Ejercicios de Probabilidad y Estadística, Apuntes de Estadística Aplicada

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Curso 2021/

Estadística

Aplicada

Tema 1: Estadística Descriptiva

Conceptos básicos

Definimos población al conjunto de individuos que presentan una o varias características en

común. Nos referimos a esto como el conjunto objeto de estudio.

Ejemplos de poblaciones son :

• Todos los habitantes de una misma ciudad
• Las piezas fabricadas por la misma máquina
• Todos los enfermos de una enfermedad

¿Cómo podemos estudiar las poblaciones?

• Mediante un censo o estudio exhaustivo. Consiste en observar todos y cada uno de

los individuos que integran la población.

• Por muestreo. Consiste en estudiar un subconjunto representativo de la población que

se llama muestra.

Se suele considerar una muestra porque no siempre es posible estudiar exhaustivamente toda

la población por motivos de tiempo, coste económico u otro tipo de dificultad.

Características que debemos identificar ante un conjunto de datos

Medidas de posición o localización: describen cómo se comportan globalmente los datos y

localizan la distribución de frecuencias.

• Media aritmética :

𝑖

𝑛

𝑖= 1

• Mediana : aquel valor que divide en dos partes iguales la distribución de frecuencias.

𝑛+ 1

2

Me

2

2

• 1

• Moda (Mo) : valor de la variable que presenta mayor frecuencia. Existe para datos

cualitativos.

• Varianza : medida de dispersión asociada a la media aritmética:

𝑥

2

2

Operaciones

• Unión. Llamamos unión de dos sucesos A y B (A U B) a otro suceso que ocurre cuando

ocurre A o B.

B = {par}

C = {impar}

B U C = {2,3,4,5,6}

• Intersección. Llamamos intersección de dos sucesos A y B (A ∩ B) a otro suceso que

ocurre cuando ocurre A y B.

B = {par}

C = {impar}

B ∩ C = {2}

Definición. Dos sucesos son incompatibles o mutuamente excluyentes si A ∩ B = 𝜙

Definición. Un conjunto de n sucesos (A 1

, A

2

, …, A

n

) diremos que es una partición si:

𝑖

𝑛

𝑖= 1

𝑖

𝑗

Propiedades

Unión Intersección

Conmutativa A U B = B U A A ∩ B = B ∩ A

Asociativa A U (B U C) = (A U B) U C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

Distributiva A U (B ∩ C) = A U B ∩ A U C

A ∩ (B U C)= A ∩ B U A ∩ C

Idempotente A U A = Ω

A U Ω = Ω

A U 𝜙 = A

A U 𝐴 = Ω

A ∩ A = A

A ∩ Ω = A

A ∩ 𝜙 = 𝜙

A ∩ 𝐴 = 𝜙

Leyes de Morgan

Idea intuitiva de la probabilidad

La probabilidad es la medida de incertidumbre de un suceso

Laplace

Si los procesos son equiprobables, es decir, si no hay sospecha de que un suceso pueda ocurrir

más que otro, se puede controlar ese suceso contando el número de veces que aparece ese

suceso entre el número de sucesos probables:

Von Misses

𝑃(𝐴) = lim

𝑛→∞

𝐴

Definición axiométrica de Kolmogoroff

Llamamos función de probabilidad a una aplicación

De modo que:

Consecuencias

4. Si Ω está formado por n sucesos elementos equiprobables:

𝑖

5. En las condiciones anteriores, si un suceso B está formado por K sucesos elementales:

Probabilidad condicionada

Experimento. Extraer una carta de una baraja

C = sacar un caballo 𝑃(𝐶) =

1

40

F = salir figura 𝑃(𝐶 ⁄𝐹 ) =

4

12

1

3

Definición. Llamamos probabilidad de un suceso A condicionado a otro suceso B a:

𝑃(𝐴∩𝐵)

𝑃(𝐵)

𝑃

( 𝐵∩𝐴

)

𝑃

( 𝐴

)

Definición. Dos sucesos son incompatibles si 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∗ 𝑃(𝐵) o si 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴/𝐵)

Ejemplo. Extraer dos cartas de una baraja. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caballos?

C

i

= obtener caballo en la extracción i , i = 1,

• Con reposición (devolución)

1

2

1

2

• Sin reposición (no independiente)

1

2

1

2

1

Generalización de la regla del producto (teorema de la probabilidad completa)

1

𝑛

1

2

1

𝑖

1

2

𝑛− 1

Si 𝑃(𝐴 1

2

𝑛− 1

Teorema de la probabilidad total

Sea A 1

, A

2

, …, A

n

, n sucesos que determinan una partición del espacio muestral de un

experimento aleatorio y sea B otro suceso cualquiera de Ω entonces:

1

1

2

2

𝑛

𝑛

𝑖

𝑛

𝑖= 1

𝑖

) = 𝑃(𝐵) probabilidad a priori

Teorema de Bayes

En las condiciones del teorema anterior

𝑖

𝑃(𝐴

𝑖

)∗𝑃(𝐵/𝐴

𝑖

)

∑ 𝑃(𝐴

𝑗

)

𝑛

𝑗= 1

∗𝑃(𝐵/𝐴

𝑗

)

probabilidad a posteriori

Tema 3. Variables aleatorias

Definición. Una variable aleatoria es una aplicación que asocia a cualquier elemento del

espacio muestral de un experimento aleatorio un número real:

Observación. Sobre un mismo espacio muestral se pueden definir distintas variables aleatorias

Ejemplo

Experimento: lanzar un dado Ω = {1,2,3,4,5,6}

Definición. Llamamos función de distribución asociada a una variable aleatoria X a una función

Ejemplo.

X(i) = i

0 si x<

1/6 si 1 ≤ 𝑥 < 2

2/6 si 2 ≤ 𝑥 < 3 0 si y < - 2

F(x) = 3/6 si 3 ≤ 𝑥 < 4 F(y) = 4/6 si − 2 ≤ 𝑦 < 0

4/6 si 4 ≤ 𝑥 < 5 5/6 si 0 ≤ 𝑦 < 7

5/6 si 5 ≤ 𝑥 < 6 1 si 7 ≤ 𝑦

1 si 6 ≤ 𝑥

Propiedades

1. F(x) es creciente 𝑥

1

2

1

2

) caracterizan una función

2. F(x) es continua por la derecha lim

𝑥→𝑎

𝐹(𝑥) = 𝐹(𝑎) de distribución

3. lim

𝑥→−∞

𝐹(𝑥) = 0 lim

𝑥→+∞

Variables aleatorias discretas: función puntual de probabilidad (f.p.p)

Definición. Diremos que una variable aleatoria es discreta si puede tomar un número

finito de valores o infinito numerable. Llamamos función puntual de probabilidad de

Propiedades

1. Var [x + a] = Var [x]
2. Var [b*x] = b

2

• Var [x]

3. Var [b*x + a] = b

2

• Var [x]

Variables aleatorias continuas: función de densidad

Definición. Diremos que una variable aleatoria es continua si puede tomar los infinitos valores

de un intervalo de la recta real.

Definición. Sea X una variable aleatoria continua llamamos función de densidad a una función

real de variable real f:R→ R de manera que:

1. 𝑓(𝑥) ≥ 0 caracterizan la función de densidad

∞

−∞

𝑥

−∞

4. Si f(x) es continua en x = a, F´(a) = f (a)

𝑏

𝑎

Características de una variable aleatoria continua

Definición. Sea X una variables e aleatoria continua con función de densidad g = f(x) llamamos

esperanza o media de la variable aleatoria a:

𝑥

= 𝐸[𝑥] = ∫ 𝑥 ∗ 𝑓(𝑥)

∞

−∞

Y siendo 𝜇 𝑥

la media de la variable aleatoria llamamos varianza de x a:

𝑥

2

= 𝑉𝑎𝑟[𝑥] = ∫ 𝑥(𝑥 − 𝜇

𝑥

2

∞

−∞

Observaciones:

1. 𝑉𝑎𝑟 [𝑥] = 𝐸[𝑥

2

] − (𝐸[𝑥])

2

2. Las propiedades de E[x] y Var[x] son las mismas que en variable discreta

Desigualdad de Tchbychev

Se usa cuando no conocemos la distribución de una variable aleatoria

2

2

2

k>

Distribuciones asociadas a variables discretas

Distribución de Bernoulli

Definición. Un experimento de Bernoulli es aquel que sólo tiene dos posibles resultados, éxito

o fracaso.

Si definimos la variable aleatoria

1 , 𝑠𝑖 é𝑥𝑖𝑡𝑜

Diremos que sigue una función de distribución de Bernoulli si:

• Función de probabilidad

• E[x]

𝐸[𝑥] = 1 ∗ 𝑝 + 0 ∗ 𝑞 = 𝑝 → 𝐸[𝑥] = 𝑝

• Var[x]

𝑉𝑎𝑟[𝑥] = 𝑝 ∗ 𝑞

𝑥~𝐵(𝑝) la función sigue esa distribución

Distribución binomial

Suponemos que repetimos n veces un experimento de Bernoulli en idénticas condiciones y de

manera independiente. Si definimos la variable aleatoria

𝑥 = 𝑛º 𝑑𝑒 é𝑥𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑛 𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎𝑠

diremos que x sigue una distribución binomial de parámetros

𝑛 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠

𝑝 = 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 é𝑥𝑖𝑡𝑜

𝑥 ~𝐵(𝑛, 𝑝) la variable sigue esta distribución

• Función puntual de probabilidad

𝑟

𝑛−𝑟

• E[x]

𝐸[𝑥] = 𝑛 ∗ 𝑝

• Var[x]

𝑉𝑎𝑟[𝑥] = 𝑛 ∗ 𝑝 ∗ ( 1 − 𝑝)

Distribuciones asociadas a variables continuas

Distribución uniforme

Diremos que una variable aleatoria x sigue una distribución uniforme si tiene como función de

densidad

𝑥~𝑈(𝑎, 𝑏) la variable sigue esta distribución

• Función de distribución

𝑥

−∞

𝑥

𝑎

𝑥

𝑎

• E[x]

𝐸[𝑥] =

• Var[x]

𝑉𝑎𝑟[𝑥] =

2

Distribución exponencial

Diremos que una variable aleatoria x sigue una distribución exponencial si tiene como función

de densidad

−𝑥

𝑥~𝐸𝑥𝑝(𝜆) la variable sigue esta distribución

• Función de distribución

−𝜆𝑡

𝑥

−∞

𝑒

−𝜆𝑡

−𝜆

0

𝑥

−𝜆𝑡

−𝜆𝑥

• E[x]

[

]

• Var[x]

[

]

2

Distribución normal

Diremos que una variable aleatoria continua x sigue una distribución normal de parámetros

𝜇, 𝜎 si tiene como función de densidad

( 𝑥−𝜇

)

2

2 𝜎

2

𝑥~𝑁(𝜇, 𝜎) la variable sigue esta distribución

• Función de distribución

𝑥

−∞

• E[x]

𝐸[𝑥] = 𝜇

• Var[x]

[

]

2

1. Simétrica respecto a 𝑥 = 𝜇
2. Máximo en 𝑥 = 𝜇
3. Inflexión en 𝑥 = 𝜇 − 𝜎 y 𝑥 = 𝜇 + 𝜎
4. Tipificar una variable normal

Aproximación de la distribución binomial mediante la normal

Distribución de la media muestral

Sea (𝑥 1

2

𝑛

) una muestra aleatoria simple de una característica x con media

poblacional 𝜇 y varianza poblacional 𝜎

2

, definimos la media muestral como

𝑖

𝑛

𝑖= 1

𝐸[𝑥̅ ] =

𝑖

𝑛

𝑖= 1

𝐸 [∑ 𝑥

𝑖

𝑛

𝑖= 1

] =

∑ 𝐸[𝑥

𝑖

]

𝑛

𝑖= 1

𝑛

𝑖= 1

La media poblacional de la variable media muestral es la misma media de la población de la

variable original

𝑉𝑎𝑟[𝑥] =

2

Supongamos que 𝜎 es conocida

𝜎

√

𝑛

2. 𝑥 ≁ N(μ, σ) → Teorema central del límite

Sea x una variable aleatoria con media 𝜇 y varianza 𝜎

2

cuando n es suficientemente grande

(𝑛 ≥ 30 ) se verifica que

𝑥

̅ −𝜇

𝜎/𝑛

Supongamos que 𝜎 es desconocida

𝑥̅ −𝜇

𝑠/√𝑛

𝑛− 1

teorema de Fisher

Tomamos la varianza muestral 𝑠

2

1

𝑛− 1

𝑖

𝑛 2

𝑖= 1

𝑛

𝑛− 1

[

∑ 𝑥

𝑖

2

𝑛

2

]

Distribuciones asociadas a la normal

1. Distribución ji-cuadrado (chi-cuadrado)

Sea 𝑍 1

2

𝑛

, n variables normales estándar. Si defino la variable 𝜒

𝑛

2

1

2

2

2

𝑛

2

diremos que sigue una distribución chi-cuadrado con n grados de libertad

Función de distribución → tablas

2. Distribución t de Student

Sea 𝜒 𝑛

2

una distribución chi-cuadrado con n grados de libertad y sea U una normal estándar si

defino 𝑇 =

𝑈

√

𝜒

𝑛

2

𝑛

diremos que sigue una distribución T de Student con n grados de libertad t n

Función de distribución → tablas

3. Función de Snedeour

𝑛,𝑚

𝑛

2

𝑚

2

𝑛/𝑛

2

𝑚/𝑚

2

Supongamos que 𝜎 es desconocida

𝑛− 1

Tomamos la varianza muestral 𝑠

2

1

𝑛− 1

𝑖

2

𝑛

𝑖= 1

𝑛

𝑛− 1

[

∑ 𝑥

𝑖

2

𝑛

2 ̅̅̅

]

Distribución de la proporción muestral

Supongamos que queremos estudiar la operación de una determinada característica en una

población. Definimos la variable

1 , 𝑠𝑖 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑃(𝑥 = 1 ) = 𝑝

0 , 𝑠𝑖 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑛𝑜 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑃(𝑥 = 0 ) = 1 − 𝑝

Tomamos una m.a.s (𝑥

1

2

𝑛

) entonces definimos la proporción muestral como

𝑖

𝑛

𝑖= 1

[

]

[

]

𝑝( 1 −𝑝)

𝑛

Aplicando el teorema central del límite ya que n es muy grande

Tema 6. Introducción a la teoría de la estimación

Queremos estudiar una característica poblacional x con distribución 𝑓 𝜃

(𝑥) dependiente de un

parámetro desconocido 𝜃.

Definición. Un estimador puntual 𝜃

del parámetro poblacional 𝜃 es un estadístico construido

para obtener la mejor aproximación del parámetro.

1 −

𝛼

2

1 −

𝛼

2

1 −

𝛼

2

1 −

𝛼

2

1 −

𝛼

2

1 −

𝛼

2

1 −

𝛼

2

1 −

𝛼

2

𝜇 𝜖 [𝑥̅ − 𝑍

1 −

𝛼

2

1 −

𝛼

2

]

Cálculo del tamaño de muestra

Error máximo cometido al estimar 𝜇 mediante un I.C al ( 1 − 𝛼) ∗ 100% de una población

normal con varianza conocida es:

1 −

𝛼

2

1 −

𝛼

2

1 −

𝛼

2

2

1 −

𝛼

2

2

Intervalo de confianza para 𝜇 con varianza desconocida

Sea 𝑥~𝑁(𝜇, 𝜎) con m.a.s → (𝑥 1

2

𝑛

) sabemos que

𝑥̅ −𝜇

𝑠/ √

𝑛

𝑛− 1

𝑛− 1 , 1 −

𝛼

2

𝑛− 1 , 1 −

𝛼

2

Intervalo de confianza por la proporción muestral

Sea x una característica que puede aparecer o no en una población de modo que

Sea (𝑥 1

2

𝑛

) una m.a.s, sabemos que 𝑝̂ =

1

𝑛

𝑖

𝑛

𝑖= 1

→ 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙.

1 −

𝛼

2

1 −

𝛼

2

1 −

𝛼

2

𝑝

( 1 −𝑝

)

𝑛

1 −

𝛼

2

𝑝

( 1 −𝑝

)

𝑛

P (p̂ − Z

1 −

α

2

p

1 − p

n

≤ p ≤ p̂ + Z

1 −

α

2

p

1 − p

n

) = 1 − α

𝑝 𝜖 [p̂ − Z

1 −

α

2

p( 1 − p)

n

, p̂ + Z

1 −

α

2

p( 1 − p)

n

]

Determinación del tamaño de muestra en la estimación de la proporción poblacional

Error máximo cometido al estimar p mediante un intervalo de confianza al ( 1 − 𝛼) ∗ 100%

1 −

𝛼

2

1 −

𝛼

2

2

2

1 −

𝛼

2

2

𝑝̂ ( 1 −𝑝̂)

𝐸

2

1 −

𝛼

2

2

1. 5 ∗

( 1 − 0. 5

)

𝐸

2

≤ 𝑛 → 𝑚á𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜𝑟