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Universidad de Sevilla Grado en Finanzas y Contabilidad
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales ESTADÍSTICA II
Departamento de Economía Aplicada I 3ª Convocatoria 17-DIC-
DNI Apellidos Nombre Grupo
Para cada cuestión, traslade el número de la respuesta que considera correcta a la casilla de la siguiente tabla. No se equivoque con el número de la cuestión. Rellene sus datos de identificación con letra muy clara.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1.- Sea FX (^) ( x (^) ) la función de distribución de una
variable aleatoria. Entonces la probabilidad de que dicha variable aleatoria tome valores en un intervalo
( a b ,^ )es:
- P X ( ∈ (^) ( a b , (^) )) = FX (^) ( b (^) ) − FX (^) ( a )
- P X ( ∈ ( a b , )) = FX ( b ) − FX ( a ) + P X ( = b )
- P X ( ∈ (^) ( a b , (^) )) = FX (^) ( b (^) ) − FX (^) ( a (^) ) − P X ( = a )
- P X (^ ∈^ ( a b ,^^ )) =^ FX^ ( b^ ) −^ FX^ ( a )^ −^ P X (^ = b )
2.- Sea X una variable aleatoria con densidad de probabilidad constante en el intervalo (0, 2) y nula en el resto de la recta real. Entonces:
- P X [ > 1]=^12
- (^) P a [ < X < b ]= b − a para (^) a b , ∈(0, 2)
- P X [ > 2] = 1
- P [0 < X < 1]=^14
3.- Sea X ∈ N ( μ σ ,^2 )y h^ >^0 entonces
1) P X [ ≤ μ+ h ] = P X [ ≤ μ− h ]
2) P X [ ≥ μ+ h ] = P X [ ≤ μ+ h ]
3) P X [ ≥ μ− h ] = P X [ ≤ μ+ h ]
4) P X [ ≥ μ+ h ] = P X [ ≥ μ− h ]
4.- Sean (^) X Y , ∈ G p ( ) (modelo geométrico ) variables
aleatorias independientes. Entonces:
(^) E X ( ) = E Y ( )= p
(^) Var X ( ) Var Y ( )^1 p
- (^) X + Y ∈ Ge (2 p )
- (^) X + Y ∈ BN (2, p )
5.- El tiempo transcurrido entre la llegada de dos clientes consecutivos a un servicio sigue un modelo
exponencial con λ = 2. Entonces, el tiempo
transcurrido desde que se abre el servicio hasta que llega el quinto cliente sigue un modelo:
- Exp ( λ = (^10) ) 3) γ (^) ( p = 5, a = (^2) )
- BN (5, 12 ) 4) β (^) ( p = 5, q = (^2) )
6.- Si X ∈ Exp ( λ) (modelo Exponencial) entonces
- (^) P X ≤ t + s X < s = P X ( ≤ t )
- (^) P X ≤ t + s X > s = P X ( ≤ t )
- (^) P X ≤ t + s X < s = P X ( = t )
- (^) P X ≤ t + s X ≥ s = P X ( = t )
7.- Sea ( X Y , ) un vector aleatorio absolutamente continuo para el que hemos calculado E Y [ | X = x] = y + 1 , entonces:
- E X [ | Y = y (^) ]= x + 1.
- Hemos cometido un error en los cálculos.
- E Y [ (^) ] = E X [ ].
- X e Y son independientes.
8.- Sea X ∈ B (5, 12 )(Binomial) y sea Y = 2 X. Entonces:
(^) Y ∈ B (10,1) 3) P Y [ = (^2) ] = 5 ⋅( 12 )^5
Y ∈ B (10, )^12 4) P Y [ = (^2) ] =^12 9.- Sea (^) ( X Y , ) un vector aleatorio tal que su densidad de probabilidad es k en (0,1) × (0, 2) y nula en el resto de ℝ 2. Entonces:
Las leyes de probabilidad de X e Y son ambas U (0,1).
E Y [^ ] =^2 E X [ ]
(^) X + Y tiene una distribución uniforme.
Var X ( + Y ) > Var X ( − Y ) 10.- Sea , un vector aleatorio absolutamente continuo. Entonces se cumple que:
fY X (^) | ( y dy ) 1
∞
−∞
∫^ =
f^ ( x ,^^ y^ ) = fY X^ | ( x^ )· fY ( y )
f (^) X ( ) x f (^) ( X Y , )( , x y dx )
∞
−∞
= (^) ∫
- fY ( y ) f ( (^) X Y , )( , x y dy )
∞
−∞
= (^) ∫
11.- Sea (^) ( X Y , (^) ) un vector aleatorio con
Var (^) ( X (^) ) = Var Y ( ) = 1. Entonces Var aX ( + bY ) es
igual a:
- aVar (^) ( X (^) ) + bVar Y ( (^) ) + 2 abCov X Y ( , )
- (^) ( a b^2^2 ) Var (^) ( X )
- a^2 + b^2^ + 2 abCov X Y ( , )
- (^) ( a^2^ + b^2 ) Cov (^) ( X Y , )
12.- Si X =( X 1 (^) , X (^) 2 , ⋯ , Xn ) es una muestra aleatoria
simple generada por un modelo X ∈ B (1, θ)(modelo de Bernoulli ), entonces para i > 1
1) E X ( 1 Xi )= θ
2) X i (1 − X i ) ∈ B (1, θ (1 −θ))
- (^) ∑ X (^) i ~ BN ( n, θ).
- Max i { (^) X (^) i } ~ B ( 1, θ n ).
13.- Sea X =( X (^) 1 , X (^) 2 , ⋯ , Xn ) una m.a.s. generada por
un modelo N ( μ σ, 2 ). Entonces:
(^) ∑ X (^) i^2 ∈ χ^2 ( ) n 3) (^) ∑ X (^) i^2 ∈ χ^2 ( n −1)
2 2 2 ( )
ns
χ n
2 2 2 (^ 1)
ns
χ n
14.- Tenemos una urna con 20 bolas, de las cuales 10 son rojas, 2 son negras y 8 son blancas. Extraemos 5 bolas con reemplazamiento y definimos X (^) r como el
número de bolas rojas extraídas, X (^) n el número de bolas
negras extraídas y X (^) b el número de bolas blancas
extraídas. Entonces:
- (^) ( X (^) r , X (^) n , X (^) b ) ∈ M ( 20;0'5, 0'1, 0'4)
- X (^) r + X (^) n ∈ B ( 5, 0'6)
- X (^) r ∈ H ( 20,5,10)
- X^ r ∈ B (10, 0'5 )
15.- Sea xn la media muestral calculada a partir de una
m.a.s. de tamaño n , generada por un modelo con media μ y varianza^ σ 2 finitas. Entonces:
- n 2 L (0,1) cuando
x μ n Z N n
- n (0,1)
x n N
- n L (0,1) cuando
x n Z N n
- n (0,1)
x N
16.- Sea X =( X 1 (^) , X (^) 2 , … , Xn ) una m.a.s. de tamaño n generada por un modelo Exponencial (^) Exp ( θ ). La distribución de probabilidad conjunta de X es
1)^ f^ X ( ; x^ θ^ )^ =^ θ^ ne −^ θ x
2) ( ;^ )^
f θ =θ n^ e −^ θ nx
X x
3) ( ;^ )^ i
x
f n e
θ θ θ
X x =
- f^ X ( ; x^ θ^ )^ = k en todo 17.- Sea X =( X (^) 1 , X (^) 2 , ⋯, Xn ) una m.a.s. generada por
un modelo N ( μ σ, 2 ). Entonces:
X
n t n
μ σ
2)^ X^^ μ n 1 t n ( 1) σ
X
n t n S
− μ ∈
X
n t n S
− μ − ∈ −
18.- Si las Xi son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas según un modelo de Bernoulli de parámetro p , entonces:
n i L i
X p N p p
= (^) →
∑
1 (0,1) (1 )
n i i L
X
p n (^) N np p
= →
∑
n i i L
n X np N np p
= (^) →
∑
- 1 (0,1) (1 )
n i i L
X np N np p
= (^) →
∑
19.- Sea X =( X (^) 1 , ⋯ , Xn ) una m.a.s. de una población
Normal X ∈ N ( μ σ, 2 ). Entonces:
1) X ∈ N ( μ σ, 2 )
1
n i i
E S E X X
n
=
^
=^ −^ =
∑
lim n →∞ Var X ( ) = 0
(^) Cov X S ( ,^2 ) = 1
20.- Sea una m.a.s. generada por un
modelo N ( μ σ, 2 ). Entonces:
1) x^2 ∈ χ^2 (1) 3) ( )
x n t n
2
x μ n χ 2 (1)
x μ N
Duración de este ejercicio: 30 minutos
X =( X 1 , ⋯, Xn )
Solución: 4134 3223 2131 4232 4432.
PROBLEMA 3 [2.25 puntos]****. Un empleado cierra la caja de un comercio al final de la jornada. Generalmente el saldo en efectivo de caja no está del todo cuadrado por cuestiones de redondeos en los cambios. Podemos suponer que el error de cuadre al final del día, sigue una distribución normal. Analizado el cuadre de las últimas 16 jornadas, se obtuvieron los siguientes datos sobre errores de cuadre (en euros) cometidos: -0’12 -0’15 0’05 0’06 0’09 0’03 0’01 -0’ 0’15 0’21 -0’03 0’00 0’12 0’03 0’14 -0,
- [0.75 puntos] Obtenga un intervalo de confianza al 99% para el error de cuadre diario de la caja.
- [0.75 puntos] Obtenga un intervalo de confianza al 95% para la varianza de los errores diarios de cuadre.
- [0.75 puntos] ¿Se puede considerar, con un 5% de significación, que el error esperado de cuadre diario cometido es nulo?
PROBLEMA 4 [2 puntos]****. En una auditoría de una empresa, el número de apuntes contables en cada una de las cuentas que tenemos que revisar hasta encontrar el 2º error contable se distribuye de acuerdo con modelo Binomial Negativo con probabilidad de éxito desconocida θ. Se ha seleccionado una m.a.s. de 15 cuentas de la empresa, obteniéndose que el número medio de apuntes revisados en cada cuenta hasta encontrar el segundo error en cada una de ellas es de 12.
- [0.75 puntos] Obtener un estimador de θ y su valor para la muestra seleccionada por el método de los momentos.
- [0.75 puntos] Obtener un estimador de θ y su valor para la muestra seleccionada por el método de máxima verosimilitud
- [0.5 puntos] Obtener un estimador máximo verosímil y su valor para la muestra seleccionada para la varianza del número de apuntes revisados hasta encontrar el 2º error.
TIEMPO DE REALIZACIÓN: 2 HORAS Y 15 MINUTOS.
SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS
PROBLEMA 1 Sea X: número de visitas que realiza a un cliente. xi= 1, 2, 3
Y: toma valor 1 si consigue al venta y cero si no consigue la venta
1. Para que sean independientes P ^ X = x Yi , = y (^) j ^ = P X [ = xi (^) ] P Y ^ = y (^) j ∀ i j , , lo cual no se verifica ya que, por ejemplo, para x 1 e y 1 la probabilidad conjunta no coincide con el producto de las respectivas probabilidades marginales. 0'25 ≠ 0'30. 0'55 =0' 2. Nos piden la media de X condicionada a que Y=1. La distribución de probabilidad de X condicionada a que Y=1 viene dada por:
[ ]
[ ] [ ]
i i
P X x Y P X x Y P Y
[ ] [ ]
3
1
(^1) i i 1 1.0 '11 2.0 '33 3.0 '56 2 ' i
E X Y x P X x Y
= = (^) ∑ i = = = + + =
3. Distribución marginal de Y. Y ∈ Be ( 0 '45)
La variable Y sigue una distribución de Bernouilli de parámetro p (probabilidad de éxito) igual a 0’
4. Coeficiente de correlación lineal entre X e Y XY X Y
= σ (^) XY = E (^) ( XY (^) ) − E (^) ( X (^) ) E Y ( ) σ X = 0 '8047; σ Y =0 '
[ ] ,
i j i j i j
E XY = x y P X = x Y = y = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
∑
E X [ (^) ] = 1 0 '30⋅ + 2 0 '35⋅ + 3 0 '35⋅ =2 ' E Y [ (^) ] = 0 0 '55⋅ + 1 0 '45⋅ = 0 '45. Por tanto,
σ X Y , = 1'1 − 2 '05 0 '45⋅ = 0 '1775. Entonces, el grado de correlación lineal existente entre ambas variables es
,
ρ X Y = =
5. Nos piden (^) [ ] ( )
1 1 1 4 1 4 4 2 3 (^0 0 0 )
X 4 4 4 4
E X = x ⋅ f x ⋅ dx = x ⋅ x ⋅ dx = x ⋅ dx = ^^ x ^ = ^ − = = ^
∫ ∫ ∫
6. Nos piden (^) [ ] ( )
(^1 1 ) 2 3 3 3 P X > 0 '60 = (^) 0'6∫ f (^) X x ⋅ dx = (^) 0'6∫ 3 x ⋅ dx = x 0'6= 1 − 0 '6 =0 '
x i (^) P X [ = x Yi , = (^1) ] P X [ = xi Y = (^1) ]
1 0.05 0.
2 0.15 0.
3 0.25 0.
0.45 1
y (^) j P Y = yj
0 0.
1 0.
1
Por tanto, el total de pólizas, de las 200 contratadas, que viven al menos 20 años será
500
1
i i
T X
=
= (^) ∑. Como las variables
aleatorias X (^) i son independientes e idénticamente distribuidas, con varianza finita, y el número de variables
sumadas tiende a infinito, se aplica el Teorema Central del Límite, de manera que
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
500 500
1 1 (^500 )
1 1
var
500 67.
var var var 500 58.
i i i i
i i i i
T E T
Z N
T
E T E X E X
T X X
= =
= =
= ^ = = ⋅μ =
= ^ = = ⋅ σ =
∑ ∑
∑ ∑
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
var var 58. (^1) Z 4.22 0
T E T E T
P T P T P P Z
T T
F
> = − ≤ = − ^ ≤ = − ≤ =
PROBLEMA 3.
Sea = error de cuadre diario. Sabemos que X ∈ N ( μ σ ,^2 )y disponemos de una m.a.s. de tamaño 16 de la que
obtenemos que:
2 2
X S
X S
1) Obtener un intervalo de confianza al 99% para μ. Dado que μ y σ 2 son desconocidas, el intervalo que
debemos emplear es ( 1 ) ( 1 ) 1 2 ·^1 ,^12 · 1 X t n^ S^ X tn S α n α n
μ − −^ −−
−^ −
con confianza 1 − α
Dado que (^1 )^ 0'995(^15 ) (^1 )
t n t n^ α
−
→^ =^ =
Por lo que (^) ( )
con una
confianza del 99%.
2) Obtener un intervalo de confianza al 95% para σ 2. En este caso, sabiendo que μ y σ 2 son desconocidas, el
intervalo que debemos emplear es
( ) ( )
2 2 2 1 1 (^1 2 )
nSn , nSn α α
χ −−^ χ −
con confianza 1 − α
Dado que
( ) ( )
( ) ( )
1 15 0' 2 1 15 1 0' 2
n
n n
α
α
−
− −
Por lo que (^2) ( )
con una confianza del 95%
- Queremos contrastar con un nivel de significación del 5% 0 1
H
H
^ =
Como μ y σ 2 son desconocidas, el estadístico de contraste es t X^0 n 1
S
= −^ μ − que se distribuye de
acuerdo con un modelo t n ( − (^1) )cuando la hipótesis nula es cierta.
La región crítica para un nivel de significación α del contraste es 1 (^1 )
2
t t^ n α
− > (^) −.
Con la muestra que hemos obtenido tenemos que
exp
t = − = y (^) t 0'975 (^15 ) =2 '
Como (^) t exp no es mayor que t ( 0'975^15 ) , no nos encontramos en la región crítica y, en consecuencia, debemos
concluir que no existen evidencias suficientes para rechazar la hipótesis nula μ = 0 con un nivel de
significación del 5%.
PROBLEMA 4.
Sea = número de apuntes revisados hasta encontrar el 2º error contable.
Sabemos que X ∈ BN ( 2, θ). Disponemos de una m.a.s. de tamaño 15, y hemos obtenido que X = 12.
- Sabemos que ( ) ( )
E X
E X
= → = , el estimador por el método de los momentos se obtiene cambiando
la media poblacional E ( X )por la muestral X. Por tanto,
2 ^2 M (^) X M 12 6
- Para obtener el estimador máximo verosímil, recordemos cuál es la función de probabilidad de un modelo BN (^) ( r , θ)
( ) ( )
P X x r^ x^ r^ r x
para x = r r , + 1,…
Por tanto, la función de verosimilitud para este modelo para una m.a.s. Χ = (^) ( X (^) 1 , … , Xn )de un BN (^) ( r , θ) es
( ) (^ )^ (^ )^ (^ )^
( ) 1 1 1 1
n n n (^) xi r (^) r n i xi r nr i i i i (^) i i i
r r L P X x x x
− − = = =
∏ ∏ (^) − (^) (^) ∏ (^) − Tomando
logaritmos,
