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La definición, cálculo y propiedades de la covarianza y correlación entre dos variables cuantitativas, incluyendo ejemplos y fórmulas para datos agrupados. Además, se aborda la relación entre correlación y relaciones lineales entre variables.
Tipo: Apuntes
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Objetivo
Medir y ajustar una relaci´on lineal entre dos variables cuantitativas.
Bibliografia recomendada
Pe˜na y Romo (1997), Cap´ıtulos 8 y 9.
´Indice
Covarianza
Se ve en el Ejemplo 63 que existe una relaci´on creciente y m´as o menos lineal entre el peso p´erdido y el peso original de las pacientes. La covarianza es una medida de la fuerza de la relaci´on lineal entre dos variables cuantitativas.
Definici´on 18 Para una muestra de n datos bivariantes
(x 1 , y 1 ),... , (x (^) n , y (^) n)
la covarianza entre las dos variables es
sxy =
n
∑n i=
(x (^) i − x¯)(y (^) i − y¯)
donde ¯x = (^) n^1 ∑ni=1 x (^) i e ¯y = (^) n^1 ∑ni=1 y (^) i son las medias de ambas variables.
Otra manera de calcular la covarianza
En la pr´actica, se c´alcula la covarianza medi- ante la siguiente f´ormula.
Teorema 5
sxy =
n
∑^ n i=
x (^) i y (^) i − n¯x¯y
El c´alculo a trav´es de este resultado es mucho m´as r´apido, ya que no se tiene que restar las medias de todos los datos.
Demostraci´on
s (^) xy = (^1) n
∑n i=
(xi − ¯x)(yi − ¯y)
= (^1) n
( (^) ∑n
i=
[xi yi − xiy¯ − ¯xyi + ¯xy¯]
)
= (^1) n
( (^) ∑n
i=
xi yi −
∑^ n i=
xiy¯ −
∑^ n i=
¯xyi +
∑^ n i=
¯x¯y
)
= (^1) n
( (^) ∑n
i=
xi yi − ¯y
∑n i=
xi − ¯x
∑n i=
yi + n¯xy¯
)
= (^1) n
( (^) ∑n
i=
xi yi − n¯y (^1) n
∑n i=
xi − nx¯ n^1
∑n i=
yi + n¯x¯y
)
= (^1) n
( (^) ∑n
i=
xi yi − n¯y¯x − n¯x¯y + nx¯y¯
)
= (^1) n
( (^) ∑n
i=
xi yi − n¯xy¯
)
x 42 , 7 40 , 2 38 , 2 37 , 6 32 , 2 32 , 2 28 , 0 y 92 120 128 110 153 162 202 x 27 , 2 26 , 6 23 , 0 22 , 7 21 , 8 21 , 3 20 , 2 y 140 218 195 180 193 238 213
20 24 28 32 36 40 44
90
120
150
180
210
240
Vemos que existe una relaci´on negativa entre las dos variables.
Calculamos ahora la covarianza.
Tenemos:
¯x =
y¯ = 1 14
∑^14
i=
x (^) i y (^) i = 42 , 7 × 92 +... + 20, 2 × 213 = 65334 , 2 sxy =
La covarianza es positiva si existe una relaci´on (lineal) creciente y negativa si existe una relaci´on decreciente.
C´alculo de la covarianza para datos agru- pados
Dada la tabla de doble entrada,
Y y 1 y 2... y (^) J x 1 f 11 f 12... f 1 J f 1 · x 2 f 21 f 22... f 2 J f 2 · X ... ... ... ... ... ... x (^) I fI 1 fI 2... fIJ fI· f· 1 f· 2... f·J 1
la media de X es ¯x = ∑I i=1 fi·x^ i^ con varianza
s^2 x =
∑^ I i=
fi·x^2 i − x¯^2.
Igualmente se calculan la media y varianza de Y.
Ahora covarianza es
sxy =
∑^ I i=
∑^ J j=
fij x (^) i y (^) j − ¯xy.¯
Ejemplo 67 En el Ejemplo 57 tuvimos la sigu- iente tabla de frecuencias relativas.
Y 5 6 7 8 0 , 3 , 1 , 06 , 04 , 5 1 , 08 , 16 , 04 , 02 , 3 X 2 0 , 04 , 02 , 06 , 12 3 0 0 0 , 08 , 08 , 38 , 3 , 12 , 2 1
y en el Ejemplo 58 demostramos que ¯x = , 78 e ¯y = 6, 14. Ahora, la covarianza es
sxy =
∑ i
∑ j
fij x (^) i y (^) j − ¯x¯y
∑
i
∑ j
fij x (^) i y (^) j = 0 × 5 × ,3 + 0 × 6 × ,1 +... +
3 × 7 × 0 + 3 × 8 × , 08 = 5 , 44 sxy = 5 , 44 − , 78 × 6 , 14 = 0 , 6508
Propiedades
− 1 ≤ rxy ≤ 1.
rxy = 1 si y s´olo si existen constantes α y β > 0 donde y (^) i = α+βx (^) i para i = 1,... n. Es decir que existe una relaci´on lineal positiva exacta entre las dos variables.
rxy = −1 si y s´olo si existen constantes α y β < 0 donde y (^) i = α+βx (^) i para i = 1,... n. Es decir que existe una relaci´on lineal negativa exacta entre las dos variables.
Si no existe ninguna relaci´on entre las dos variables, la correlaci´on se aproxima a 0.
Si la correlaci´on est´a cerca de 1 o −1, entonces hay una relaci´on aproximadamente lineal.
Ejemplo 68 Retomamos el Ejemplo 66 sobre las vacas.
Calculamos las medias y la covarianza anteri- ormente. Ya calculamos las varianzas, desvia- ciones t´ıpicas y la correlaci´on.
s^2 x = 1 n
∑^ n i=
x^2 i − n × ¯x^2
( 42 , 72 +... + 20, 22 − 14 × 29 , 562
)
≈ 54 , 43 y de manera parecida, s^2 y ≈ 1868 , 82.
Entonces la correlaci´on es
rxy =
Existe una relaci´on negativa aproximadamente lineal entre las dos variables.
Si no hay relaci´on entre las variables, la correlaci´on es aproximadamente cero
Ejemplo 71 Los datos son 30 parejas de n´umeros aleatorios.
Correlación = -0.
(^0 2 4 6 8) (X 10000) 10 x
0
2
4
6
8
(X 10000) 10
y
La correlaci´on es casi cero.
Al rev´es no es verdad.
¡Ojo! Cero correlaci´on no implica ninguna relaci´on
Se ha visto que si hay una relaci´on m´as o menos lineal, la correlaci´on entre las dos vari- ables es bastante alta pero ¿Qu´e pasa si hay una relaci´on no lineal? Correlación = 0.
x
y
(^00 4 8 12 16 )
100
200
300
400
Correlación = 0
-6 -4 -2 0 2 4 6 xx
0
10
20
30
40
yy
En ambas gr´aficas se ha utilizado la f´ormu- la y = x^2 para generar los datos. Una fuerte relaci´on no lineal.
