Matemáticas Empresariales: Matrices, Vectores y Determinantes, Apuntes de Estadística

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MATEMÁTICAS EMPRESARIALES (ULL)

MATRICES Y DETERMINANTES MATEMÁTICAS

PROF. 13-

Tema 1 Matrices, vectores y determinantes.

Matrices.

Una matriz A es un conjunto de números ordenados por filas y columnas. Un elemento aij de una matriz A se identifica con dos subíndices i y j que indican que es el elemento de A que se encuentra en la fila i y en la columna j. El orden de una matriz A es el número de filas por el número de columnas de dicha matriz, es decir, es el tamaño de la matriz. Se llama M (^) m x n al conjunto de todas las matrices de orden m x n, es decir, que tienen m filas y n columnas.

Una matriz cuadrada es una matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se llama M (^) n al conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n x n. La diagonal de una matriz cuadrada es el conjunto de los elementos que tienen los dos subíndices iguales. Una matriz cuadrada es triangular superior si aij = 0 para todos aquellos elementos en los que se cumple que i > j Una matriz cuadrada es triangular inferior si aij = 0 para todos aquellos elementos en los que se cumple que i < j La familia de matrices identidad I son un conjunto de matrices cuadradas en las que los elementos de la diagonal aii valen 1 y el resto de los elementos aij con i ≠ j valen 0.

Una matriz se dice que es rectangular cuando no es cuadrada. Una matriz fila es aquella cuyo orden es 1xn. Una matriz columna es aquella cuyo orden es mx1.

Operaciones con matrices.

Suma de matrices

Sólo se pueden sumar matrices del mismo tamaño. Si A+B = C entonces cij = aij + bij La suma de matrices tiene las propiedades

• Asociativa. (A+B)+C = A+(B+C)
• Conmutativa. A+B = B+A
• Elemento neutro. A+O = O+A siendo O una matriz del mismo tamaño que A cuyos elementos son todos iguales a cero y a la que se le denomina matriz nula.
• Elemento simétrico. A+ (-A) = (-A)+A = O siendo –A la matriz que se obtiene cambiando el signo a todos los elementos de A.

Producto de un número real por una matriz

Para multiplicar un número real α por una matriz A basta con multiplicar cada elemento de la matriz por el número. Si α·A = C entonces cij = α·aij

Combinación lineal de vectores

Se dice que un vector v es combinación lineal de un conjunto de vectores {v 1 ,v 2 ,…, vn } si v se puede poner como la suma de los otros vectores multiplicados por números reales α 1 , α 2 ,… αn. v = α 1 ·v 1 + α 2 ·v 2 +… αn·vn

Dependencia e independencia lineal de vectores

Se dice que un conjunto de vectores son linealmente independientes si ninguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los otros vectores. Y son linealmente dependientes si alguno de los vectores se puede poner como combinación lineal de los otros.

Rango de una matriz

Consideremos que cada fila de una matriz es un vector. Se llama rango de una matriz al número de sus filas que son independientes.

Transformaciones de la matriz que conservan el rango

Al realizar las siguientes transformaciones la matriz que se obtiene tiene el mismo rango que la original.

• Intercambiar dos filas.
• Multiplicar una fila por un número real distinto de cero.
• Añadir a una fila una combinación lineal de otras filas.
• Eliminar una fila de ceros.
• Eliminar una fila que sea combinación lineal de otras filas.
• Eliminar una fila que sea igual a otra fila.
• Eliminar una fila que sea proporcional a otra. Todas estas transformaciones también se pueden hacer con columnas.

Método de triangulación de Gauss

Paso1. Se intercambian filas para conseguir que a 11 ≠ 0. La primera fila queda fija. Se añade a cada una de las otras filas una combinación de la primera fila para conseguir que todos los elementos de la primera columna menos el primero sean cero.

f 2 → f 2 +α·f 1 f 3 → f 3 +β·f 1 f 4 → f 4 +γ·f 1

fm→ fm+δ·f 1

Paso 2. Se intercambian filas para conseguir que a 22 ≠ 0. La segunda fila queda fija. Se añade a cada una de las otras filas, (todas menos la primera y la segunda que ya están fijas), una combinación de la segunda fila para conseguir que todos los elementos de la

segunda columna sean cero menos el primero y el segundo que están fijos y pueden tener cualquier valor.

f 3 → f 3 +ε·f 2 f 4 → f 4 +τ·f 2

fm→ fm+φ·f 2

Paso 3. Se intercambian filas para conseguir que a 33 ≠ 0. La tercera fila queda fija. Se añade a cada una de las otras filas que no son fijas, una combinación de la tercera fila para conseguir que todos los elementos de la tercera columna sean cero menos el primero, el segundo y el tercero que están fijos y pueden tener cualquier valor.

f 4 → f 4 +σ·f 3

fm→ fm+λ·f 3

Nota. Se repite hasta llegar a la última fila de la matriz. Se busca una matriz triangular superior y para ello se aplican las transformaciones que conservan el rango.

Determinantes de matrices cuadradas

Sólo se pueden calcular determinantes de matrices cuadradas. El valor de un determinante de 2x2 es a 11 · a 22 – a 12 · a 21 El valor de un determinante de 3x3 es a 11 · a 22 · a 33 + a 21 · a 32 · a13 + a 12 · a 23 · a 31 - a 13 · a 22 · a 31 - a 11 · a 23 · a 32 - a 12 · a 21 · a 33 El valor del determinante de una matriz triangular superior es el producto de los elementos de su diagonal. Los determinantes de matrices de mayor orden se calculan aplicando transformaciones para pasar a determinantes de 3x3 o a matrices triangulares superiores.

Transformaciones que se aplican a los determinantes.

• Al intercambiar dos filas el determinante cambia de signo.
• Al multiplicar una fila por un número real distinto de cero el determinante queda multiplicado por ese número.
• Al añadir a una fila una combinación lineal de otras filas el determinante no varía.

Propiedades

• Si un determinante tiene una fila de ceros el determinante vale cero.
• Si un determinante tiene una fila que sea combinación lineal de otras filas el determinante vale cero.
• Si un determinante tiene una fila que sea igual a otra fila el determinante vale cero.
• Si un determinante tiene una fila que sea proporcional a otra el determinante vale cero.
• El determinante de At^ es igual al determinante de A
• El determinante de A·B es igual al producto del determinante de A por el determinante de B.
• El determinante de k·A es igual a kn^ por el determinante de A.

Todas estas transformaciones y propiedades también son válidas con columnas.

Llamamos matriz inversa de una matriz cuadrada regular A y se denota A-1^ a la matriz que se obtiene A-1^ = (1/ |A|) · A*

Se cumple que A· A-1^ = I A-1^ ·A = I

Las propiedades de la inversa de una matriz son:

• La inversa de la inversa es ella misma. (A-1)-1=A
• La inversa de la identidad es la identidad. I-1^ = I
• La inversa de un número real por una matriz es el producto de la inversa de la matriz por 1 dividido por el número. (α·A)-1= (1/α)·A-
• La inversa del producto es el producto de las inversas cambiadas de orden. (A·B)-1^ = B-1· A-
• La inversa de la traspuesta es igual a la traspuesta de la inversa. (At)-1= (A-1)t
• El determinante de la inversa de una matriz es un número y vale 1 dividido por el determinante de la matriz. Det(A-1) = 1/ Det(A)

No existe la inversa de la suma. No es la suma de las inversas. (A+B)-1^ ≠ A-1+ B-