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ESTAD´ISTICA Y AN ´ALISIS DE DATOS
Pr´actica del Tema 1. Variables estad´ısticas unidimensionales
Problemas
- Se ha contabilizado el n´umero de d´ıas que durante un a˜no han faltado al trabajo, por baja laboral, los trabajadores de una empresa, obteni´endose los siguientes resultados:
N´umero de d´ıas 1 2 3 4 5 6 7 8 N´umero de obreros 2 7 10 4 10 3 2 2
Se pide:
a) Representar mediante el gr´afico apropiado la distribuci´on de los trabajadores seg´un los d´ıas de baja. b) Calcular la media, moda y cuartiles de esa distribuci´on. c) ¿Es el n´umero medio de d´ıas de baja representativo de los valores de la distri- buci´on? Responde a esta pregunta utilizando el estad´ıstico adecuado. d ) A la hora de recoger la informaci´on para elaborar la tabla del enunciado ha habido un error: 6 trabajadores no hab´ıan sido incluidos. Todos ellos estuvieron de baja un n´umero de d´ıas igual a la media que has obtenido en el apartado b). ¿C´omo afectar´a la inclusi´on de estos 6 trabajadores al n´umero medio de d´ıas de baja y al grado de representatividad de esta media, en comparaci´on con los resultados obtenidos antes de incluirlos? Razona tu respuesta.
- La siguiente tabla muestra la distribuci´on de frecuencias de los salarios mensuales de los 80 trabajadores de una empresa:^1
Salarios (euro) T rabajadores ( %) [1500 − 1560) 15 [1560 − 1600) 15 [1600 − 1680) 25 [1680 − 1740) 20 [1740 − 1800) 15 [1800 − 1860) 10
a) Elabora una tabla que muestre la distribuci´on de los salarios en t´erminos de frecuencias absolutas y relativas. b) Realiza un histograma de la distribuci´on de los salarios. c) Calcula la media y mediana de la distribuci´on. ¿Cu´al es el intervalo de salarios m´as frecuente? (^1) Ejercicio adaptado de Agirre (2010) Estatistikaren Oinarriak. Ariketak. 2. argitalpena, Udako Euskal Unibertsitatea (UEU).
d ) A partir del histograma y utilizando los valores t´ıpicos pertinentes, comenta la forma que tiene la distribuci´on.
- Una variable estad´ıstica discreta toma los siguientes valores: x 1 = 1, x 2 = 4, x 3 = 7, x 4 = 10. Sabemos que f 1 = f 4 y que g 1 (X) = 0.
a) Obtener el valor de la media (¯x). Razonar la respuesta. b) Conociendo adem´as que a 2 (X) = 39,7, calcular los valores f 1 , f 2 , f 3 , f 4 y realizar la representaci´on gr´afica correspondiente. c) Considerando la transformaci´on Y = X− 3 4 , obtener los siguientes estad´ısticos: y¯, S y^2 y g 0 (Y ). Comentar los resultados obtenidos.
- Supongamos que la siguiente tabla muestra la distribuci´on de la renta mensual familiar en miles de euros de un determinado colectivo:
X [0, 1) [1, 3) [3, 4) [4, 6) [6, 7) fi 0,1 0,3 f 3 f 4 f 5
Se pide:
a) Calcular f 3 , f 4 y f 5 sabiendo que ¯x = 3,65 y Me = 3,50. b) Calcular f 3 , f 4 y f 5 sabiendo que el coeficiente de asimetr´ıa es g 1 = 0 ¿Cu´al es el valor en este caso de ¯x y Me? c) Representar gr´aficamente las distribuciones de frecuencias de los dos casos an- teriores, comentando ambas gr´aficas.
- Una variable discreta toma valores x 1 < x 2 < x 3 < x 4 < x 5 con frecuencias n 1 = n 4 = n 5 = 1, n 2 = 2, n 3 = 3. Sabemos adem´as que xi − xi− 1 = 2 para todo i.
a) Representar gr´aficamente esta distribuci´on. b) Expresar ¯x, Me y Mo en funci´on de x 1. c) Hallar la desviaci´on t´ıpica (Sx) y el recorrido (R). d ) Explicar por qu´e la media, la mediana y la moda dependen de x 1 y, sin embargo, la desviaci´on t´ıpica y el recorrido no.
- Del Bolet´ın Estad´ıstico del Banco de Espa˜na hemos extra´ıdo datos mensuales del rendimiento anual de las Letras del Tesoro, X, y del ´ındice IBEX35, Y , desde enero de 1988 hasta enero de 2008. Con los datos de estas dos variables hemos obtenido los siguientes valores t´ıpicos:
Valores t´ıpicos Variable Media Mediana Moda S^2 g 2 g 1 Min Max Letras del Tesoro (X) 6,84 4,93 14,49 17,68 -1,25 0,51 1,84 14, IBEX35 (Y ) 11,48 12,26 — 552,54 -0,02 0,35 -38,21 88,
- Un hotel tiene 5 tipos de habitaciones. La tabla adjunta recoge para cada uno de ellos el precio por habitaci´on y los ingresos totales obtenidos en un d´ıa en que se encuentra el hotel completamente ocupado.
Tipo Precio por habitaci´on Ingresos totales Primero 30 2400 Segundo 50 2000 Tercero 75 3000 Cuarto 100 2000 Quinto x 2600
Se pide:
a) Determinar cu´al ha de ser el precio de la habitaci´on del tipo superior, x, para que el precio medio por habitaci´on en este hotel sea 60 e. b) ¿Cu´al ser´a entonces el valor del ´ındice de Gini?
- Del conjunto de perceptores de subvenciones de un Departamento P´ublico de Pro- moci´on de Actividades Industriales, el 40 % ha percibido una subvenci´on entre medio mill´on y mill´on y medio; otro 40 % de los perceptores la ha percibido comprendida entre un mill´on y medio y tres millones y medio; y el 20 % restante la ha percibido comprendida entre tres millones y medio y siete millones y medio. Se pide:
a) Dibujar el histograma que describa la distribuci´on de los perceptores seg´un la subvenci´on recibida y estimar la moda que la variable “subvenci´on recibi- da”presenta en ese colectivo. b) Dibujar la curva de Lorenz que describa la concentraci´on del total de las sub- venciones en su distribuci´on en el conjunto de empresas perceptoras y calcular el ´ındice de Gini que la mida, tomando como marcas de clase los puntos medios de los intervalos de las subvenciones.
- En la siguiente tabla aparecen los porcentajes acumulados de la renta ganada por el 20 % m´as pobre, el 40 % m´as pobre, etc. de la poblaci´on en tres pa´ıses diferentes, para los a˜nos 1997-2000:
Porcentaje acumulado de poblaci´on Pa´ıs 20 % 40 % 60 % 80 % 100 % Dinamarca 8,3 23,0 41,2 64,1 100, Espa˜na 7,0 19,1 35,5 58,0 100, Sud´africa 3,5 9,8 19,8 37,8 100,
a) Dibuja en el siguiente gr´afico las correspondientes curvas de Lorenz.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.
Curva de Lorenz
Fi
Qi
b) Ordena de menor a mayor los ´ındices de concentraci´on de las distintas curvas. ¿Qu´e indica dicha clasificaci´on en cuanto a la equidad de la distribuci´on de la renta? c) Comenta la frase: “La renta total de Dinamarca es mayor que la renta total de Espa˜na, la cual es adem´as mayor que la renta total de Sud´africa”.
- En la empresa Ehunaga, S.A.L., de Yurre, existe la siguiente distribuci´on de ingresos mensuales en e:
Nivel Ingreso no^ de trabajadores I 1000 60 II 2000 30 III 4000 10
Se ha tomado el acuerdo en esta empresa de que, en adelante, toda subida de remuneraci´on ser´a lineal, es decir, todos los niveles recibir´an el mismo incremento del salario en e.
a) ¿Cu´anto habr´a de aumentar cada ingreso mensual para que el coeficiente de variaci´on g 0 de la distribuci´on de los trabajadores seg´un sus salarios se reduzca a la mitad? b) Calcula el ´ındice de Gini de la distribuci´on de salarios antes de la subida. Razona c´omo variar´a el valor de este ´ındice tras el aumento de sueldo calculado en el apartado a). c) Razona qu´e ocurre con el ´ındice de Gini si se multiplica cada valor de la variable por una constante k.
- Un abuelo decide repartir los 25 millones a los que asciende su fortuna entre sus 10 nietos de la siguiente forma: un 30 % de su fortuna entre el 20 % de sus nietos, un 15 % entre el 30 %, un 25 % entre el 10 % y el 30 % que le queda entre el resto de los nietos. (Dentro de cada clase del reparto todos los nietos reciben lo mismo).
(C) Dos veces menos apuntada que una distribuci´on normal (D) Menos apuntada que una distribuci´on normal (E) Todo falso
- Si te dijeran que para dos variables estad´ısticas tipificadas Tx y Ty la relaci´on entre sus coeficientes de variaci´on es g 0 (Tx) = 3g 0 (Ty), ¿cu´al de las siguientes afirmaciones es correcta?: (A) Es absurdo considerar cualquier relaci´on entre los coeficientes de variaci´on de dos variables tipificadas (B) El recorrido intercuart´ılico de Tx es tres veces el de Ty (C) La dispersi´on respecto de la media de Tx es tres veces menor que la de Ty (D) La dispersi´on respecto de la media de Tx es tres veces mayor que la de Ty (E) Todo falso
- Si S x^2 = 25, m 3 (X) = −36 y realizamos la transformaci´on lineal Y = − 3 X + 2, ¿cu´al de las siguientes afirmaciones es correcta?: (A) El coeficiente de asimetr´ıa de Y es 0, 5 (B) Sy = − 5 (C) m 3 (Y ) = − 36 (D) m 3 (Y ) = 36 (E) Todo falso
- Si para una variable continua agrupada en intervalos ocurre que un intervalo [Li− 1 , Li] tiene una frecuencia absoluta acumulada Ni = N 2 , entonces: (A) Me = ¯x (B) Me = Li (C) Todo falso (D) Me = Li− 1 (E) Me = Li−^12 +Li
- Si para una variable estad´ıstica cuantitativa centrada tenemos que a 2 (X) = −2, podemos afirmar que: (A) La media aritm´etica de esta variable tambi´en es negativa (B) Se trata de una distribuci´on con asimetr´ıa negativa (C) Se trata de una distribuci´on con poca dispersi´on (D) Se trata de una variable que toma valores negativos (E) Todo falso
- Si a partir de una variable estad´ıstica X definimos una nueva variable Y como Y = Xa− b, ¿cu´al de las siguientes afirmaciones es correcta?: (A) Todos los estad´ısticos de posici´on y de dispersi´on se ven afectados por los dos par´ametros a y b (B) Los estad´ısticos de posici´on se ven afectados s´olamente por el par´ametro a (C) Los estad´ısticos de dispersi´on, salvo g 0 , se ven afectados s´olamente por el par´a- metro a (D) Los estad´ısticos de posici´on se ven afectados s´olamente por el par´ametro b (E) Todo falso
Las dos pr´oximas cuestiones se refieren al siguiente enunciado. Se ha hecho un estudio sobre el precio, en miles de euros, de las viviendas en dos ciudades diferentes A y B, obteni´endose las siguientes tablas de resultados, {xi} e {yi} para A y B, respectivamente:
Precio (xi) No^ viv. Precio (yi) No^ viv. 300 34 250 50 250 38 150 78 170 56 120 82 140 72 70 130 100 100 40 160 300 500
Con los datos anteriores se han calculado los siguientes estad´ısticos: x¯ = 164, 3 y¯ = 99, 1 S^2 x = 4554, 17 S^2 y = 4086, 79
- Ante estos resultados, ¿cu´al de las siguientes afirmaciones consideras m´as adecuada?:
(A) Existe comparativamente mayor dispersi´on en la distribuci´on de los precios de las viviendas en la ciudad A (B) Son dos colectivos de diferente tama˜no, por lo que no son comparables (C) Existe comparativamente mayor dispersi´on en la distribuci´on de los precios de las viviendas en la ciudad B (D) Las dos distribuciones tienen igual dispersi´on (E) Todo falso
- ¿Cu´al de las siguientes afirmaciones es correcta?:
(A) Las viviendas de 250 mil euros son relativamente m´as caras en la ciudad B que en la ciudad A (B) Las viviendas de 250 mil euros son relativamente m´as caras en la ciudad A que en la ciudad B (C) − (D) No se pueden hacer este tipo de afirmaciones al ser distribuciones no compara- bles (E) Todo falso Las dos pr´oximas cuestiones se refieren al siguiente enunciado. En la siguiente tabla aparece la distribuci´on del gasto en tabaco al mes, correspon- diente a 130 personas con edad superior a 18 a˜nos.
gasto (decenas de euros) no^ de personas [0, 2) 23 [2, 3) 47 [3, 6) 60
(D) Se trata de un reparto muy equitativo (E) Se trata de una distribuci´on dispersa
- Para una distribuci´on con un ´ındice de concentraci´on igual a 0, ¿cu´al ser´a el valor de Qi siendo Pi = 30 %?: (A) 0 % (B) 10 % (C) No hay datos suficientes (D) 100 % (E) Todo falso Las dos pr´oximas cuestiones se refieren al siguiente enunciado. El siguiente diagrama de caja recoge la distribuci´on de la velocidad (Km/h) a la que circulaba un colectivo de 391 veh´ıculos en una carretera comarcal vizca´ına:
- Observando el diagrama podemos afirmar que:
(A)El 50 % central de los valores de la variable velocidad se encuentra, aproxima- damente, entre 125 y 200 Km/h. (B) El 25 % de los veh´ıculos que circulaban a menor velocidad est´a m´as disperso que el 25 % de los veh´ıculos que circulaban a mayor velocidad. (C)El primer cuartil es aproximadamente 200 Km/h. (D)La distribuci´on de la variable velocidad es asim´etrica por la derecha. (E)Todo falso.
- Supongamos que la velocidad m´axima permitida en este tramo era de 100 Km/h, entonces es cierto que: (A)Un veh´ıculo circulaba a menos de 25 Km/h. (B)La mitad de los veh´ıculos circulaban a m´as de 120 Km. (C)Ning´un veh´ıculo circulaba a m´as de 200 Km/h. (D)M´as de la mitad de los conductores respetaba el l´ımite de velocidad. (E)Todo falso.
Soluci´on a los problemas y cuestiones del Tema 1
Problemas
a) Diagrama de barras.
6
X
ni 10
b) ¯x = 4 d´ıas; Mo = 3 y 5 (bimodal); q 1 = 3 d´ıas, q 2 = Me = 4 d´ıas y q 3 = 5 d´ıas. c) g 0 (X) = 0, 44 d ) La media no var´ıa ya que los individuos no incluidos inicialmente tienen el mismo valor de X que la media, ¯x. Sin embargo, la dispersi´on de los datos ser´a menor, por lo que el coeficiente de variaci´on disminuye y la representatividad de la media aumenta.
- a) N = 80 es el tama˜no del colectivo objeto de estudio. X: salario mensual en euros es la variable a estudiar. La distribuci´on de frecuencias se representa en la siguiente tabla:
xi fi ni = 80fi Fi Ni ci hi [1500, 1560) 1530 0,15 12 0,15 12 60 0, [1560, 1600) 1580 0,15 12 0,30 24 40 0, [1600, 1680) 1640 0,25 20 0,55 44 80 0, [1680, 1740) 1710 0,20 16 0,75 60 60 0, [1740, 1800) 1770 0,15 12 0,90 72 60 0, [1800, 1860) 1830 0,10 8 1,00 80 60 0,
En la tabla no s´olo hemos obtenido las marcas de clase, frecuencias absolutas y relativas, sino que adem´as hemos obtenido las acumuladas, la amplitudes de intervalos y las alturas de los rect´angulos que forman el histograma. As´ı podemos realizar f´acilmente el apartado siguiente.
donde m 4 =
∑ 6 i=1(xi^ −^ 1667)^4 fi^ = 149725197. Se comprueba que el coeficiente de curtosis es negativo, lo que indica que se trata de una distribuci´on con forma platic´urtica, ´esto es m´as plana que la correspondiente normal N (1667, Sx = 93 ,543).
- a) Al ser una distribuci´on sim´etrica, f 2 = f 3. Por tanto, ¯x =
∑ 4 i=1 xifi^ = 5,5. b) f 1 = f 4 = 0,2 y f 2 = f 3 = 0,3. La representaci´on gr´afica adecuada de esta distribuci´on es el diagrama de barras.
6
X
fi 0 , 3
0 , 2
c) ¯y = 0,5; S y^2 = 1,05 y g 0 (Y ) = 2,049.
- Ampliamos la tabla del enunciado a˜nadiendo las marcas las clase, xi, las frecuencias relativas acumuladas, Fi, las amplitudes, ci y las alturas, hi, de cada intervalo:
xi fi Fi ci hi = f cii [0, 1) 0.5 0.1 0.1 1 0.1=h 1 [1, 3) 2 0.3 0.4 2 0.15=h 2 [3, 4) 3.5 f 3 0.4 + f 3 1 f 3 =h 3 [4, 6) 5 f 4 0.4+f 3 +f 4 2 f 24 =h 4 [6, 7) 6.5 f 5 1 1 f 5 =h 5
a) Planteamos un sistema de tres ecuaciones con tres inc´ognitas. La primera ecuaci´on es: 0,4 + f 3 + f 4 + f 5 = 1 La segunda ecuaci´on la obtenemos a partir de la media:
x =
∑^ k i=
xifi = 0,65 + 3, 5 f 3 + 5f 4 + 6, 5 f 5 = 3, 65
Y la tercera ecuaci´on a partir de la mediana:
Me = 3, 50 ∈ [3, 4) =⇒ Me = Li− 1 +
1 2 −^ Fi−^1 Fi − Fi− 1
ci = 3+
1 2 −^0 ,^4 f 3
1 = 3,50 =⇒ f 3 = 0, 2
Sustituyendo el valor de f 3 en las dos primeras ecuaciones y resolviendo el sistema de ecuaciones resultante obtenemos la soluci´on a este apartado: f 3 = f 4 = f 5 = 0, 2
b) Si el coeficiente de asimetr´ıa g 1 = 0, entonces, la distribuci´on es sim´etrica y deben cumplirse las siguientes relaciones entre las alturas de los intervalos: h 1 = h 5 =⇒ f 5 = 0,1 y h 2 = h 4 =⇒ f 4 = 0,3. Por tanto, f 3 = 0,2. Adem´as, la media y mediana coincidir´an con el valor que est´a en la mitad de la distribuci´on: ¯x = Me = 3500 e. c) Representaciones gr´aficas: histogramas.
Primer Caso
6
X
hi 0 , 2
Segundo Caso
6
X
hi 0 , 2
La diferencia entre ambos est´a en la asimetr´ıa. En el segundo caso, el gr´afico es sim´etrico, mientras que en el primero no (la media aritm´etica es mayor que la mediana, lo que indica cierta asimetr´ıa positiva). La distribuci´on de las rentas hasta 4000 euros es igual en ambos casos. En el primero, las rentas m´as altas vienen representadas por una superficie mayor y las comprendidas entre 4000 y 6000 euros tienen menor frecuencia que en el segundo caso. Por ello, en el primer caso hay mayor dispersi´on respecto a la media.
- La siguiente tabla recoge la distribuci´on de frecuencias de la variable X. Sus valores se simplifican sustancialmente si consideramos la transformaci´on lineal U = X − x 1 :
xi ui = xi − x 1 ni Ni x 1 0 1 1 x 2 = x 1 + 2 2 2 3 x 3 = x 1 + 4 4 3 6 x 4 = x 1 + 6 6 1 7 x 5 = x 1 + 8 8 1 8
a) Diagrama de barras.
19 − y¯ SY
Acabamos de comprobar que el valor tipificado en el caso de las Letras del tesoro es mayor que el valor tipificado del IBEX35, por lo tanto el rendimiento de las Letras ese mes destaca m´as en relaci´on al resto de observaciones que el del IBEX35.
- a) La persona m´as baja medir´a alrededor de 155 cm. Y la m´as alta alrededor de 198 cm. b) Aproximadamente 168 cm. c) Aproximadamente 180 cm. d ) Se pueden comentar muchas cosas como por ejemplo: En ambos casos la mediana est´a aproximadamente en 175 cm., de modo que en ambos casos la altura del 50 % de los individuos es menor o igual a 175 cm. Sin embargo el 50 % central de los valores de X est´a entre 168 cm. y 180 cm. mientras que el 50 % central de los de Y est´a entre 173 cm. y 180 cm. Los individuos “medianos” en el caso de los padres son un poco m´as altos que en el caso de los hijos. El 25 % de los valores m´as altos de X est´a entre 180 cm. y 198 cm., mientras que el 25 % de los valores m´as altos de Y est´an entre 180 cm. y 188 cm. De modo que los individuos m´as altos lo son m´as que los padres m´as altos. El recorrido de la distribuci´on altura es mayor que el de la distribuci´on altura del padre, por lo tanto la dispersi´on absoluta de la primera es mayor que la de la segunda. e) No, porque ninguno de los diagramas de caja posee datos at´ıpicos.
- a) 130 e.
b) IG = 0,2916.
- a) La distribuci´on de los perceptores seg´un la subvenci´on recibida se representa en la siguiente tabla:
xi fi Fi ci hi qi Qi F (^) i∗ [0,5;1,5) 1 0,4 0,4 1 0,4 0,16 0,16 0, [1,5;3,5) 2,5 0,4 0,8 2 0,2 0,4 0,56 0, [3,5;7,5) 5,5 0,2 1 4 0,05 0,44 1 0,
El histograma que representa la distribuci´on anterior es:
6
X
hi
Mo ∈ [0,5; 1,5).
b) La Curva de Lorenz es:
6
Fi
Qi
t
t
t
t
IG = 0, 336.
- a) Siendo a=Sud´africa, b=Espa˜na y c=Dinamarca
a a
a
a
a
a
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.
1.0 Lorenz curves
Fi
Qi
b
b
b
b
b
b
c
c
c
c
c
c
1.D 2.B 3.E 4.E 5.A
6.A 7.E 8.B 9.E 10.C
11.C 12.A 13.D 14.D 15.C
16.D 17.D 18.E 19.C 20.E
21.D 22.D
