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Estadística e incertidumbre
Objetivos
- Reconocer los parámetros estadísticos de metrología.
- Analizar los principios de la incertidumbre y los errores asociados a las mediciones.
- Utilizar instrumentos de medición en la recopilación de información de longitud y
masa.
- Calcular los diferentes tipos de incertidumbres y errores asociados a los diversos
tipos de medidas.
Marco teórico
1
Introducción
La humanidad siempre ha tenido la necesidad de medir. Esto es, conocer la
magnitud de una variable física de un objeto comparándolo con otro similar que le sirva de
patrón. Sin embargo, este proceso se complica debido a que los patrones de medida no son
fáciles de crear, ya que deben ser universal y de fácil reproducción.
Después de muchos año, en 1960 en Ginebra, Suiza, el mundo científico adopta el
Sistema Internacional de unidades (SI). En la tabla 1.1 se resumen las unidades
fundamentales y su respectiva definición.
Tabla 1.1 Unidades fundamentales del SI (Tomado de Welcome - BIPM. (s/f))
Cantidad física Unidad (símbolo) Definición actual
Longitud Metro (m)
El metro es la longitud del trayecto recorrido por la luz
en el vacío durante un intervalo de 1/299 792 458 de
segundo.
1
Parte de esta sección es una adaptación del texto original del profesor Randall Figueroa Mata, profesor de
la Escuela de Física de la Universidad de Costa Rica.
Cantidad física Unidad (símbolo) Definición actual
Masa Kilogramo (kg)
El kilogramo se define tomando el valor numérico fijo de
la constante de Planck como 6.62607015 x 10
cuando
se expresa en la unidad J s, que es igual a kg m
2
s
, donde
el metro y el segundo se definen en términos de c y Δν Cs
.
Tiempo Segundo (s)
El segundo es la duración de 9 192 631 770 periodos de
la radiación correspondiente a la transición entre los dos
niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de
cesio 133.
Temperatura
termodinámica
Kelvin (K)
El kelvin, unidad de temperatura termodinámica, es la
fracción 1/273.16 de la temperatura termodinámica del
punto triple del agua
Cantidad de
sustancia
Mol (mol)
El mol es la cantidad de sustancia de un sistema que
contiene tantas entidades elementales como átomos
hay en 0.012 kilogramos de carbono 12.
Cuando se emplea el mol, las entidades elementales
deben ser especificadas y pueden ser átomos, moléculas,
iones, electrones u otras partículas o grupos específicos
de tales partículas.
Corriente
eléctrica
Ampère (A)
El amperio es una corriente constante que, mantenida
en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud
infinita, de sección circular despreciable y situados a 1 m
de separación, en el vacío, produciría entre estos
conductores una fuerza igual a 2 x 10-7 newton por
metro de longitud.
Intensidad
luminosa
Candela (cd)
La candela es la intensidad luminosa, en una dirección
dada, de una fuente que emite una radiación
monocromática de frecuencia 540 x 1012 hertz y cuya
intensidad energética en dicha dirección es de 1/
watt por estereorradián.
Mediciones directas e incertidumbre asociada
La incertidumbre en una medida directa se determina como la mitad de la menor
división de la escala del instrumento si este es analógico. Por ejemplo, una regla cuya menor
división sea de un milímetro tiene una incertidumbre asociada de 0.5 mm. Si una persona
mide del ancho a de su cuaderno con una regla graduada en milímetros y obtiene que el
valor más probable del ancho es 150 .0 mm, a este valor está asociado una incertidumbre
de 0.5 mm. Esto significa que el ancho de la mesa está dentro del siguiente intervalo:
149.5 mm a 150.5 mm
A partir de la ecuación 2.1, la expresión anterior se puede expresar de la siguiente
manera:
a = 150.0 0 .5 mm
Es importante señalar que, en este particular, al número 0. 5 se le denomina
también error absoluto.
Cuando el instrumento es digital, la incertidumbre se determina como la menor
división. Por ejemplo, si un termómetro digital da una lectura de temperatura de 2 5. 3 °C
y el último dígito cambia de 0.1 en 0.1 °C, su incertidumbre asociada será de 0.1 °C. De
esta manera,
T = 25.3 0. 1 C
Mediciones indirectas y el método de propagación de errores
Para calcular la incertidumbre de una medición indirecta, es posible utilizar el
método de propagación de errores. Se denomina error relativo al cociente del error
absoluto con el valor más probable de la medición.
En forma general, si se tiene una función de tres variables ( x , y , z ) que involucra
multiplicación y división tal como
𝑛
𝑚
𝑝
donde k, n, m y p son constantes, la incertidumbre es igual a la suma de las incertidumbres
relativas de las variables medidas directamente, multiplicadas por la potencia asociada a
cada variable y el resultado de esto multiplicado por la magnitud f , es decir:
Finalmente, el error porcentual se define como el error relativo multiplicado por
- En este particular, es posible deducir que el error porcentual resultante de estas
operaciones es igual a la suma de los valores absolutos de los errores porcentaje de las
variables involucradas multiplicados por la potencia asociada a cada variable, tal y como lo
muestran las ecuaciones 2.4 y 2.5.
Mediciones indirectas y derivadas parciales
Otro método que se puede utilizar para calcular la incertidumbre de una medición
indirecta es el de derivadas parciales. Suponga que se tiene una variable z que depende de
las variables x y y, y que se expresa de la siguiente forma:
y en las cuales x y y solo tienen un valor, al valor de z, como ocurre en las medidas directas.
En este particular, es necesario asociar una incertidumbre ∆𝑧, que se determina a partir del
cálculo de la siguiente manera:
2
2
Es importante destacar que, si la función z depende de más variables, se sigue
planteando la derivada parcial de la función z, con respecto a las demás variables de las que
dependa ella.
Cifras significativas
Se conocen como cifras significativas aquellos dígitos que con certeza están dando
información correcta de una medición. Algunas reglas para la aplicación de las cifras
significativas son las siguientes:
- Todos los dí gitos diferentes de cero son significativos.
- Los ceros situados entre cifras significativas son significativos.
- Los ceros a la izquierda del primer dígito diferente de cero, no son significativos.
- Los ceros situados a la derecha son cifras significativas cuando se escribe el signo
decimal.
- Si un número no tiene signo decimal y termina con uno o más ceros, dichos ceros
pueden o no ser significativos. Para expresar que son significativos se recurre a
escribir el nú mero en notació n cientí fica.
- Los nú meros escritos en notació n cientí fica tienen tantas cifras significativas como
dí gitos existan en la cantidad asociada al coeficiente de la potencia base diez de la
expresió n.
Cuando se realizan sumas o restas, el resultado obtenido mediante la operaci ó n
debe contener el mismo nú mero de dí gitos después del signo decimal que el sumando que
menos contenga.
En el caso de multiplicació n, divisi ó n y exponentes, sean estos enteros o
fraccionarios, se debe reportar con el nú mero de cifras significativas de aquel valor que
contenga el menor nú mero de cifras significativas.
En cuanto a las incertidumbres, se deben de reportar con una sola cifra significativa.
Por ejemplo, si la medición de la aceleración de la gravedad da el siguiente valor: g = 9. 7824
0 .00524 m/s
2
, se debe escribir como g = 9. 782 0 .005 m/s
2
. De igual manera, si se obtiene
que un volumen es igual a V = 923 30 m
3
, se debe reportar como V = (9. 2 0 .3) 10
2
m
3
Es importante señalar que en ocasiones se puede hacer una excepción a la regla
permitiendo una segunda cifra significativa pero tiene que ser un 5 o un 0.
Redondeo de un resultado
Con frecuencia, el resultado que surge de un tratamiento de datos experimentales
contiene un nú mero de cifras mayor que el de las significativas. En este caso, es necesario
redondear tal n ú mero con el fin de obtener un resultado con el n ú mero de cifras
significativas acorde con la medida. Para este particular, se siguen 3 reglas específicas:
- Si el dí gito siguiente al ú ltimo lugar retenido es 0, 1, 2, 3 o 4 (seguido o no por otros
dí gitos), “consérvese” el valor del dí gito situado en el ú ltimo lugar retenido.
- Si el dí gito siguiente al ú ltimo lugar retenido es 5 (seguido de otros dí gitos no todos
cero) o 6, 7, 8 o 9 (seguido o no de otros d ígitos), “increméntese” el dí gito existente
en el ú ltimo lugar retenido, en una unidad.
- Cuando el dí gito siguiente al ú ltimo lugar retenido es un 5 y no hay dí gitos má s allá
de ese nú mero o son solamente ceros, “increméntese” en una unidad el dí gito en el
ú ltimo lugar a ser retenido si es impar, dejando el dí gito sin cambio si es par. Esta
regla se aplica también para valores positivos y negativos, considerando el “cero”
como dí gito par.
Errores en las mediciones
Se acostumbra y es conveniente dividir el error experimental en dos clases, debido
a la diferencia de índole y a los métodos de tratamiento.
Errores sistemáticos: se deben a diversas causas y son determinables y corregibles si se
sabe lo suficiente de la física del proceso. Se les llama sistemáticos porque son efectos
consistentes, es decir, son valores consistentemente muy altos o muy bajos, pero en general
es posible decir que afectan de igual forma en todos los casos, de ahí que sean corregibles.
Algunos ejemplos se enumeran a continuación.
- Defecto en el instrumento de medición : se produce por ejemplo, al determinar el
tiempo con un cronómetro que avance más rápido o más lento de lo debido.
Equipo
Tabla 2 .2 Equipo de laboratorio
N Descripci´on Número de parte Fabricante Cantidad
1 Cilindro, balín N/A N/A 1
2 Vernier N/A N/A 1
3 Micr´ometro N/A N/A 1
4 Masas varias (20 g, 50 g, 100 g) N/A N/A 6
5 Balanza N/A N/A 1
6 Computadora Personal, USB y Windows 10 N/A N/A 1
Procedimiento
- En esta práctica, se procederán a tomar mediciones directas e indirectas de algunas
variables físicas del cilindro sólido y del balín que encontrará en su mesa de trabajo.
Recuerde que debe seguir las reglas de las cifras significativas en el reporte de los
resultados.
- Haciendo uso del vernier, proceda a medir el diámetro del área de la base y la altura del
cilindro sólido. Colocando el instrumento de medición en distintos lugares de la
magnitud bajo prueba, repita 4 veces más esta medición. Además, realice 5 mediciones
de la masa del cilindro sólido colocándolo en la balanza digital según lo indica la figura
2.1. Anote sus resultados en la tabla 2. 3.
Figura 2.1 Posición de las cargas en la balanza digital
Tabla 2.3 Mediciones directas para el cilindro sólido
Medida
Diámetro
(m)
Altura
(m)
Masa
(kg)
- Haciendo uso del micrómetro, proceda a medir el diámetro del balín. Colocando el
instrumento de medición en distintos lugares de la magnitud bajo prueba, repita 4 veces
más esta medición. Además, realice 5 mediciones de la masa del balín colocándolo en
la balanza digital según lo indica la figura 2.1. Anote sus resultados en la tabla 2. 4.
Tabla 2.4 Mediciones directas para el balín
Medida
Diámetro
(m)
Masa
(kg)
Resultados
- Determine el valor de las incertidumbres del vernier, del micrómetro y de la balanza
digital.
- Con base en las mediciones obtenidas en las tablas 2.3 y 2.4, calcule el promedio, la
desviación estándar y la incertidumbre de la serie de datos. Consigne los valores
obtenidos en la tabla 2.5.
- Haciendo uso de la tabla 2.6, indique cual es el material más problable para el cilindro y
para el balín. Calcule el porcentaje de error para cada uno considerando como valor
teórico el consignado en la tabla 2.6.
Tabla 2.6 Valores de densidad para diversos materiales
Material Densidad (kg/m
3
) Material Densidad (kg/m
3
Aluminio 2700 Cobre 8900
Plomo 11300 Bronce 8600
Hierro 7800 Acero 7860
Cuestionario
- Al comparar la incertidumbre instrumental (punto 1 de la sección de resultados) con la
incertidumbre calculada en la serie de datos(punto 1 de la sección de resultados),
¿existió alguna diferencia? Explique.
- ¿Es significativo para los resultados obtenidos variar la posición de las cargas en la
balanza digital? Explique.
- ¿Cuáles son las causas del procentaje de error obtenido? Justifique con al menos 3
razones.
Referencias bibliográficas o electrónicas
Welcome - BIPM. (s/f). Bipm.org. Recuperado el 28 de marzo de 2023, de
http://www.bipm.org/en/measurement-units/base-units.html
