¡Descarga estadistica y más Apuntes en PDF de Estadística solo en Docsity!
TEMA 1: PROBABILITAT
- Índex del tema
- Índex del tema 1 ________________________________________________
- 1.1. Introducció ________________________________________________
- 1.2. Definició de probabilitat _____________________________________
- 1.2.1. Propietats immediates _________________________________________
- Exemple 1 _____________________________________________________________
- Exemple 2 _____________________________________________________________
- Exemple 3 _____________________________________________________________
- 1.3. Probabilitat condicionada ____________________________________
- 1.3.1. Introducció ___________________________________________________
- 1.3.2. Definició _____________________________________________________
- Exemple 4 ____________________________________________________________
- 1.3.3. Esdeveniments independents __________________________________
- 1.3.4. Teorema de les probabilitats totals ______________________________
- 1.3.5. Teorema de Bayes ____________________________________________
- Exemple 5 ____________________________________________________________
- Exemple 6 ____________________________________________________________
- Exemple 7 ____________________________________________________________
- Exemple 8 ____________________________________________________________
1.1. Introducció
La Probabilitat , des d’un punt de vista conceptual, és la mesura del grau de confiança en la verificació d’un determinat enunciat al realitzar una experiència. Per tant, ja des de la mateixa introducció conceptual, podem observar la probabilitat com una mesura.
Anem a veure els següents exemples:
Exemple 1 : Experiència: Llançament d’un dau regular Enunciat A: Obtenir puntuació igual o superior a cinc. La probabilitat de A serà el grau de confiança d’obtenir una puntuació més gran o igual a cinc al llançar un dau regular.
Exemple 2 : Experiència: Observació de la longitud del cos d’un individu de l’espècie Diplodus cervinus a una zona protegida del Mediterrani. Enunciat A: Longitud per sobre dels 35 cm. La probabilitat de A serà el grau de confiança que en observar un individu de l’espècie superi els 35 cm, o el que és equivalent, la proporció d’individus de l’espècie a la zona amb longitud superior a 35 cm.
Una vegada introduïda la idea intuïtiva de probabilitat, és necessari construir una teoria matemàtica que permeti desenvolupar la idea i dotar-la de la potència i rigor suficient amb la finalitat de tenir una eina útil en la solució tant de problemes d’aplicació com teòrics.
Des del punt de vista històric, s’han plantejat diverses formulacions. Citem breument les més interessants.
- Laplace defineix probabilitat d’un esdeveniment com el quocient del nombre de casos favorables entre el nombre de casos possibles , sempre que aquests siguin igualment plausibles. Evidentment, igualment plausibles és sinònim d’equiprobables (amb igual probabilitat) i això dóna lloc que a la definició ja s’utilitzi el terme a definir. D’altra banda aquesta definició dona lloc a paradoxes, com per exemple la paradoxa de Bartrand.
- Seguint amb la idea de regularitat en l’aparició d’un resultat al realitzar una llarga sèrie d’experiments, s’intenta (Venn,1887 i Von Mises,1918) definir la probabilitat d’un esdeveniment com el límit de les freqüències relatives. Aquesta via, si bé és molt intuïtiva, resulta molt complicada de desenvolupar des del punt de vista teòric.
- Finalment, gràcies a l’important desenvolupament de l’Anàlisi Matemàtica de principis de segle, s’adapta la Probabilitat a la Teoria de la Mesura, i s’obté l’ Axiomàtica de Kolmogorov (1933), que pot
2.- Si A i B són esdeveniments tals que A està contingut en B, es dedueix que
P ( A )≤ P ( B )
Evidentment, ja que B conté “més resultats " que A, i per tant el grau de confiança que podem dipositar en B ha de ser major que el grau de confiança que podem dipositar en A.
3.- Si A és l’esdeveniment complementari de A (elements de Ω que no pertanyen a A), es dedueix que P(A)=1-P(A).
4.- Donats A i B esdeveniments, es verifica que:
P ( A ∪ B )= P ( A )+ P ( B )− P ( A ∩ B )
5.- En cas que els esdeveniments formats únicament per un resultat siguin equiprobables, la probabilitat d’un esdeveniment qualsevol és el quocient entre el nombre de resultats que conté l’esdeveniment (casos favorables) respecte el nombre total de resultats possibles (casos possibles).
6.- Donats A 1 , A 2 ,...., An ∈ S , es verifica:
∑^ (^ )
= =
n
i
i
n
i
P Ai PA
1 1
I^1
Anem a demostrar algunes d’aquestes propietats:
Demostració de la propietat 1:
Ja que Ω =Ω∪∅ i Ω ∩∅=∅,
per l’Axioma P
P ( Ω )= P (Ω)+ P (∅)
i per l’Axioma P2,
1 = 1 + P (∅)
amb la qual cosa es dedueix que P ( ∅)= 0 , tal i com volíem demostrar.
Demostració de la propietat 2:
Podem escriure B com:
B = A ∪( B ∩ A )
amb la qual cosa per l’Axioma P3,
P ( B )= P ( A )+ P ( B ∩ A )
i per l’Axioma P1,
P ( B ∩ A )≥ 0
obtenint-se, P A( ) ≤P B( )
tal com volíem demostrar.
Demostració de la propietat 3:
Podem escriure Ω com
Ω= A ∪ A
i per l’Axioma P3,
P ( Ω)= P ( A )+ P ( A )
i, com per l’Axioma P2, es verifica que P( Ω )= 1 , s’obté que
P ( A )= 1 − P ( A )
Demostració de la propietat 4:
Podem escriure A ∪ B com,
A ∪ B = A ∪( B ∩ A )
D’aquesta forma,
P ( A ∪ B )= P ( A )+ P ( B ∩ A )(*)
i com que
B =( B ∩ A )∪( B ∩ A )
resulta
P ( B ∩ A )= P ( B )− P ( B ∩ A )
d’on substituint en (*),
P ( A ∪ B )= P ( A )+ P ( B )− P ( A ∩ B )
Demostració de la propietat 5:
Es calcula ara el percentatge de terreny sense contaminació per A o B. En aquest sentit, s’ha de calcular:
P ( A ∩ B )= 1 − P ( A ∪ B )= 1-0.4 = 0.
amb la qual cosa resulta que el 60% de terreny no està contaminat ni per A ni per B.
Per últim, es calcula el percentatge de terreny que presenta contaminació per A, però no per B. S’ha de calcular,
P ( A ∩ B )= P ( A )− P ( A ∩ B )= 0.1-0.05 = 0.
d’on es dedueix que el 5% de terreny presenta contaminació per A però no per B.
S’ha vist en aquest exemple, com utilitzant correctament les propietats immediates s’obtenen probabilitats d’esdeveniments que no apareixen d’entrada.
Exemple 2:
Suposem que en una determinada zona localitzada a la costa es troben N foques. Es capturen r foques i es marquen, i al cap d’un mes es capturen s foques contant el nombre de foques marcades d’entre les s. Calcularem la probabilitat que hagin estat recapturades exactament k foques d’entre les marcades (es suposa k menor que el mínim entre r i s).
En aquest cas la probabilitat serà el nombre de casos favorables dividit pel nombre de casos possibles.
Nombre de casos possibles : hi ha tants casos possibles com subconjunts de s elements en un conjunt de N.
Nombre de casos favorables : d’entre les s ha d’haver k marcades i s-k no marcades; per tant, el nombre de formes possibles serà el producte del nombre de subconjunts d’entre els r marcats de k elements pel nombre de subconjunts d’entre les N-r no marcades de s- k elements.
Per tant,
P( k foques marcades) =
−
−
s
N
s k
N r x k
r
Com a nota complementària podem indicar que el nombre de foques de la zona es pot estimar mitjançant la fórmula: (r·s) / k , encara que això es podrà entendre millor a partir del capítol d’estimació. Per a més detalls, es pot buscar informació a textos i articles sobre estimació de comptatges en marcatge-recaptura.
Exemple 3
Una agència de transport de viatgers per carretera disposa de 20 autocars. Decideix realitzar un control mensual del servei i, per això, decideix seleccionar 2 autocars aleatòriament d’entre els 20. Si realment hi ha 2 autocars amb irregularitats, quina és la probabilitat que es detecti amb aquest control? I si són 5 els autocars amb irregularitats?
D’entre els 2 autocars que s’examinen, es poden trobar 0,1 o 2 amb irregularitats. El fet de detectar irregularitats es pot associar amb l’esdeveniment
A = " Es troben 1 o 2 irregularitats "
El més senzill serà calcular la probabilitat de l’esdeveniment complementari, i així,
P( 0 irregularitats )=
Per tant, la probabilitat de detectar irregularitats amb el control proposat serà 0.20.
Si són 5 els autocars amb irregularitats, és fàcil comprovar que la probabilitat de no detectar-ne cap (mitjançant un càlcul idèntic a l’anterior) és 0.55, i per tant, la probabilitat de detectar irregularitats amb el control proposat passa a ser de 0.45.
Exercici
Es proposa al lector demostrar que per a A 1 (^) ,..., Ak esdeveniments, es verifica:
( ) ( ) ( ) ... ( 1 )^1. ( 1 .. )
1 1
k
k i j k i j
i j
k
i
i
k
i
P Ai (^) = P A − P A ∩ A + PA ∩ A ∩ A + + − PA ∩ ∩ A
= = <
U ∑ ∑ ∑
Exemple 4
El 40% de les dones embarassades que van a un hospital pateixen trastorns de circulació sanguínia, i el 20% problemes relacionats amb el nivell de glucosa. El 5% de dones pateixen tots dos tipus de problemes. Es demana calcular:
- Percentatge de dones embarassades sense cap dels trastorns anteriors.
- Entre les dones que pateixen problemes amb el nivell de glucosa, el percentatge de les que pateixen a més problemes amb la circulació sanguínia.
Siguin els esdeveniments,
C = " problemes amb la circulació sanguínia " G = " problemes amb el nivell de glucosa ".
Per a obtenir el percentatge de dones sense cap dels trastorns anteriors, s’ha de calcular:
P ( C ∩ G )= 1 − P ( C ∪ G )= 1 − P ( C )− P ( G )+ P ( C ∩ G )= 1-0.4-0.2+0.05=0.
Per tant, es dedueix que el 45% de les dones no presenta els problemes anteriors.
Per obtenir el percentatge de les que pateixen problemes amb la circulació sanguínia entre les que presenten problemes amb la glucosa s’ha de calcular:
( ) 0. 25
2
05 ( )
( ) = =
∩
PG
PC G G PC
amb la qual cosa s’obté que el percentatge buscat és del 25%.
1.3.3. Esdeveniments independents
Lògicament, si
( ) P ( A ) B
P A =
es dedueix que B no modifica el grau de confiança sobre la verificació de A. Es diu aleshores que A i B són esdeveniments independents. Es fàcil comprovar de manera immediata que es compleixen les propietats següents:
a) A i B són independents si i només si P(A ∩B)=P(A)P(B) b) A i B són independents si i només si A i B són independents c) A i B són independents si i només si A i B són independents d) A i B són independents si i només si A i B són independents
Es suggereix com a exercici al lector que faci la demostració de les propietats anteriors.
1.3.4. Teorema de les probabilitats totals
Si Ω = H (^) 1 ∪.....∪ Hn , sent els esdeveniments H (^) i incompatibles (sense cap resultat
en comú) entre si, es verifica que
P A P A H P H i i^ i
n ( ) = ( ). ( ) =
1
per a qualsevol esdeveniment A.
Demostració
Es pot escriure A com:
U
n
i
A A A H Hn A Hi 1
=
A més, ( A ∩ H (^) i ) ∩ ( A ∩ Hj)= ∅ per a qualsevol parell i, j.
Aplicant l’axioma P3 de la definició de probabilitat,
P A P A H (^) i i
n ( ) = ( ∩ ) =
1
i aplicant la definició de probabilitat condicionada en l’expressió anterior, tenim el resultat proposat en el teorema.
Una conseqüència immediata és el Teorema de Bayes, que s’explica a continuació.
1.3.5. Teorema de Bayes
En les mateixes condicions que el teorema de les probabilitats totals, es verifica que:
∑
=
n
i i i
i) i i P AH .P(H )
P AH .P(H A P H
1
La demostració és elemental ja que
P(A)
P AH .P(H )
P(A)
P(A H )
A
P Hi i i i
Exemple 6
Respecte un determinat caràcter, els genotips dels individus d’una determinada espècie poden ser AA , Aa , o aa amb probabilitats 1/4, 1/2, 1/4 respectivament. Per a detectar la presència del gen A en un individu es realitza una prova que resulta positiva amb probabilitat 0.95 si el genotip de l’individu és AA , 0.5 si és Aa i 0.02 si és aa.
Calculem la probabilitat que un individu sigui aa si la prova ha resultat positiva.
Estem davant una aplicació del Teorema de Bayes. Sigui l’esdeveniment:
Es tracta de calcular:
( )
P^ aa
La probabilitat anterior es pot calcular si s’aplica directament el Teorema de Bayes:
01
95 0. 25 0. 5 0. 5 0. 02 0. 25
02 0. 25
( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( )
( ). ( ) ( )
=
=
=
x x x
x
Paa aa PAa P Aa P AA P AA P
P aa Paa Paa
Per tant, només l’1% de les vegades en que la prova hagi resultat positiva, estarem davant individus aa.
Exemple 7
Un geòleg sap que la probabilitat que el tractament d’una mostra provoqui danys a la mateixa és aproximadament de 0.25. Si el conjunt de mostres constitueix un conjunt independent d’experiències, al cap de quantes mostres la probabilitat d’haver provocat danys en alguna serà o superarà el valor de 0.8?
Sigui "x" el nombre potencial de mostres. La probabilitat de "no" provocar danys en x mostres és,
- 75^ x
donat que els esdeveniments “ provocar danys en una mostra ", per a les x mostres són independents. La situació plantejada en el problema ens demana que:
1 − ( 0. 75 ) x ≥ 0. 8
i per tant, resolent l’equació, obtenim:
x ≥ 5. 8
Per tant, després de 6 mostres ja es superarà la probabilitat plantejada en el problema.
Exemple 8
Al decidir sobre la presència (E) o absència (A) d’una enfermetat, és usual realitzar una o diverses proves gràcies a les quals tindrem un punt més amb què donar suport al nostre diagnòstic. Considerant el cas que la prova pugui donar positiva (+) o negativa (- ), s’ha de tenir en compte que en individus amb la malaltia, el test de vegades donarà positiu i de vegades negatiu, i igualment passarà amb individus que no presenten la malaltia. Així doncs, és convenient quantificar aquestes probabilitats. Siguin,
P(+ / E ) = Probabilitat de test positiu en individus malalts ( Sensibilitat del test). P(+ / A ) = Probabilitat de test positiu en individus sans (Probabilitat de fals-positiu). P(- / A ) = Probabilitat de test negatiu en individus sans (Especificitat del test). P(- / E ) = Probabilitat de test negatiu en individus malalts (Probabilitat de fals-negatiu). P(E) = Probabilitat de presentar la malaltia (Prevalència de la malaltia).
El valor predictiu del test s’obté calculant P(E / +) y P(A / - ), es a dir, les probabilitats de patir la malaltia si el test dona positiu, i de no patir la malaltia si el test dona negatiu.
Vegem-ne l’aplicació de l’exemple anterior en el problema següent:
Un investigador desenvolupa una prova exploratòria per al càncer i observa un 5% de resultats positius en pacients que no el pateixen i un 20% de resultats negatius en pacients amb càncer. Aplica aquesta prova a una població en la qual sap que el 2% pateix de càncer no detectat. Anem a determinar el valor predictiu del test.
Vegem que la prevalència de la malaltia és 0.02, una probabilitat de fals-positiu de 0.05, una probabilitat de fals negatiu de 0.2, i per tant amb una sensibilitat de 0.8 i una especificitat de 0.95. Calcularem la capacitat predictiva del test utilitzant el teorema de Bayes, i obtenim:
P E^
P (^) E P E P (^) E P E P (^) A P A
( )
( ). ( )
(^) ( ). ( ) ( ). ( ) =
(^) + + = 0.
De manera semblant es pot calcular P(E /-) i s’obté 0.00427, d’on
P(A /-) = 1-0.00427 = 0.
El resultat s’interpreta en el sentit que el 24.6% dels individus amb test positiu patiran la malaltia, i el 99.573% dels individus amb test negatiu no patiran la malaltia. Per tant, la prova resulta més útil quan es tracta de descartar la malaltia.
