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E s t a d í s t i c a
L a E s t a d í s t i c a t r a t a d e l r e c u e n t o , o r d e n a c i ó n y c l a s i f i c a c i ó n d e l o s d a t o s o b t e n i d o s p o r l a s o b s e r v a c i o n e s , p a r a p o d e r h a c e r c o m p a r a c i o n e s y s a c a r c o n c l u s i o n e s. U n e s t u d i o e s t a d í s t i c o c o n s t a d e l a s s i g u i e n t e s f a s e s : Re c o g i d a d e d a t o s. O r g a n i z a c i ó n y r e p r e s e n t a c i ó n d e d a t o s. A n á l i s i s d e d a t o s. O b t e n c i ó n d e c o n c l u s i o n e s.
C o n c e p t o s d e E s t a d í s t i c a
P o b l a c i ó n
U n a p o b l a c i ó n e s e l c o n j u n t o d e t o d o s l o s e l e m e n t o s a l o s q u e s e s o m e t e a u n e s t u d i o e s t a d í s t i c o.
I n d i v i d u o
U n i n d i v i d u o o u n i d a d e s t a d í s t i c a e s c a d a u n o d e l o s e l e m e n t o s q u e c o m p o n e n l a p o b l a c i ó n.
M u e s t r a
U n a m u e s t r a e s u n c o n j u n t o r e p r e s e n t a t i v o d e l a p o b l a c i ó n d e r e f e r e n c i a , e l n ú m e r o d e i n d i v i d u o s d e u n a m u e s t r a e s m e n o r q u e e l d e l a p o b l a c i ó n.
M u e s t r e o
E l m u e s t r e o e s l a r e u n i ó n d e d a t o s q u e s e d e s e a e s t u d i a r , o b t e n i d o s d e u n a p r o p o r c i ó n r e d u c i d a y r e p r e s e n t a t i v a d e l a p o b l a c i ó n.
Va l o r
U n v a l o r e s c a d a u n o d e l o s d i s t i n t o s r e s u l t a d o s q u e s e p u e d e n o b t e n e r e n u n e s t u d i o e s t a d í s t i c o. S i l a n z a m o s u n a m o n e d a a l a i r e 5 v e c e s o b t e n e m o s d o s v a l o r e s : c a r a y c r u z.
D a t o
U n d a t o e s c a d a u n o d e l o s v a l o r e s q u e s e h a o b t e n i d o a l r e a l i z a r u n e s t u d i o e s t a d í s t i c o. S i l a n z a m o s u n a m o n e d a a l a i r e 5 v e c e s o b t e n e m o s 5 d a t o s : c a r a , c a r a , c r u z , c a r a , c r u z.
Va r i a b l e s e s t a d í s t i c a s
U n a v a r i a b l e e s t a d í s t i c a e s c a d a u n a d e l a s c a r a c t e r í s t i c a s o c u a l i d a d e s q u e p o s e e n l o s i n d i v i d u o s d e u n a p o b l a c i ó n.
Ti p o s de v a r i a b l e e st a d í s t i c a s
Va r i a b l e c u a l i t a t i v a
L a s v a r i a b l e s c u a l i t a t i v a s s e r e f i e r e n a c a r a c t e r í s t i c a s o c u a l i d a d e s q u e n o p u e d e n s e r m e d i d a s c o n n ú m e r o s. P o d e m o s d i s t i n g u i r d o s t i p o s :
Va r i a b l e c u a l i t a t i v a n o m i n a l
U n a v a r i a b l e c u a l i t a t i v a n o m i n a l p r e s e n t a m o d a l i d a d e s n o n u m é r i c a s q u e n o a d m i t e n u n c r i t e r i o d e o r d e n. Po r e j e m p l o : E l e s t a d o c i v i l , c o n l a s s i g u i e n t e s m o d a l i d a d e s : s o l t e r o , c a s a d o , s e p a r a d o , d i v o r c i a d o y v i u d o.
Va r i a b l e c u a l i t a t i v a o r d i n a l o v a r i a b l e c u a s i - c u a n t i t a t i v a
U n a v a r i a b l e c u a l i t a t i v a o r d i n a l p r e s e n t a m o d a l i d a d e s n o n ú m e r i c a s , e n l a s q u e e x i s t e u n o r d e n. Po r e j e m p l o : L a n o t a e n u n e x a m e n : s u s p e n s o , a p r o b a d o , n o t a b l e , s o b r e s a l i e n t e. P u e s t o c o n s e g u i d o e n u n a p r u e b a d e p o r t i v a : 1 º , 2 º , 3 º ,...
Pa r a i n d i c a r r e s u m i d a m e n t e e s t a s s u m a s s e u t i l i z a l a l e t r a g r i e g a Σ ( s i g m a m a y ú s c u l a ) q u e s e l e e s u m a o s u m a t o r i a. Fr e c u e n c i a r e l a t i v a L a f r e c u e n c i a r e l a t i v a e s e l c o c i e n t e e n t r e l a f r e c u e n c i a a b s o l u t a d e u n d e t e r m i n a d o v a l o r y e l n ú m e r o t o t a l d e d a t o s. S e p u e d e e x p r e s a r e n t a n t o s p o r c i e n t o y s e r e p r e s e n t a p o r n i. L a s u m a d e l a s f r e c u e n c i a s r e l a t i v a s e s i g u a l a 1. Fr e c u e n c i a a c u m u l a d a L a f r e c u e n c i a a c u m u l a d a e s l a s u m a d e l a s f r e c u e n c i a s a b s o l u t a s d e t o d o s l o s v a l o r e s i n f e r i o r e s o i g u a l e s a l v a l o r c o n s i d e r a d o. S e r e p r e s e n t a p o r F (^) i. Fr e c u e n c i a r e l a t i v a a c u m u l a d a L a f r e c u e n c i a r e l a t i v a a c u m u l a d a e s e l c o c i e n t e e n t r e l a f r e c u e n c i a a c u m u l a d a d e u n d e t e r m i n a d o v a l o r y e l n ú m e r o t o t a l d e d a t o s. S e p u e d e e x p r e s a r e n t a n t o s p o r c i e n t o. E j e m p l o D u r a n t e e l m e s d e j u l i o , e n u n a c i u d a d s e h a n r e g i s t r a d o l a s s i g u i e n t e s t e m p e r a t u r a s m á x i m a s : 3 2 , 3 1 , 2 8 , 2 9 , 3 3 , 3 2 , 3 1 , 3 0 , 3 1 , 3 1 , 2 7 , 2 8 , 2 9 , 3 0 , 3 2 , 3 1 , 3 1 , 3 0 , 3 0 , 2 9 , 2 9 , 3 0 , 3 0 , 3 1 , 3 0 , 3 1 , 3 4 , 3 3 , 3 3 , 2 9 , 2 9.
E n l a p r i m e r a c o l u m n a d e l a t a b l a c o l o c a m o s l a v a r i a b l e o r d e n a d a d e m e n o r a m a y o r , e n l a s e g u n d a h a c e m o s e l r e c u e n t o y e n l a t e r c e r a a n o t a m o s l a f r e c u e n c i a a b s o l u t a.
x i R e c u e n t o f i F i n i N i
2 7 I 1 1 0. 0 3 2 0. 0 3 2
2 8 I I 2 3 0. 0 6 5 0. 0 9 7
3 2 I I I 3 2 7 0. 0 9 7 0. 8 7 1
3 3 I I I 3 3 0 0. 0 9 7 0. 9 6 8
3 4 I 1 3 1 0. 0 3 2 1
E s t e t i p o d e t a b l a s d e f r e c u e n c i a s s e u t i l i z a c o n v a r i a b l e s d i s c r e t a s.
D i s t r i b u c i ó n d e f re c u e n c i a s a g r u p a d a s
L a d i s t r i b u c i ó n d e f r e c u e n c i a s a g r u p a d a s o t a b l a c o n d a t o s a g r u p a d o s s e e m p l e a s i l a s v a r i a b l e s t o m a n u n n ú m e r o g r a n d e d e v a l o r e s o l a v a r i a b l e e s c o n t i n u a. S e a g r u p a n l o s v a l o r e s e n i n t e r v a l o s q u e t e n g a n l a m i s m a a m p l i t u d d e n o m i n a d o s c l a s e s. A c a d a c l a s e s e l e a s i g n a s u f r e c u e n c i a c o r r e s p o n d i e n t e.
[ 0 , 5 ) 2. 5 1 1 0. 0 2 5 0. 0 2 5
[ 5 , 1 0 ) 7. 5 1 2 0. 0 2 5 0. 0 5 0
[ 1 0 , 1 5 ) 1 2. 5 3 5 0. 0 7 5 0. 1 2 5
[ 1 5 , 2 0 ) 1 7. 5 3 8 0. 0 7 5 0. 2 0 0
[ 2 0 , 2 5 ) 2 2. 5 3 1 1 0. 0 7 5 0. 2 7 7 5
[ 2 5 , 3 0 ) 2 7. 5 6 1 7 0. 1 5 0 0. 4 2 5
[ 3 0 , 3 5 ) 3 2. 5 7 2 4 0. 1 7 5 0. 6 0 0
[ 3 5 , 4 0 ) 3 7. 5 1 0 3 4 0. 2 5 0 0. 8 5 0
[ 4 0 , 4 5 ) 4 2. 5 4 3 8 0. 1 0 0 0. 9 5 0
[ 4 5 , 5 0 ) 4 7. 5 2 4 0 0. 0 5 0 1
G r á f i c a s d e e s t a d í s t i c a
D i a g r a m a d e s e ct o r e s
U n d i a g r a m a d e s e c t o r e s s e p u e d e u t i l i z a r p a r a t o d o t i p o d e v a r i a b l e s , p e r o s e u s a f r e c u e n t e m e n t e p a r a l a s v a r i a b l e s c u a l i t a t i v a s. L o s d a t o s s e r e p r e s e n t a n e n u n c í r c u l o , d e m o d o q u e e l á n g u l o d e c a d a s e c t o r e s p r o p o r c i o n a l a l a f r e c u e n c i a a b s o l u t a c o r r e s p o n d i e n t e. E l d i a g r a m a c i r c u l a r s e c o n s t r u y e c o n l a a y u d a d e u n t r a n s p o r t a d o r d e á n g u l o s.
E j e m p l o E n u n a c l a s e d e 3 0 a l u m n o s , 1 2 j u e g a n a b a l o n c e s t o , 3 p r a c t i c a n l a n a t a c i ó n , 4 j u e g a n a l f ú t b o l y e l r e s t o n o p r a c t i c a n i n g ú n d e p o r t e.
A l u m n o s Á n g u l o
B a l o n c e s t o 1 2 1 4 4 °
N a t a c i ó n 3 3 6 °
Fú t b o l 9 1 0 8 °
S i n d e p o r t e 6 7 2 °
To t a l 3 0 3 6 0 °
G r u p o
s a n g u í n e o
f i
A 6
B 4
A B 1
H i s t o g r a m a
U n h i s t o g r a m a e s u n a r e p r e s e n t a c i ó n g r á f i c a d e u n a v a r i a b l e e n f o r m a d e b a r r a s. S e u t i l i z a n p a r a v a r i a b l e s c o n t i n u a s o p a r a v a r i a b l e s d i s c r e t a s , c o n u n g r a n n ú m e r o d e d a t o s , y q u e s e h a n a g r u p a d o e n c l a s e s.
E n e l e j e a b s c i s a s s e c o n s t r u y e n u n o s r e c t á n g u l o s q u e t i e n e n p o r b a s e l a a m p l i t u d d e l i n t e r v a l o , y p o r a l t u r a , l a f r e c u e n c i a a b s o l u t a d e c a d a i n t e r v a l o. L a s u p e r f i c i e d e c a d a b a r r a e s p r o p o r c i o n a l a l a f r e c u e n c i a d e l o s v a l o r e s r e p r e s e n t a d o s. E j e m p l o E l p e s o d e 6 5 p e r s o n a s a d u l t a s v i e n e d a d o p o r l a s i g u i e n t e t a b l a :
c i f i F i
[ 5 0 , 6 0 ) 5 5 8 8
[ 6 0 , 7 0 ) 6 5 1 0 1 8
[ 7 0 , 8 0 ) 7 5 1 6 3 4
[ 8 0 , 9 0 ) 8 5 1 4 4 8
[ 9 0 , 1 0 0 ) 9 5 1 0 5 8
[ 1 0 0 , 1 1 0 ) 1 1 0 5 6 3
[ 1 1 0 , 1 2 0 ) 1 1 5 2 6 5
H i s t o g r a m a s c o n i n t e r v a l o s d e a m p l i t u d d i f e r e n t e
Pa r a c o s t r u i r u n h i s t o g r a m a s c o n i n t e r v a l o d e a m p l i t u d d i f e r e n t e t e n e m o s q u e c a l c u l a r l a s a l t u r a s d e l o s r e c t á n g u l o s d e l h i s t o g r a m a. h (^) i e s l a a l t u r a d e l i n t e r v a l o f (^) i e s l a f r e c u e n c i a d e l i n t e r v a l o a (^) i e s l a a m p l i t u d d e l i n t e r v a l o E j e m p l o E n l a s i g u i e n t e t a b l a s e m u e s t r a l a s c a l i f i c a c i o n e s ( s u s p e n s o , a p r o b a d o , n o t a b l e y s o b r e s a l i e n t e ) o b t e n i d a s p r u n g r u p o d e 5 0 a l u m n o s.
f i h i
[ 0 , 5 ) 1 5 3
[ 5 , 7 ) 2 0 1 0
[ 7 , 9 ) 1 2 6
[ 9 , 1 0 ) 3 3
P o l í g o n o s d e f re c u e n c i a
U n p o l í g o n o d e f r e c u e n c i a s s e f o r m a u n i e n d o l o s e x t r e m o s d e l a s b a r r a s
d e u n diagrama de barras m e d i a n t e s e g m e n t o s.
Ta m b i é n s e p u e d e r e a l i z a r t r a z a n d o l o s p u n t o s q u e r e p r e s e n t a n l a s f r e c u e n c i a s y u n i é n d o l o s m e d i a n t e s e g m e n t o s. E j e m p l o L a s t e m p e r a t u r a s e n u n d í a d e o t o ñ o d e u n a c i u d a d h a n s u f r i d o l a s s i g u i e n t e s v a r i a c i o n e s :
P o l í go n o s de f re c u e n c i a p a r a d at o s a g r u p a d o s
Pa r a c o n s t r u i r e l p o l í g o n o d e f r e c u e n c i a s e t o m a l a m a r c a d e c l a s e q u e
c o i n c i d e c o n e l p u n t o m e d i o d e c a d a r e c t á n g u l o d e u n histograma.
E j e m p l o E l p e s o d e 6 5 p e r s o n a s a d u l t a s v i e n e d a d o p o r l a s i g u i e n t e t a b l a :
c i f i F i
[ 5 0 , 6 0 ) 5 5 8 8
[ 6 0 , 7 0 ) 6 5 1 0 1 8
[ 7 0 , 8 0 ) 7 5 1 6 3 4
[ 8 0 , 9 0 ) 8 5 1 4 4 8
[ 9 0 , 1 0 0 ) 9 5 1 0 5 8
[ 1 0 0 , 1 1 0 ) 1 1 0 5 6 3
[ 1 1 0 , 1 2 0 ) 1 1 5 2 6 5
P o l í g o n o d e f r e c u e n c i a s a c u m u l a d a s
C u a n d o t o d a s l a s p u n t u a c i o n e s d e u n g r u p o t i e n e n l a m i s m a f r e c u e n c i a , n o h a y m o d a. 2 , 2 , 3 , 3 , 6 , 6 , 9 , 9 S i d o s p u n t u a c i o n e s a d y a c e n t e s t i e n e n l a f r e c u e n c i a m á x i m a , l a m o d a e s e l p r o m e d i o d e l a s d o s p u n t u a c i o n e s a d y a c e n t e s. 0 , 1 , 3 , 3 , 5 , 5 , 7 , 8 M o = 4
C á l c u l o d e l a m o d a p a r a d a t o s a g r u p a d o s
1 º To d o s l o s i n t e r v a l o s t i e n e n l a m i s m a a m p l i t u d. L (^) i - 1 e s e l l í m i t e i n f e r i o r d e l a c l a s e m o d a l. f (^) i e s l a f r e c u e n c i a a b s o l u t a d e l a c l a s e m o d a l. f (^) i - - 1 e s l a f r e c u e n c i a a b s o l u t a i n m e d i a t a m e n t e i n f e r i o r a l a e n c l a s e m o d a l. f (^) i - + 1 e s l a f r e c u e n c i a a b s o l u t a i n m e d i a t a m e n t e p o s t e r i o r a l a c l a s e m o d a l. a (^) i e s l a a m p l i t u d d e l a c l a s e.
Ta m b i é n s e u t i l i z a o t r a f ó r m u l a d e l a m o d a q u e d a u n v a l o r a p r o x i m a d o d e é s t a : E j e m p l o C a l c u l a r l a m o d a d e u n a d i s t r i b u c i ó n e s t a d í s t i c a q u e v i e n e d a d a p o r l a s i g u i e n t e t a b l a :
f i
[ 6 0 ,
[ 6 3 ,
[ 6 6 ,
