¡Descarga Valores z en distribución normal: puntuaciones al 80%, 76%, 20% central y 2% extremo - Pro y más Ejercicios en PDF de Estadística solo en Docsity!
1.- Tratándose de una distribución normal, indique cuales son los valores en puntuaciones z correspondientes a los siguientes enunciados:
a) Puntuación que deja por debajo de sí al 80% inferior de la distribución Solución : el 80% inferior equivale en proporciones a una proporción acumulada p = 0,80. Buscamos en la Tabla de Áreas de la Curva Normal cuál es el valor z que corresponde a esa proporción (o al valor más aproximado) y observamos que es z = 0,84 que es la respuesta que se solicita; (ver gráfico)
Z = 0,
80% inferior
b) Puntuación que es superada por el 76% de los casos de la distribución Solución : Si es la puntuación que es superada por el 76% de los casos, será la puntuación que deja por debajo al 24% restante y que en proporciones corresponde a la proporción 0,24. Buscamos en la Tabla de Áreas de la Curva Normal cuál es el valor z que corresponde a esa proporción (o al valor más aproximado) y observamos que es z = -0,71 que es la respuesta que se solicita; (ver gráfico)
24% inferior
Z = - 0 ,
d) Puntuaciones que delimitan al 2% extremo de la distribución Solución : las puntuaciones que delimitan al 2% extremo de la distribución serán las que comprenden al 98% central de la misma. Es decir, son las puntuaciones que dejan al 1% y al 99% por debajo (o en proporciones la puntuación z de la proporción 0,01 y la puntuación z de la proporción 0,99). Buscamos en la Tabla de Áreas de la Curva Normal cuál es el valor z que corresponde a la proporción 0,01 (o al valor más aproximado) y observamos que es z = -2,33. La z que corresponde a la proporción 0,99 (al ser simétrica) será la misma pero con diferente signo, es decir z = 2,33 (lo comprobamos en la tabla y observamos que efectivamente para una proporción de 0,99, la z es 2,33) que es la respuesta que se solicita; (ver gráfico)
99% inferior
1% inferior 1% superior
Z = -2,33 Z = 2 ,
- Si la muestra tiene 500 casos, indique el número de casos que superan la puntuación X= 60. Sabiendo que la distribución es normal y tiene de media 50 puntos y d.t. de 10. Solución : este planteamiento es al contrario de los anteriores; se ofrece una puntuación y hay que averiguar el nº de sujetos que obtienen puntuaciones superiores a esa (teniendo en cuenta que el límite de esa puntuación lo establece su límite real. Es decir, los sujetos que obtienen puntuaciones superiores a 60 son todos los que obtienen o pueden obtener puntuaciones por encima de 60,5). Para resolver pasamos la puntuación a z mediante su fórmula z = (puntuación – media)/desviación típica = (60,5-50)/10 = 1,05. Buscamos en la Tabla de Áreas de la Curva Normal cuál es el valor p que corresponde a la z = 1,05 y observamos que es p = 0,853149 (redondeando 0,85). Es decir, que obtienen 60 puntos o menos el 85% de los sujetos, luego obtienen más de 60 puntos el 15% restante. Como son 500 sujetos, el nº de casos que superan la puntuación 60 son: 0,15 x 500 = 75 que es la respuesta que se solicita; (ver gráfico)
X = 60,5 = z = 1,
0,146851 superior: N = 75 casos
0,853149 inferior
- Si en una distribución el valor que deja por debajo de sí al 80% de los casos de la muestra es X= 300 y el que deja por debajo de sí al 20% es 250, indique el valor de la media y la d.t. de esa distribución.
Solución : Como sabemos los porcentajes que dejan por debajo esas puntuaciones podemos saber sus valores z correspondientes y a partir de ahí y con la fórmula de z obtener media y desviación típica (en este caso la solución es más sencilla porque al ser simétricas las dos puntuaciones con respecto a la media, el cálculo de ésta es mucho más fácil):
Consultando la Tabla de Áreas de la Curva Normal, observamos que la p = 0,80 corresponde a una z = 0,84 (X = 300) y la p = 0,20 corresponde a una z = -0,84 (X=250).
Solución 1: Valor de la Media = (300 + 250) /2 = 275
Como sabemos que z = (Puntuación – Media) / Desviación Típica, despejamos con cualquiera de ellas la d.t. y obtenemos la solución:
Solución 2 : d.t. = (Puntuación – Media) / z = (300-275)/0,84 = 29,
P = 0,
X = 300 = z = 0, Media = 275 d.t. = 29,
X = 250 = z = -0,
P = 0,
5.- En un centro penitenciario con 1500 reclusos, la media de las condenas es de cuarenta y ocho meses, y el setenta y cinco por ciento de los internados cumple penas de 120 o menos meses. Si la distribución de penas se ajusta a una distribución normal, indique qué número de reclusos tiene penas comprendidas entre los dieciocho y veinticuatro meses, ambos inclusive.
Solución : Primera cuestión importante: Si ambos valores están incluídos hay que operar con sus límites reales inferior para 18 y superior para 24; es decir para X = 18, operaremos con l.r.i. = 17,5 y para X = 24 operaremos con l.r.s. = 24,5. Dicho esto, de lo que se trata es de calcular sus puntuaciones z para establecer con ellas las proporciones acumuladas correspondientes y, a partir de ahí, calcular el % de reclusos comprendidos entre ellas y convertir ese % en frecuencias absolutas (nº de reclusos). Para poder calcular esas puntuaciones z, dado que conocemos la media, necesitamos el valor de la d.t. y, para obtenerla nos fijamos en el dato de que la puntuación X = 120 (volvemos a operar con, en este caso, l.r.s. = 120,5) deja por debajo al 75% de los reclusos con lo que podemos obtener la z correspondiente y a partir de ahí, calcular la d.t.
75% implica una p = 0,75; consultando la Tabla de Áreas de la Curva Normal, observamos que la p = 0,75 corresponde a una z = 0,675 (casi equidistante entre 0,67 y 0,68).
Calculamos d.t.: sabiendo que 0,675 = (120,5 – 48)/d.t. despejamos d.t. = (120,5-48)/0,675 = 107,41.
Ahora ya solo tenemos que calcular las z de 17,5 y 24,5 y resolver:
z 1 = (17,5-48)/107,41 = -0,28 y z 2 = (24,5-48)/107,41= -0,
Consultando la Tabla de Áreas de la Curva Normal, observamos que la z = -0,28 deja por debajo una p = 0,3897 y que la z = -0,22 deja por debajo una p = 0,4129 con lo que la proporción entre ambas puntuaciones será 0,4129 – 0,3897 = 0,0232 o lo que es lo mismo, el 2,32% de los reclusos. Este porcentaje, en valores absolutos es de N = 1500 x 0,0232 = 34,8 reclusos, o sea 35. (ver figura)
X = 120,5 = z = 0,
X = 2 4,5 = z = - 0 ,
X = 1 7,5 = z = -0,
P = 0,
P = 0,
P = 0,
