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FACULTAD DE TURISMO Y FINANZAS
ESTADÍSTICA (GRADO DE TURISMO) CURSO 2013- SOLUCIÓN PRIMERA PRUEBA PARCIAL (5/11/13)
PROBLEMA 1
Una empresa expende cinco productos, teniendo la siguiente información sobre las unidades vendidas durante la última semana y los ingresos alcanzados con las ventas de cada uno de ellos en la misma:
Unidades vendidas 12 8 14 15 51 Ingresos totales ( 103 €) 54 37,6 33,6 37,5 71 ,
Considerando la variable “Precio de venta unitario por artículo” (en €), se pide que:
1. Determine la distribución de frecuencias de la variable considerada.
Llamamos X = Precios de venta unitario por artículo, en euros. La tabla proporcionada contiene en la primera fila las unidades vendidas, es decir ni y en la segunda fila xi.ni, pero expresadas en 10^3 € Dividiendo ambas columnas, obtendremos los valores de xi, aunque posteriormente debemos ordenarlos de forma creciente para su representación en la distribución de frecuencias.
xi ni Ni Fi xi.ni 1400 51 51 0,51 71400 2400 14 65 0,65 33600 2500 15 80 0,80 37500 4500 12 92 0,92 54000 4700 8 100 1,00 37600 Totales 100 234100
2. Represente gráficamente el diagrama acumulativo de frecuencias (relativas) correspondiente a la variable precio, y determine, desde el mismo, cuál sería el precio mayor del 50% de los artículos vendidos más baratos.
Como el primer Ni mayor que 0,5 es N 1 , ello nos indica que la Mediana es el primer valor de la variable: Me = x 1 = 1400 euros
3. Determine el precio medio de los productos, y valore la representatividad de éste.
2 2 2 X
X X x
x 2341euros 100 604070000 S (2341) 1460419 euros 100 S 1208euros S 1208 V 0,5162; o bien51,62% x 2341
En consecuencia, el precio medio tiene una representatividad intermedia, al encontrarse el correspondiente coeficiente de variación comprendido entre 0,3 y 0,7.
4. ¿Cuál es el valor del precio más frecuente? Si se redujeran en un 20% todos los precios, ¿de qué forma afectaría este hecho al valor anterior? La moda será el valor xi cuya ni sea máxima, por lo tanto, Mo =1400 euros. Si los precios se redujeran un 20%, la moda se vería igualmente reducida en un 20%. Es decir, la nueva moda sería 0,8 1400 = 1120 euros.
5. ¿Cuál será el precio mínimo que debe tener un producto para estar entre el 20% de los más vendidos? Si se redujeran en un 20% todos los precios, ¿de qué forma afectaría este hecho al valor anterior? Nos están solicitando el percentil 80, es decir P 80. Para ello, calculamos r·N = 0,80 100 = 80. Como N 3 = 80, el percentil 80 será la media aritmética entre los valores 2500 y 4500; es decir: 3500 euros. En cuanto a la segunda parte de la pregunta, se vería reducido en un 20%, es decir quedaría en 0,8 3500 = 2800 euros.
PROBLEMA 2
Un grupo hotelero dispone de 50 hoteles repartidos a lo largo del territorio nacional. La información disponible del número de habitaciones de cada uno de ellos se muestra en la siguiente tabla:
Número de habitaciones
Porcentaje de hoteles
Número total de habitaciones Menos de 10 20 80 10 - 30 40 300 30 - 40 30 555 Más de 40 10 500
A partir de estos datos, se pide:
1. ¿Cuál sería el número medio de habitaciones por hotel? Valore la dispersión relativa respecto de la media.
Dado que el grupo hotelero cuenta con 50 hoteles, podemos concretar las frecuencias absolutas de cada intervalo para la variable X (Número de habitaciones), multiplicando cada frecuencia relativa (fi = pi/100) por 50 (total de observaciones). De esta forma:
Li-Li-1 pi fi ni Menos de 10 20 0,2^10 10-30 40 0,4 20 30-40 30 0,3^15 Más de 40 10 0,1^5 Total 100 1 50 También, dado que se ofrece el total de habitaciones de cada intervalo, xi·ni, para obtener los correspondientes valores de xi basta con dividir el total de habitaciones de cada intervalo entre su correspondiente frecuencia absoluta, y de esta forma:
Li-Li-1 ni xi·ni xi Menos de 10 10 80 8 10-30 20 300 15 30-40 15 555 37 Más de 40 5 500 100 Total 50 1435 Desde esta información, operando, determinamos media, varianza y coeficiente de variación:
∑^ ⋅
4 i i i=
x n 1435 x= = =28,7 habitaciones N 50
⋅
(^4 ) i i (^2) i=1 2 2 2 x
x n 75675 s = -x = -28,7 689,81habitaciones N 50
2 x x
s (^) 689, V = 0, x 28, Consiguientemente, el número medio de habitaciones de este grupo hotelero es 28,7 habitaciones, siendo esta media aritmética poco representativa, pues su coeficiente de variación es de 0,91.
2. Si se considera “hotel grande” aquel que está incluido en el 20% de los cuentan con un mayor número de habitaciones, ¿cuál sería el número mínimo de habitaciones que debe tener un hotel para estar dentro de esta categoría? El número mínimo de habitaciones para estar incluido en la categoría “hotel grande” es el percentil 80. Para determinarlo, calculamos tanto las frecuencias acumuladas de cada intervalo como sus amplitudes: Li-Li-1 ni Ni ai Menos de 10 10 10 -- 10-30 20 30 20 30-40 15 45 10 Más de 40 5 50 -- Total 50 Dado que el 80% del total de observaciones (50) es igual a 40, dicho percentil está incluido en el intervalo (30-40]. De esta forma, considerando que las observaciones se reparten de forma uniforme dentro de tal intervalo, obtendríamos el valor aproximado de tal percentil: − 80 =^ +^ =
P 30 10 36,67 habitaciones 15 Así, el número mínimo de habitaciones que debe tener un hotel para estar incluido en la categoría de “hotel grande” es 36,67 habitaciones.
