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• Modelos Discretos
1.1 Distribucion Bernoulli
Considerese un experimento con dos posibles resultados, E (exito) y F (fracaso). A un experimento as se le denomina experimento de Bernoulli. En este caso el espacio muestral es E = fE; F g. Sean P (E) = p 2 (0; 1) y P (F ) = q = 1 p. A la v.a. X que se de ne as : X(E) = 1; X(F ) = 0;
se le denomina variable aleatoria Bernoulli (o que sigue un modelo de distribucion de Bernoulli) con probabilidad de exito p y se denota X Be(p):
La funcion de probabilidad de esta v.a. es
P (X = 1) = p; P (X = 0) = 1 p = q:
La media y la varianza de esta distribucion son E(X) = p y V ar(X) = pq.
1.2 Distribucion Binomial
Supongamos que realizamos n experimentos Bernoulli independientes, todos ellos con igual probabilidad de exito p. La distribucion de la v.a. de nida como
X= \numero de exitos en los n experimentos Bernoulli independientes",
se denomina distribucion Binomial de parametros n y p probabilidad de esta v.a. es P (X = k) = (^) k pk(1 p) n k n
y se denota X B(n; p): La funcion de
; k = 0; : : : ; n:
La media y la varianza de esta distribucion son E(X) = np y V ar(X) = npq.
Notas
- Se de ne el factorial de k como k! = k (k 1) 2 1 k = 0; 1; 2; : : :
- Se de ne el numero combinatorio
- Se cumple:
(a) 0! = 1! = 1 n! = n(n 1)! (b) n^ = n^ n^ = n^ = n 0 n = 1^
1 n 1
n (^) , n sobre k como n (^) = n! (^) k =
k k k!(n k)! 0; : : : ; n
1.3 Distribucion Poisson
Supongamos que se realiza un experimento que consiste en observar la ocurrencia de cierto suceso a lo largo de un periodo de tiempo (o bien en una determinada super cie). Supongamos que tales sucesos ocurren de modo independiente y que se conoce el numero medio de ocurrencias que tienen lugar en una unidad de tiempo (o de espacio), llamemosle. Entonces la v.a. X que da el numero de ocurrencias en un mutiplo (%) de esta unidad de tiempo (o de espacio) se distribuye segun una ley de Poisson con
1
f(x) = p 1 exp (^1) (x )^2 ; x 2 R:
2 2 2
La media y la varianza de esta distribucion son
E(X) = ; V ar(X) = 2 :
Propiedades
Si X N( ; 2 ), entonces, Z = X^ N(0; 1)
2
A Z se le denomina variable tipi cada. A la distribucion N(0; 1) se le denomina distribucion normal estandar. Para calcular probabilidades en cualquier distribucion normal, lo primero que debemos hacer es tipi car la variable, esto es,
P
(X
x) = P Z x = (z) ;
donde representa la funcion de distribucion de una distribucion normal estandar y z =
x .
Los valores de (z) estan tabulados para z 0, ya que por ser la distribucion normal estandar simetrica respecto del origen, se veri ca que ( z) = 1 (z).
Por ser la distribucion normal estandar simetrica respecto del origen, tambien se veri ca que
P (jZj z) = 2 (z) 1.
Si X e Y son variables aleatorias independientes de modo que X N( (^) X ; (^) X^2 ) e Y N( (^) Y ; (^) Y^2 ),
entonces para cualesquiera a; b 2 R se tiene que
aX + b N(a (^) X + b; a (^2) X^2 );
X + Y N( X + Y ; X^2 + Y^2
X Y N( X Y ; X^2 + Y^2
La importancia de la distribucion normal radica en que no solo es util para modelar algunos fenomenos aleatorios frecuentes (peso, altura, etc), sino que tambien sirve para aproximar la funcion de distribucion de otras distribuciones, como muestran las siguientes propiedades:
- Si X B(n; p) con n elevado, entonces podemos aproximar la distribucion de X por una ley Normal de parametros = np y 2 = npq, en el siguiente sentido pnpq pnpq ' pnpq P (X
x) = P X np x np x np :
Emplearemos la aproximacion normal a la distribucion Binomial cuando n sea grande y no sea adecuado aplicar la aproximacion por la distribucion de Poisson.
- Si X P( ) y es elevado, entonces podemos aproximar la distribucion de X por una ley Normal de parametros = y 2 = , en el siguiente sentido p p ' (^) p P (X
x) = P X x x :
