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Una introducción a la Estadística Descriptiva, una rama de la Estadística que se dedica a la descripción y resumen de la información obtenida a partir del estudio de diferentes características asociadas a los elementos de una población. Se explican conceptos básicos como la tabla estadística, las representaciones gráficas y los estadísticos de tendencia central, posición, dispersión y forma. Se incluyen ejemplos y definiciones de variables cualitativas y cuantitativas, discretas y continuas.
Tipo: Resúmenes
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4.1 Estad´ısticos de tendencia central 4.2 Estad´ısticos de posici´on 4.3 Estad´ısticos de dispersi´on 4.4 Estad´ısticos de forma
Definiremos la Estad´ıstica como la ciencia que estudia la manera en que se recolecta, se anali- za, se interpreta la informaci´on proveniente de una poblaci´on (conjunto de todos los elementos o individuos objeto de estudio). La Estad´ıstica es transversal a diferentes disciplinas, como por ejemplo la Geolog´ıa, Qu´ımica, Biolog´ıa, Ingenier´ıa o Psicolog´ıa, todas necesitan de la ayuda de esta herramienta. La estad´ıstica se divide en dos grandes ´areas: La estad´ıstica descriptiva se dedica a la descripci´on y resumen de la informaci´on originada a partir del estudio de diferentes caracter´ısticas (peso, longitud, n´umero de hijos, sexo, etc) asociadas a los elementos objeto de estudio. Esa informaci´on puede ser resumida mediante tablas, gr´aficos o medidas de resumen. La estad´ıstica inferencial extrapola las conclusiones observadas para los elementos que forman parte de una muestra (subconjunto de elementos elegidos para el estudio que representa a la poblaci´on). Ejemplo: En un estudio en la l´ınea de costa se toman 120 porciones de 1 m^2 del fondo rocoso de una playa. Cada elemento o individuo objeto de estudio es cada cuadrata de 1 m^2 , la muestra es el conjunto de 120 cuadratas y la poblaci´on van a ser todas las posibles cuadratas que componen la playa. Los elementos tienen much´ısimas caracter´ısticas que pueden ser tomadas y/o medidas. Aquellas caracter´ısticas que son constantes en la poblaci´on no ser´an de inter´es, el inter´es es estudiar caracter´ısticas que son variables. Las variables son entonces caracter´ısticas que pueden variar de elemento en elemento. Clasifica- ci´on de las variables:
Veamos algunos ejemplos:
Tipo de roca presente: cuarzo, feldespato, mica. (Variable cualitativa nominal)
Escala de dureza de Mohs: (1) Talco, (2) Yeso, (3) Calcita,.. ., (9) Corind´on, (10) Diamante. (Variable cualitativa ordinal)
N´umero de rocas de cuarzo de m´as de 1 cm de di´ametro en una superficie de 30 cm^2. (Variable cuantitativa discreta).
Presi´on a la cual se fractura un bloque de 20 cm^3 de una roca. (Variable cuantitativa continua).
Cantidad de alb´umina por litro de suero sangu´ıneo de una persona. (Variable cuantitativa continua).
Longitud de los peces de una cierta especie en un lago. (Variable cuantitativa continua).
N´umero de libros que un espa˜nol lee al a˜no (Variable cuantitativa discreta).
Si los datos puntuales cubren una amplia gama de valores distintos es dif´ıcil expresar la informaci´on en una tabla estad´ıstica para datos sin agrupar. En este caso, necesitamos un sistema alternativo para agrupar los datos en intervalos o clases de la forma (li −li+1] o [li −li+1) siendo li el l´ımite inferior de la clase y li+1 el l´ımite superior. En muchos casos los intervalos se expresan de la forma li − li+1. Por ejemplo, cuando los extremos no coinciden con ning´un valor de la variable. Marca de clase del intervalo li − li+1, (xi): punto medio del intervalo li − li+
xi =
li + li+ 2
La marca de clase, xi, del intervalo li − li+1 es el valor que representa a los fi valores que hay en dicho intervalo. Denotamos por ai a la longitud de dicho intervalo. El resto de las columnas de la tabla estad´ıstica (hi, Fi, Hi) se calculan de manera similar.
Intervalos xi fi ai l 1 − l 2 x 1 f 1 a 1 · · · · li − li+1 xi fi ai · · · · lk − lk+1 xk fk ak n
Variable cualitativa
Variable cuantitativa
Variable discreta
Variable continua
Las representaciones gr´aficas son muy ´utiles para obtener una descripci´on general r´apida de los datos observados y para su presentaci´on. Sin embargo para hacer inferencias se necesitan medidas rigurosamente definidas. Medidas que informen sobre el valor central de la distribuci´on, otras que describan la dispersi´on o variabilidad de los datos, medidas que indiquen la posici´on relativa de los datos y otras que den cuenta de la forma de la distribuci´on. Estas medidas definidas sobre la muestra se denominan estad´ısticos y definidas sobre la poblaci´on par´ametros. Los estad´ısticos se clasifican en diferentes grupos:
4.1 Estad´ısticos de tendencia central: Con frecuencia es conveniente resumir la informaci´on con un solo n´umero. Este n´umero que se define para tal fin es un estad´ıstico de tendencia central. Definiremos la media, mediana y moda.
4.2 Estad´ısticos de posici´on: Nos indican cierta posici´on, en el sentido de que est´an caracteri- zados por superar a cierto porcentaje de observaciones. La mediana, percentiles, deciles, cuartiles.
4.3 Estad´ısticos de dispersi´on: Se utilizan para describir la variabilidad o esparcimiento de los datos de la muestra respecto a la posici´on central.
4.4 Estad´ısticos de forma: Las medidas de forma tratan de medir el grado de simetr´ıa y apun- tamiento en los datos.
Veamos la definici´on de algunos de estos estad´ısticos:
Media aritm´etica a partir de la tabla estad´ıstica:
x¯ = x 1 f 1 +... + xkfk n
∑k i=1 xifi n
xi representa los valores de la variable si los datos no se agrupan en intervalos, o bien las marcas de clase si los datos se agrupan en intervalos.
Mediana, representado por M e, es el valor que deja por debajo de s´ı al 50 % (aproxima- damente) de las observaciones. Si Hi = 0,50, para alg´un i, entonces M e = xi+ 2 x i+1. En caso contrario, si Hi− 1 < 0 , 50 < Hi, entonces M e = xi.
Ejemplo 4.1 Supongamos que la variable toma los siguientes valores (n impar)
2 − 2 − 2 − 3 − 3 − 4 − 5 − 6 − 7
M e = 3
Ejemplo 4.2 Supongamos que la variable toma los siguientes valores (n par)
2 − 2 − 2 − 3 − 3 − 4 − 5 − 6 − 7 − 7
M e =
Moda, representado por M o, es valor de la variable que tiene m´axima frecuencia.
Percentil j, representado por pj , es el valor que deja por debajo de s´ı al (j × 100) % (aproximadamente) de las observaciones, donde j = 1, 2 ,... , 99. Por ejemplo para j = 75, si Hi = 0,75, entonces p 75 = xi+ 2 x i+1. En caso contrario, si Hi− 1 < 0 , 75 < Hi, entonces p 75 = xi.
Deciles: d 1 = p 10 , d 2 = p 20 ,... , d 9 = p 90.
a b
c (^) d
a) Distribuci´on sim´etrica (ν = 0)
b) Distribuci´on asim´etrica a derecha (ν > 0)
c) Distribuci´on asim´etrica a izquierda (ν < 0)
d) Distribuci´on en forma de L.
