Estadística II
4. Estimación por Intervalos
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Estadística II: Estimación por Intervalos, Apuntes de Estadística
La estimación por intervalos en estadística, una técnica para controlar la precisión de las estimaciones y evaluar el error cometido. Se trata de determinar un rango de valores que contiene el parámetro estudiado con una cierta confianza. Se presentan diferentes casos para estimar la media, la diferencia de medias y la proporción poblacional, utilizando distribuciones normal y t-student. Se explican los conceptos básicos, como el coeficiente de confianza, el error de estimación y la longitud del intervalo de confianza.
Tipo: Apuntes
2014/2015
1 / 24
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Estadística II4.
Estimación por Intervalos
ADMINISTRACIÓ I DIRECCIÓ D'EMPRESES
IntroducciónHasta ahora hemos visto estimación puntual; el principal inconvenientees^
que
no
proporciona
información
sobre
la
magnitud
del
error
cometido
en
la
estimación,
es
obvio
ya
que el error depende del
parámetro poblacional que es desconocido. Este error podemos pensar que es el más pequeño posible por haberutilizado el mejor estimador posible, pero ignoramos la bondad delestimador.La estimación por intervalo surge en parte para aliviar los problemasdescritos. Se trata de terminar dos valores entre los cuales se halle elparámetro estudiado con una cierta certeza o confianza
estimación
de
Error
θ θ −
= e
Introducción
Introducción No podemos referirnos a la probabilidad del intervalo numérico,sino
al
coeficiente
de
confianza
del
intervalo,
se
emplea
un
método con un con un nivel de confianza (1-
α) de éxito.
La estimación por intervalo, es un conjunto de valores
que con una determinada confianza contiene el verdadero valordel
parámetro
que
se
quiere
estimar.
A
la
confianza
de
contener el valor del parámetro le vamos a llamar grado o nivelde confianza.Este
grado o nivel de confianza de deberá fijar para construir el^
Intervalo
de
Confianza.
Es
deseable
que
el
nivel
de
confianza
sea
lo^
más
elevado
posible.
Los
valores
más
habituales son 90% 95% 99%.
Introducción Por ejemplo, si el nivel de confianza es del 95% tendríamos
-1,
+1,
95%
2,5%
2,5%
-1,
+1,
95%
2,5%
2,5%
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIAPOBLACIONAL EN POBLACIONES NORMALES A.-La varianza poblacional
es conocida
(^
)^
(^
) (^1) ; 0
,^
2
N n x z n N
X^
x^
≈ − =
⇒
≈
σ
μ
σ μ
-zα/^2
1-α
α^ / 2
α^ / 2
zα/^2
(^
α
α^
−^
(^2) /
(^2) /
z
z
z
P^
x
α
σ
μ σ^
α
α^
− ⎞=⎟ ⎠
⎛^ ⎜ ⎝
< <
−^
1
(^2) /
(^2) /
n z x n z x P
Población
Normal
o^
si^
no
es
Normal
que
la
muestra
sea
lo
suficientemente
grande
n
x^
>^
(TCL)
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIASPOBLACIONALES EN POBLACIONES NORMALES A.-Las varianzas poblacionales conocidas:
α
α^
−^
2 2 (^2) /
2 2 (^2) /
y y x x
y x y y x x
n n z y x n n z y x
( P
)^
(^
)^
(^
)^
(^
) (^1) , 0
σ n σ n
μ μ Y- X
σ n σ , n μ μ N Y- X
2 y y 2 x x
x^
y
2 y y 2 x x
x^
y^
N
Z^
≈
− −
=
⎞⎟⇒⎟⎠
⎛^ ⎜ ⎜⎝
−
≈
Poblaciones Normales o si no es Normal que la muestra sea losuficientemente grande n
> 30 y nx
> 30 (TCL)y^
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIASPOBLACIONALES EN POBLACIONES NORMALES
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIASPOBLACIONALES EN POBLACIONES NORMALES B.-Las varianzas poblacionales son iguales, pero no conocidas:
(^
)^
(^
)^ (^
)^
) 2 ( y x 2
x^
y
2 y y 2 x x
x^
y
(^1) n (^1) · n
μ μ Y- X
σ n σ , n μ μ N Y- X^
−
≈ ⎞⎟ ⎟⎠
⎛^ ⎜ ⎜⎝
− + −
= ⎞⎟⇒⎟⎠
⎛^ ⎜ ⎜⎝
− ≈^
y nnx
p
t
S t
(^
)^
(^
) 2 n n
1 S n 1 S n
ponderada,
muestral
Varianza
y x
2
2
2
−
−
− =^
y y x x Sp
P^
x^
y^
t^
s^
n^
n^
x^
y^
t^
s^
n^
n
p
x^
y
x^
y^
p
x^
y
(^
)^
(^
)^
(^
/^
/
−^
−^
−^
<^
−^
+^
α
α
μ^
μ
α
2
2
2
2
Poblaciones Normales o si no es Normal que la muestra sea lo suficientementegrande n
> 30 y nx
> 30 (TCL). Nivel de confianza en la normal estándar eny
lugar de la t-Student
α
μ μ
α
α^
− ⎞⎟=⎟⎟⎠
⎛⎜ ⎜⎜⎝
⎞⎟ ⎟⎠
⎛^ ⎜ ⎜⎝
− < − ⎞⎟<⎟⎠
⎛^ ⎜ ⎜⎝
− −^
1 1 1 ) ( ) ( 1 1 )
(^
2 (^2) /
2 (^2) /
y x p y x y x
p^
n n s Z y x n n s Z y x P
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIONPOBLACIONAL Sea
X
una
población
de
Bernoulli
de
la
que
extraemos
una
M.A.S
de
tamaño
n
x.^
Sabemos
que
el
estimador
proporción
muestral se distribuye:
(^
) (^1) , 0
ˆ ·
· ,
ˆ^
N n p qp p Z
qp n p N p^
≈ − =
⎞⇒⎟ ⎠
⎛⎜ ⎝ ≈
α
α
α^
− ⎞ ⎟=⎟ ⎠
⎛^ ⎜⎜ ⎝
< <
−^
1 ·
ˆ
·
ˆ^
(^2) /
(^2) /
qp n
z p p qp n
z p P
Pero
los
limites
dependen
del
parámetro
p
y
q
que
son
desconocidos.
Si
n
es
grande
una
solución
satisfactoria
se
El intervalo de confianza sería:obtiene sustituyendo el parámetro por su estimación puntual.
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIONPOBLACIONAL
-zα/^2
1-α^
α^ / 2
α^ / 2
zα/^2
α
α
α^
− ⎞ ⎟=⎟ ⎠
⎛^ ⎜⎜ ⎝
< <
−^
1 ˆ· ˆ
ˆ
ˆ· ˆ
ˆ^
(^2) /
(^2) /
qp n
z p p qp n
z p P
Así el intervalo de confianza será:
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DEPROPORCIONES POBLACIONALES
α
α
α^
− ⎞ ⎟=⎟ ⎠
⎛^ ⎜ ⎜ ⎝
- − < − < + −
−^
1 ˆ ˆ ˆˆ
ˆ) ˆ(
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ) ˆ(
(^2) /
(^2) /
yy y
xx x
y x y x yy y
xx x
y x^
qp n
qp n
z p p p p qp n
qp n
z p p Pero los limites dependen del parámetro P
p
x^ y^
py
desconocidos.
Si
n
x^
y^
n^ y
es
grande
una
solución
satisfactoria
se
obtiene
sustituyendo el parámetro por su estimación puntual.
-zα/^2
1-α^
α^ / 2
α^ / 2
zα/^2
(^
2
(^1) − n
χ 2 I
χ^
2 χ S
α− 1
x
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZAPOBLACIONAL EN POBLACIONES NORMALES Sea X una población Normal, de la que extraemos una M.A.Sde tamaño n
x.
Sabemos que
:
(^
)^
2
) 1 (
2
2 ·S 1
−
−^
n
n
χ
σ
α
χ
σ
χ^
− ⎞ ⎟=⎟ ⎠
⎛^ ⎜⎜ ⎝
<
− <^
1
) 1
(^
2
2
2
2
S
I
s
n
P
α
χ
σ
χ^
− ⎞ ⎟=⎟ ⎠
⎛^ ⎜⎜ ⎝
− <
<
−^
1
) 1
(
) 1
(^
2
2
2
2
2
I
S
s
n
s
n P
LONGITUD O AMPLITUD DE UN INTERVALO DECONFIANZA^ La longitud del intervalo es la diferencia entre los extremosdel
intervalo.
Por
ejemplo
para
el
intervalo
de
la
media
sería:
n Z n Z X n Z X L
σ
σ
σ
α
α
α^
·^
2
2
2
⎛^ ⎜⎜ ⎝
⎛^ ⎜⎜ ⎝
Es una medida de precisión de la estimación:A menos amplio MÁS PRECISOA mas amplio MENOS PRECISO.
n
Z
σ α^
·^
2
La
longitud
es
igual
a
dos
veces
el
error de estimación e e
L^
· 2
Error de estimación e
LONGITUD O AMPLITUD DE UN INTERVALO DECONFIANZA Cuanto
más
pequeña
sea
la
longitud
del
intervalo
más
cercanos
estarán
los
extremos
del
intervalo
que
contiene
con cierta certeza al parámetro; por ello se afirma que lalongitud del intervalo es una medida de la precisión de laestimación.
Menor longitud
Æ
Mayor Precisión