p ) x El model geomètric no entra, com a tal, en el temari de lâ 0 0 8 00 0 9 9assignatura.
- El nombre dâ 0 0 8 00 0 9 9hipoteques signades cada setmana en una sucursal dâ 0 0 8 00 0 9 9una entitat bancà ria és una variable aleatòria amb la següent distribució de probabilitat: x P(x)
0 ?
1 0,
2 0,
3 0,
a) Quina és la probabilitat que, en una setmana qualsevol, no es signi cap hipoteca? b) Quin és el valor esperat i la desviació està ndard de la variable? c) Si el benefici en euros (Y) és la següent funció del nombre dâ 0 0 8 00 0 9 9hipoteques:
Y = 3000 X â 0 0 8 80 0 9 2 500
quin serà el valor esperat i la desviació està ndard dels beneficis (setmanals per la concessió dâ 0 0 8 00 0 9 9hipoteques en lâ 0 0 8 00 0 9 9oficina)?
a)
P ( X = 0) = 0,1 per tal que es verifiqui que b)
â 0 0 8 80 0 9 1P( x ) = 1. i
Âμ = E ( X ) = â 0 0 8 80 0 9 1xi P( xi ) = (0·0,1) + (1·0,3) + (2·0,4) + (3·0,2) = 0 + 0,3 + 0,8 + 0,6 = 1, Ï 0 0 8 32 = V ( X ) = E ( X 2 ) â 0 0 8 80 0 9 2E ( X ) 2 = * = 3,7 â 0 0 8 80 0 9 2(1,7 2 ) = 0,
- E ( X 2 ) = â 0 0 8 80 0 9 1xi2 P( xi ) = (02 ·0,1) + (12 ·0,3) + (22 ·0,4) + (32 ·0,2) = 0 + 0,3 + 1,6 + 1,8 = 3,
Ï 0 0 8 3= DE ( X ) = 0,81 = 0, c)
ÂμY = E (Y ) = 3000 E ( X ) â 0 0 8 80 0 9 2500 = (3000·1,7) â 0 0 8 80 0 9 2500 = 4600 Ï 0 0 8 3Y = DE (Y ) = 3000 DE ( X ) = 3000·0,9 = 2700
- Sigui una variable aleatòria amb funció de densitat:
f ( x) = Kx k â 0 0 8 80 0 9 21 0 â 0 0 8 9¤ x â 0 0 8 9¤ 1 a) Quin tipus de variable aleatòria seria aquesta (discreta o contÃnua)? Per què? b) Quins valors pot prendre k? Suposa (dâ 0 0 8 00 0 9 9ara en endavant) que k=2. c) Indica i representa la funció de densitat. à 0 0 8 9s simètrica? En cas de no ser-ho, quin tipus dâ 0 0 8 00 0 9 9asimetria presenta? d) Calcula el valor esperat (o mitjana) de la variable. La mediana serà més gran, igual o més petita (que la mitjana)? e) Calcula la varià ncia i la desviació està ndard. f) Indica lâ 0 0 8 00 0 9 9expressió de la funció de distribució (F). Calcula amb ella Pr( X â 0 0 8 9¤ 1 / 2). a) Donat que té associada una funció de densitat, és una variable contÃnua. b) K pot ser qualsevol valor doncs si sâ 0 0 8 00 0 9 9integra la funció de densitat en el rang (0,1) sempre (independentment de k) sâ 0 0 8 00 0 9 9obté la unitat. Efectivament: 1
â 0 0 8 8«
0
0
 xk  1 f ( x)dx = â 0 0 8 8« kx dx = k â 0 0 8 8« x dx = k   = k   = 1 0 0 ï£k   k  1
c) Si k=2 aleshores f ( x) = 2 x 0 â 0 0 8 9¤ x â 0 0 8 9¤ 1. La funció densitat és una recta amb pendent igual a 2 que va del punt (0,0) al punt (1,2). No és simètrica. Presenta una asimetria negativa o a lâ 0 0 8 00 0 9 9esquerra. d) 1
 x3  1 2 Ë 0 0 8 6 x f ( x)dx = â 0 0 8 8« x 2 x dx = 2 â 0 0 8 8« x dx = 2   = 2  = = 0, 0 0 ï£3 3  3  1
Âμ = E( X ) = â 0 0 8 8«
1
2
Donada
XAMEN DE ESTADÍSTICA I
Código Cuestionario 33
Apellidos.................................................................................................................................................. Nombre............................................................................................... DNI.....................................
- El siguiente diagrama Stem and Leaf recoge una muestra de observaciones de la variable X="Vida útil en días de un determinado componente electrónico".
La vida útil máxima del 25% de los componentes con menos vida útil es: a) 1400 b) 140 c) 500 d) 50 2. La factura de las compras realizadas por un cliente en una tienda de artículos de oficina se recoge en el cuadro siguiente: Artículo Unidades Precio por unidad Descuento (en ) Caja de sobres 10 8 5% Paquete de folios 14 2, 1,75% Archivador 10 12 2,50% CD grabables 30 0,5 3% En esta factura, el descuento medio aplicado ha sido: a) 3.0625% b) 2,5% c) 3,225% d) 3,6% 3. En una encuesta realizada a las familias catalanas se ha obtenido información sobre las siguientes características: Número de televisores en la vivienda. Nivel de Renta codificada con los valores 0 baja, 1 media y 2 alta Consumo de agua (en metros cúbicos) de la última factura pagada. Tipo de unidad familiar: 1 Un adulto sólo, 2 Adultos sin hijos, 3 Un adulto con hijos, 4 Dos adultos con hijos La característica "Nivel de Renta codificada con los valores 0 baja, 1 media y 2 alta" es: a) Cuantitativa discreta. b) Cualitativa dicotómica. c) Cualitativa ordinal. d) Cuantitativa continua.
- Se ha observado el tiempo (en minutos) empleado en el envasado de tres productos, X1, X2 y X3 en una
- De una encuesta realizada a un grupo de jóvenes sobre la situación actual se han obtenido los siguientes
resultados: Problema más preocupante Paro Delincuencia Vivienda Nivel de estudios Primario 20 5 5 Secundario 12 7 1 Superior 18 8 4 Bajo el supuesto de independencia estadística, la frecuencia conjunta esperada de las categorías Vivienda y Superior es: a) 3 b) 3,75 c) 300 d) Ninguna de las anteriores. 9. En una muestra de 25 sucursales de una empresa de telefonía se han observado simultáneamente las siguientes variables: Y= Número de altas registradas en la última semana X= Número de vendedores en plantilla Obteniendo los siguientes resultados:
Y = 750 X i =1 i i =
25
25
i
= 500
X Y =17184 Y i =1 i i i =
25
25
2
i
= 27060
X i =
25
2 i
= 13360
La recta que explica el número de altas en función de los vendedores y su coeficiente de determinación son: ) a) Yi = 17 + 0, 65Xi R 2 = 0, 3113 ) b) Yi = 17 + 0, 65Xi R 2 = 0, 6476 ) c) Yi = 11, 25 + 0, 9375Xi R 2 = 0, 6476 ) d) Yi = 11, 25 + 0, 9375Xi R 2 = 0, 3113 10. Indique cuál de los siguientes resultados podría corresponder a la nube de puntos:
a) b) c) d)
SXY = 243 SX= 9 SY= 36 SXY = 243 SX= 9 SY= 36 SXY = 243 SX= 49 SY= 36 SXY = 243 SX=49 SY= 36
(en u.m.), Y, en función de la renta familiar (en u.m.), X.
Obtenga la predicción del consumo medio que realizaran las familias con una renta de 235 u.m. obtenida con la recta de regresión adecuada. a) 206,25 b) 152,25 c) 345,75 d) 435,75 12. Un estudiante utiliza para despertarse cada mañana un despertador y el móvil. El despertador suena a la hora fijada el 70% de las veces, el móvil el 80% y ambos el 60%. ¿Cuál es la probabilidad de que una mañana elegida al azar sólo suene uno de los dos? a) 0,4 b) 0,3 c) 0,2 d) 0,1 13. Respecto al IRPF se sabe que en España el 40% de los contribuyentes se hace su declaración, el 20% la encarga a una gestoría y el resto confirma la declaración realizada por Hacienda. Las declaraciones realizadas por Hacienda nunca se revisan y por lo tanto puede considerarse que no presentan errores. Se estima que el 10% de las declaraciones realizadas por gestorías y el 8% de las declaraciones realizadas por el contribuyente presenta algún error. ¿Cuál es la probabilidad de que una declaración que ha presentado algún error la haya hecho la gestoría? a) 0,19 b) 0,385 c) 0,615 d) 0,
- Dada una variable aleatoria discreta, X, con probabilidades no nulas para todos los valores enteros
FORMULARI
Me = Li -1 + n
0 , 5n - N i-1 ni n
ai 2 i
2 sX =
( X i - X ) i =
n - sX X
=
X i =
-n X 2
n - Zi = Xi - X sX
CV ( X ) =
s XY =
( X i - X )(Yi - Y ) i =
n
n -
=
X Y i =1 i
n
i
n -
^ Yi = a + bX i
b=
S XY 2 SX
a = Y - bX
R 2 = ( rXY )
rXY =
S XY S X SY
x P( x ) x μ= E(X) = + x f ( x ) dx -
x 2 P( x ) - μ 2 x 2 =V(X) = E(X - μ)2 = + 2 2 x f ( x )dx - μ -
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL TIPIFICADA
F( z) = -
- 1 -t/2 dt e
- Z 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2. z
- 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.
- 0.00 0.5000 0.5398 0.5792 0.6179 0.6554 0.6914 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159 0.8413 0.8643 0.8849 0.
- 0.9192 0.9331 0.9452 0.9554 0.9640 0.9712 0.9772 0.9821 0.9861 0.9892 0.9918 0.9937 0.9953 0.
- 0.9974 0.9981 0.9986 0.9990 0.9993 0.9995 0.9996 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.
- 0.01 0.5039 0.5438 0.5831 0.6217 0.6591 0.6949 0.7290 0.7611 0.7910 0.8185 0.8437 0.8665 0.8868 0.
- 0.9207 0.9344 0.9463 0.9563 0.9648 0.9719 0.9777 0.9825 0.9864 0.9895 0.9920 0.9939 0.9954 0.
- 0.9975 0.9981 0.9986 0.9990 0.9993 0.9995 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.
- 0.02 0.5079 0.5477 0.5870 0.6255 0.6627 0.6984 0.7323 0.7642 0.7938 0.8212 0.8461 0.8686 0.8887 0.
- 0.9222 0.9357 0.9473 0.9572 0.9656 0.9725 0.9783 0.9830 0.9867 0.9898 0.9922 0.9941 0.9956 0.
- 0.9976 0.9982 0.9987 0.9991 0.9993 0.9995 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.
- 0.03 0.5119 0.5517 0.5909 0.6293 0.6664 0.7019 0.7356 0.7673 0.7967 0.8238 0.8484 0.8707 0.8906 0.
- 0.9236 0.9369 0.9484 0.9581 0.9663 0.9732 0.9788 0.9834 0.9871 0.9901 0.9924 0.9943 0.9957 0.
- 0.9976 0.9983 0.9987 0.9991 0.9993 0.9995 0.9997 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.
- 0.04 0.5159 0.5556 0.5948 0.6330 0.6700 0.7054 0.7389 0.7703 0.7995 0.8263 0.8508 0.8728 0.8925 0.
- 0.9250 0.9382 0.9495 0.9590 0.9671 0.9738 0.9793 0.9838 0.9874 0.9903 0.9926 0.9944 0.9958 0.
- 0.9977 0.9983 0.9988 0.9991 0.9994 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.
- 0.05 0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736 0.7088 0.7421 0.7733 0.8023 0.8289 0.8531 0.8749 0.8943 0.
- 0.9264 0.9394 0.9505 0.9599 0.9678 0.9744 0.9798 0.9842 0.9877 0.9906 0.9928 0.9946 0.9959 0.
- 0.9978 0.9984 0.9988 0.9991 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.
- 0.06 0.5239 0.5635 0.6025 0.6405 0.6772 0.7122 0.7453 0.7763 0.8051 0.8314 0.8554 0.8769 0.8961 0.
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