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Ejercicios 3.3 Pag. 95
- Indique si las siguientes variables aleatorias son discretas o continuas y su rango de deÖnicion
a)El numero de bytes defectuosos en el disco duro de una computadora de 100 Gb RESPUESTA: Es una variable aleatoria discreta el rango de deÖnicion se de 0 hasta 10 millones de bytes defectuosos 0 x 10 millones b)La distancia de lanzamiento de la jabalina por un atleta RESPUESTA:es una variable aleatoria continua y el rango deÖnido esta entre 0 x maximo de de los lanzamienos c)El numero de goles que anota un equipo en un partido RESPUESTA:es una variable aleactoria discreta ya que esta deÖnido el numero de goles del partido , el rango establecido es de 0 hasta el maximo de goles del equipo d)La cantidad de dinero, en dolares,ganada(o perdida) por un apostador RESPUESTA:es una variable aleatoria discreta y el rango esta deÖnido por la contidad de dolares que posee el sujeto e)El tiempo de uso diario de una computadora RESPUESTA: es una variable aleatoria continua y el rango deÖnido es desde 0 hasta 24 horas por que se trata de uso diario f)El tiempo de espera de un autobus en la parada RESPUESTA:es una variable aleactoria continua y el rango de deÖnido es de 0 hasta el maximo de llegada de una autobus g)El numero de aÒos que sobreevive una personaa la muerte de su conyugue ; RESPUESTA: es una variable aleatoria discrea puesto que se restringe a solamente aÒos el rango deÖnido desde la muerte del conyugue hasta la merte del individuo h)La variacion en el tiempo de sueÒo de una persona sometida aun tratamiento. RESPUESTA: es una variable aleatoria continua puesto que si implica el tiempo una variable con- tinua
2.Indique al menos tres variables aleatorias discretas y tres variables aleatorias continuas. EspeciÖque su rango de deÖnicion
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Lanzamiento de un dado esta deÖnido el rango del 1 al 6 Lanzamiento de tres monedas el numero de caras optenidas el rango esta deÖnido por las diversas combinaciones desde el 0 al 3 El numero de llamadas que recibe una centra por las maÒanas el rango es de 0 hasta el maximo de llamadas establecidos VARIABLE ALEATORIA CONTINUA El tiempo de vida de un procesador rango esta deÖnido desde 0 hasta el maximi de vida dado por el fabricante El tiempo de espera para ejecutarce de un progrma en un ordenador puede variar deacuerdo al ordenador El tiempo de vida de un ser humano en una region
- Se arroja un dado y se designa por A={Èl numero de los puntos aparecido es par }y por B= {el numero de los puntos aparecidos se divide por 3}.Para lo eventos , halle la ley de distribucion y graÖque
Solucion
" =lanzamiento de un dado = f 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 g A = f 2 ; 4 ; 6 g P (A) = (^12) B = f 3 ; 6 g P (B) = (^13) Ley de probabilidades x f 1 ; 5 g A \ B A B
P
P (X = x) 13 16 12 13 1 Ley de distribucion x f 1 ; 5 g A B P (X = x) 13 23 1
- Determine la funcion de distribucion de la variable aleatoria C que esta deÖnida por la ley que se presenta en la tabla
X -2 0 2
p 3 P 1/4 2/3 1/ Solucion: F ( 2) = P ( 2) = 1= 4 F (0) = P ( 2) + P (0) = 1=4 + 2=3 = 11= 12 F (
p
- = P ( 2) + P (0) + P (
p
- = 1=4 + 2=3 + 1=12 = 1 Funcion de distribucion
F (X) =
0 ,x < 2 1 = 4 ,-2 x < 0 11 = 12 ,0 x <
p 3 1 ,x
p 3
- Un escritor ha lanzado al mercado una nueva novela. La probabilidad de que la novela sea muy exitosa es de 0.6, de que sea mediamente exitosa es 0.3 y que sea un fracaso es 0.1. los beneÖcios esperados son : si la novela es muy exitosa 100 mil dolares;si la novela es moderadamente exitosa, 50 mil dolares; y su es un fracaso, 10 mil dolares, Forme la ley de distribucion de los beneÖcios esperados por el escritor.
Solucion ley de probabilidades x 10 mil 50 mil 100 mil P (X = x) 0 : 1 0 : 3 0 : 6 ley de distribucion probabilistica F (10mil) = P (10mil) = 0: 1 F (50mil) = P (10mil) + P (50mil) = 0:1 + 0:3 = 0: 4 F (100mil) = P (10mil) + P (50mil) + P (100mil) = 0:1 + 0:3 + 0:6 = 1
F (X) =
0 ,x < 10 mil 0 : 1 , 10 mil x < 50 mil 0 : 4 , 50 mil x < 100 mil 1 ,x 100 mil
6.Una agencia automotrizz recibe un embarque d 20 automoviles nuevos; entre estos,2 tienen defectos. la agencia debe selecionar, aleatoriamente, 3 automoviles de entre los 20 para venderlos Forme la ley de distribucion de la variable aleatoria numero de carros defectuosos entre los escogidos. Solucion
Solucion a) 1 = 1 k 2 + 2 k 2 + 3 k 2 + 4 k 2 + 5 k 2 1 = k 1 + k 4 + k 9 + 16 k + 25 k 1 = 52693600 k 3600 52693600 =^ k 5269 25 =^
144 5269 x 1 2 3 4 5 P (X = x) 36005269 5269900 5269400 5269225 5269144 P (1 < x 4) = F (4) F (1) = 51255269 36005269 = (^15255269)
- La funcion de probabilidad F de una variable aleatoria X es aula salvo en los punto t =0,1 y 2. En ellos tomanvalores :
f ( 0 ) = 4c^2 ; f ( 1 ) = 4c 10c^2 ; f ( 2 ) = 4c 1
para cierto valor de c
a) Determine el valor de c f (0) + f (1) + f (2)+ = P ( ) 4 c^2 + 4c 10 c^2 + 4c 1 = P ( ) 4 c^2 + 4c 10 c^2 + 4c 2 = 6 c^2 + 8c 2 , Solution is: 1 ; (^13) f (0) = 4(1=3)^2 ; f (1) = 4(1=3) 10(1=3)^2 ; f (2) = 4(1=3) 1 f (0) = 4(1=3)^2 = (^49) f (1) = 4(1=3) 10(1=3)^2 = (^29) ; f (2) = 4(1=3) 1 = (^13) b)Calcule : P (X < 1):P (X < 2); P (0 < X < 3) P (X < 1) = F (1) = 49 + 29 = (^23) P (X < 2) = F (2) = 49 + 29 + 13 = 1 P (0 < X < 3) = F (3) F (0) = 1 49 = (^59)
- Una variable aleatoria X se dece que sigue la ley de benford si se cumple que:
P(X = k) = log 10 ( 1 + (^1) k ); k = 1 ; 2 ; :::; 9 a) VeriÖque que es una funcion de probabilidad; log 10 (1 + 11 ) + log 10 (1 + 12 ) + log 10 (1 + 13 ) + log 10 (1 + 14 ) + log 10 (1 + 15 ) + log 10 (1 + 16 ) + log 10 (1 + 17 ) + log 10 (1 + 18 ) + log 10 (1 + 19 ) = 1 como la suma de todas la probabilidades es uno entonces en una funcion de probabilidad b)Calcule la probabilidad de optener numero impar P (X = impar) = log 10 (1 + 11 ) + log 10 (1 + 13 ) + log 10 (1 + 15 ) + log 10 (1 + 17 ) + log 10 (1 + 19 ) = log 10 2 log 10 3 + log 10 4 log 10 5 + log 10 6 log 10 7 + log 10 8 log 10 9 + 1 = 0:608 90
15.- Dada la funciÛn de distribucion de una variable aleatoria X.
f (x) =
0 ; si x < 0; 1 41 ;^ si^0 ^ x <^ 1; (^3) x ;^ si^1 ^ x <^ 2; 6 ;^ si^2 ^ x <^ 4; (x 2) 3 ;^ si^4 ^ x <^ 5; 1 si x 5;
Calcular las probabilidades: (a) P r(1 x 5); (c) P r(0 < x < 3); (b) P r(2 < x 4); (d) P r(4 x < 6);
(a) P r(1 x 5) = F (5) F (1) + P r(x = 1) = 1 13 + 14 = (^1112)
(b) P r(2 < x 4) = F (4) F (2) = x 3 2 x 6 = 16 x (^23)
(c) P r(0 < x < 3) = F (3) F (0) + P r(x = 3) = x 6 0
(^) x 6 ^
1 3
(d) P r(4 x < 6) = F (6) F (1) + P r(x = 4) P r(x = 6) = 1 13 + ( x 3 2 x 6 ) 1 = 16 x 1
16.- Se tiene la funcion de distribucion de una variable aleatoria deÖnida por:
f (x) =
0 ; si x <
p 2; 1 8 ;^ si^
p 2 x < 0; 2 51 ;^ si^0 ^ x <^ 1; 2 ;^ si^1 ^ x <^
p 2; 3 4 ;^ si^
p 2 x < 52 ; 1 si x 52 ;
Determine la funciÛn de probabilidad asociada y grafÌquela.
f (
p
- = P r(x =
p
- = 18 0 = (^18) f (0) = P r(x = 0) = 25 18 = (^1140)
f (1) = P r(x = 1) = 12 25 = 101
f (2) = P r(x = 2) = 34 12 = (^14)
f ( 52 ) = P r(x = 52 ) = 1 34 = (^14)
k
p (^2 0 1 2 ) P (x = k) (^1811401011414)
17.- La funciÛn de densidad de una variable aleatoria X esta deÖnida mediante
f (x) =
0 ; si x 6 ; 3 sen 3 x; si 6 < x 3 ; 0 ; si x < 3 ;
(a) Halle la funciÛn de distribuciÛn F; (b) Determine: P r(X = 0:2); P r(X 4 ); P r(X 3 ); P r( 12 X > )
(a) Si x 6 ; f (x) = 0 entonces: F (x) =
R (^) x 1 0 dt^ = 0
Si 6 < x 3 ; f (x) = 3sen 3 t entonces:
F (x) =
R 6
1 0 dt^ +^
R (^) x 63 sen^3 tdt^ = [ 9 cos 3t] x 6 = 9 cos^
2 ^ 9 cos 3x
Si x > 3 ; f (x) = 0 entonces:
P r(X 13 ) = Pr( 13 ) = 4
P r(jXj < 14 ) = 1 Pr( 14 ) = 1 0 = 1
19.- Considere una variable aleatoria continua Z con densidad de probabilidad
f (z) =
(1 + b)zb^ si z 2 [0; a] ; 0 ; si z no pertenece [0; a] ;
(a) Calcule los valores de los parametros a y b sabiendo que Pr
z (^12)
(b) Encuentre la funciÛn de distribuciÛn de Z.
20.- Una variable aleatoria X tiene por funciÛn de distribuciÛn a
f (x) =
0 ; si x < 2; ax + b; si 2 x 2; 1 ; si x > 2;
(a) Determine los valores de a y b (b) Encuentre la densidad f ; (c) Halle: P r(X < 0); P r(jXj < 1 :5); P r(jXj > 1 :2)
(a) VeriÖquemos que
R 1
1 f^ (x)dx^ = 1^ ,^ osea^
R 1
1 ctd(x) = 1 Entonces: (^) R 2 1 0 d(x)+^
R 2
2 (at^ +^ b)d(t) +^
R 1
2 1 d(t) = 1 h a( t
2 2 )
i 2 2
4 a 2 ^
4 a 2 + 2b^ + 2b^ + 0^ ^ 2 = 1 4 b = 3
b = (^34) Entoces a puede tomar cualquier valos de los R y b = (^34)
(b) P r(X < 0) = F (0) Pr(X = 0) = at + b 0 = at + 34 donde a 2 R
P r(jXj < 1 :5) = F (1:5) Pr(X = 1:5) = at + b 0 = at + 34 donde a 2 R
P r(jXj > 1 :2) = 1 F (1:2) = 1 at + b = 1 at 34 = 14 at donde a 2 R
21.- El tiempo en minutos que una persona espera un autob˙s es una variable aleatoria cuya funciÛn de densidad viene dada por las fÛrmulas : f (t) = 12 para 0 t < 1 ; f (t) = 16 para 1 t < 4 ;
f (t) = 0 para los dem·s valores de t. Calcule la probabilidad de que el tiempo de espera sea: (a) mayor que un minuto;
(b)menor que dos minutos; (c) mayor que tres minutos.
22.-Los registros de ventas diarias de una empresa que comercializa computadoras muestran que vender·n 0,1 o 2 computadoras de acuerdo a la siguiente tabla:
No. de ventas 0 1 2 Probabilidad 0.7 0.2 0.
(a) Determine la distribuciÛn de probabilidad de X, el n˙mero de ventas; (b) Calcule la probabilidad de que al menos se realice una venta en el dÌa.
F (0) = p0 = 0: 7 F (1) = p0 + p1 = 0:7 + 0:2 = 0: 9 F (2) = p0 + p1 + p2 = 0:7 + 0:2 + 0:1 = 1
Con esto la funciÛn de distribuciÛn de X, es:
f (x) =
0 si x < 0 0 : 7 ; si 0 x < 1 ; 0 : 9 ; si 1 x < 2; 1 ; si x 2;
b) La probabilidad de que al menos se realice una venta en el dÌa: P (X 1) = P (1 X 2) = F (2) F (1) + P (X = 1) = 1 0 :9 + 0:2 = 0: 3
23.- Un blanco circular de radio 1 se divide en 5 anillos circulares por medio de 5 discos concÈntricos de radios: 15 ; 25 ; 35 ; 45 y 1. Un jugador lanza un dardo al blanco, si el dardo alcanza el anillo circular comprendido entre los cÌrculos de radios k 5 y k+1 5 , (k = 0; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ), tiene k puntos y gana 5-k dolares. Determine las distribuciones de probabilidad:
(a) del puntaje del jugador; (b) de la ganancia del jugador.
(a)F( 0 )= (^15) F( 1 )= 15 + 25 = (^35) F( 2 )= 25 + 35 = 1 F( 3 )= 35 +
24.- Una empresa alquila el tiempo de cÛmputo de un tipo especial de computadora a una universidad. La empresa debe planear su presupuesto, por lo que ha estudiado el tiempo de empleo de la computadora. El tiempo semanal de alquiler (en horas ) sigue la funciÛn de densidad dada por:
(a) Determine la funciÛn de distribuciÛn del tiempo de empleo de la computadora; (b) Calcule la probabilidad de que el tiempo de uso de la computadora, en una semana, sea mayor que 2 horas; (c) ø Cu·nto tiempo de alquiler se debe presuponer por semana si esta cifra solo se puede rebasar con una probabilidad de 0.1?
P r(x = 300) = F (300) F (300)_ = 92 0 = (^92)
P r(150 x 450) = F (450) F (150) + P r(X = 150) = 92 + 83 92 = (^83)
(c) A y B son independientes pues en i) nos dice un valor exacto mientras que en ii) nos dice un rango de valores.
26.- La cantidad en gramos de fertilizante quÌmico que una planta puede recibir en una variable aleatoria cuya funciÛn de densidad es:
f (x) =
(^3) x(8 x) 256 si^ x^2 [0;^ 8] ; 0 ; caso contrario
(a)Halle la probabilidad de que la planta reciba menos de 3 gramos (b)Si la planta muere si recibe m·s de 6 gramos øCu·l es la probabilidad de que la planta muera por exceso de fertilizante?
Si 0 > t; f (x) = 0d(t)entonces: F (x) =
R 0
1 0 dt^ = 0
Si 0 x 8 ; f (x) = 3 x(8 256 x) entonces: F (x) =
R 0
1 0 dt^ +^
R 8
0
3 t(8 t) 256 dt^ =^
3 256
R 8
0 8 t^ ^ t
(^2) dt = 3 32
h t^2 2
i 8 0
h t^3 3
i 8 0
Si x < 8 ; f (x) = 0 entonces: F (x) =
R 1
8 0 dt^ = 0 (a)P r(x < 3) = F (3) P r(X = 3) = F (3) F (3) F (3)_ =
R 3
3 t(8 t) 256 dt^ =^
27 64 ^
27 256 =^
81 256 = 0:^32
(b)P r(x > 6) =
R 6
0
3 t(8 t) 256 dt^ =^
3 256
R 6
0 8 t^ ^ t
(^2) dt = 3 32
h t^2 2
i 6 0
h t^3 3
i 6 0
27.-Se extrae una bolita al azar de un bolillero que contiene 3 bolitas numeradas de 1 a
- Llamamos X al n˙mero de la bolita extraida. Una vez conocido el valor de X, extraemos una nueva bolita al azar de otro bolillero que contiene 4-X bolitas numeradas de X a 3 (por ejemplo: si X=2, la segunda bolita se extrae de un bolillero que contienedos bolitas con el n˙mero 2 y 3 )Llamamos Y al n˙mero de la bolita extraida en el segundo bolillero.
(a)Calcule Pr(Y = 3jX = 1); (b)Calcule Pr(Y=3) (c)øSon X y Y independientes? JustiÖque (d)Halle la distribucion de probabilidad de Y.
(a)P r( Y X^ =3=1 ) =
R (^3) (^2) R 4 1 tdt 0 dt^
h (^) t 2 2
i 3 h 2 t 22 i^1 0
(c)X y Y si son independientes pues
28.-Una variable aleatoria X tiene densidad
f (t) =
1 si x 2 [0; 1] ; 0 ; si x 2 [0; 1] ;
a) Si Y = X2, halle la funciÛn de distribuciÛn de Y ; b) Calcule las probabilidades: Pr( 161 < x^2 < 19 )y Pr( 18 < Y < 56 )
a) Primero encontremos la funcion de distribuciÛn F(x), Utilizando la fÛrmula: F(x) =
R (^) x 1 f^ (x)dx^ = 1 Si x < 0 ; f (x) = 0, de manera que: F (x) =
R (^) x 1 0 dx^ = 0 Si 0 x 1 ; f (x) = 1, entonces F (x) =
R 0
1 0 dx^ +^
R (^) x 0 1 dx^ =^ x Si x 1 ; f (x) = 0; entonces:
F (x) =
R 0
1 0 dx^ +^
R 1
0 1 dx^
R 1
1 0 dx^ = 1 La funciÛn de distribucion es:
F (x) =
0 si x < 0 x; si 0 x 1 ; 1 ; si x > 1;
Si Y = X^2 se tiene que x = p y es decir:
FY (y) =
p^0 si^ x <^0 y; si 0 x 1 ; 1 ; si x > 1;
(b)Para calcular las probabilidades utilizaremos FY (y)
P r( 161 < x^2 < 19 ) = FY ( 19 ) FY ( 161 ) =
q 1 9
q 1 16 =^
1 12
P r( 18 < Y < 56 ) = FY ( 56 ) FY ( 18 ) =
q 5 6
q 1 8 = 0:^559
29.Una variable aleatoria X tiene una funciÛn de densidad
f (x) =
2 si z^2 [^ ^1 ;^1 0 si z 2 ] 1; 1 ] [ [ 1; + 1 [
Hallar la ley de variable T=-5Z
30.Una variable aleatoria X tiene una funciÛn de densidad
f (x) =
4 si x^2 [^ ^2 ;^2 ] 0 si y 2 ] 1; 2 ] [ [ 2; + 1 [
Hallar la probabilidad Pr(X^2 < 1 )
Pr(X^2 < 1 ) =
R 1
2
1 4 dx+^
R 2
1
1 4 dx^ =^
1 4 xj
1 2 +^
1 4 jx
2 1 = 0
31.Una variable aleatoria Y esta distribuida segun la ley
f (y) =
3 si y^2 [^ ^1 ;^2 ] 0 si y 2 ] 1; 1 ] [ [ 2; + 1 [
Hallar la ley de variable U=Y^2
Como g(x) =y^2 no es estrictamente creciente. Por deÖniciÛn se tiene Fy(U) = Pr(U t) = Pr(Y^2 t)=
3.-øExiste una variable aleatoria X tal que cumple que E(X-2) = 8 y que E((X+1)^2 ) = 120?
E(X)-E(2)=8 E((X+1)^2 )=E(X^2 ) + 2E(X)+E(1)= E(X)=6 E(X^2 ) = 120 2(6) 1 E(X^2 ) = 107
4.-Si X s una variable aleatoria con E(x)=50 y Var(x)=15. Encuentre:
a)E(X^2 )
Var(X)= E(X^2 ) (E(x))^2 15=E(X^2 ) 502 E(X^2 ) = 2565 b)E( X)
E( X) = 1(E(X)) E( X) = 50 c)V ar( X)
V ar( X) =E(X^2 ) (E(-x))^2 V ar( X) = 2565 2500 V ar( X) = 15
d) a( 2 X)
V ar( 2 X) =E(X^2 ) (E(-x))^2 4 V ar( X) = 60 a =
p 60 = 2
p 15
e)E(3X + 10) E(3X + 10) = 3 E(X) + E(10) E(3X + 10) = 3(50) + 10 E(3X + 10) = 160 f )V ar(3x + 10) V ar(3X + 10) = 9 E(X^2 ) + 60E(X) + 10 1602 V ar(3X + 10) = 9(2565) + 69(50) + 10
V ar(3X + 10) = 945
5.-Sean X,Y,Z tres variables aleatorias independientes, cada una con media u y varianza u^2.
a)Encuentre la esperanza y la varianza de S=X+Y+Z
E(S) = E(X + Y + Z)
E(S) = E(X) + E(Y ) + E(Z) E(S) = U + U + U
E(S) = 3U
V ar(S) = V ar(X + Y + Z)
V ar(S) = V ar(X) + V ar(Y ) + V ar(Z)
V ar(S) = 3U 2
b)Encuentre la esperanza y la varianza de T=3X E(T ) = E(3X)
E(T ) = 3 E(X) E(T ) = 3U
V ar(T ) = V ar(3X)
V ar(T ) = 9V ar(X)
V ar(T ) = 9U 2
c)Encuentre la esperanza y la varianza de A= X+Y 3 +Z E(A) = E((X + Y + Z)=3)
E(A) = 1 =3(E(X) + E(Y ) + E(Z)) E(A) = 1 =3(U + U + U )
E(A) = 3U= 3
E(A) = U
V ar(A) = 19 V ar(X + Y + Z) V ar(A) = 13 U 2
d)Encuentre la esperanza y la varianza de S^2 y de A^2
E(A^2 ) = E(((X + Y + Z)=3)^2 )
E(A^2 ) = 19 (E(X)^2 + E(Y )^2 + E(Z)^2 + 2E(X)E(Y ) + 2E(X)E(Z) + 2E(Y )E(Z)) E(A^2 ) = 19 (U 2 + U 2 + U 2 + 2U 2 + 2U 2 + 2U 2 )
E(A^2 ) = U 2
E(S^2 ) = V ar(S) V ar(S) E(S^2 ) = 3U 3 U
E(S^2 ) = 9U 2
V ar(A^2 ) = V ar(A) V ar(A) V ar(A^2 ) = 13 U 2 13 U 2
V ar(A^2 ) = 19 U 4
V ar(S^2 ) = V ar(A) V ar(A) V ar(S^2 ) = 3U 2 3 U 2
c) f (x) =
2 x si x 2 [ 0 ; 1 ] 0 si x 2 ] 1; 0 ] [ [ 1; + 1 [
d) f (x) =
22 (x
(^2) + 8x + 12) si x 2 [ 5 ; 3 ] 0 si x 2 ] 1; 5 ] [ [ 3 ; + 1 [
e) f (x) =
C
X si x^2 [^1 ;^2 ] 0 si x 2 ] 1; 1 ] [ [ 2; + 1 [
8.-Una variable aleatoria X toma los valores 4,6 y a con probabilidades Pr(X=4) =0, Pr(X=6)=0, y Pr(X=a)=p. Se sabe que la esperanza de X es igual a 6, halle los valores de a y p
X 4 6 a p 0,3 0,5 p p=1-0,3-0,
p=0,
E(X)=(4)(0,3)+(6)(0,5)+(a)(0,2)
6=1,2+3+0,2a a=
9.Halle la varianza de una variable aleatoria Z que solo puede tomar dos valores, el uno el doble del otro,con la misma probabilidad, si se sabe que P(Z)=0,
Z 2a a p 0,9 0,
E(X)=2a(0,9)+a(0,1) E(X)=1,9a E(X^2 )=(2a)^2 (0,9)+a^2 (0,1) E(X^2 )=4,6a^2
Var(X)=E(X^2 )-(E(X))^2 Var(X)=4,6a^2 (1; 9 a)^2 Var(X)=0,99a^2
- La variable aleatoria discreta X tiene solamente dos posibles valores: x 1 y x 2 , adem·s x 1 < x 2 : La probabilidad de que X tome el valor de x 1 es igual a 0.2. Halle la ley de distribuciÛn de X, conociendo la esperanza E (X) = 2: 6 y la desviaciÛn estandar = 0: 8 :
SoluciÛn. X x 1 x 2 P (X = x) 0.2 0.
E(X) = 0: 2 x 1 + 0: 8 x 2 = 2: 6
Entonces
E(X^2 ) = 0: 2 x^21 + 0: 8 x^22
V ar(X) = E(X^2 ) (E(X))^2 = 0: 2 x^21 + 0: 8 x^22 2 : 62 = 0: 64
El sistema de ecuaciones es el siguiente: 0 : 2 x 1 + 0: 8 x 2 = 2: 6 0 : 2 x^21 + 0: 8 x^22 = 7: 4
De donde se obtienen los valores: x 1 = 1: 4 y x 2 = 2: 9
Por lo que la ley de distribuciÛn es la siguiente: X 1 : 4 2 : 9 P (X = x) 0.2 0.
- Una variable aleatoria X puede tomar tres valores: x 1 = 1 ; x 2 = 0 y x 3 = 1: Si se conocen las esperanzas matem·ticas E(X) = 0: 1 y E(X^2 ) = 0: 8 ; encuentre las probabilidades p 1 ; p 2 y p 3 ; de los valores x 1 , x 2 y x 3 ; respectivamente.
SoluciÛn:
X -1 0 1 P (X = x) p 1 p 2 p 3
E(X) = p 1 ( 1) + p 2 (0) + p 3 (1) = 0: 1 Entonces E(X^2 ) = p 1 (1) + p 2 (0) + p 3 (1) = 0: 8
El sistema de ecuaciones queda deÖnido de la siguiente manera: p 1 + p 3 = 0: 1 p 1 + p 3 = 0: 8 De donde se obtienen los valores: p 1 = 0: 35 p 2 = 0: 2 p 3 = 0: 45
- La variable aleatoria X tiene ˙nicamente tres posibles valores x 1 = 1; x 2 y x 3 (x 1 < x 2 < x 3 ) : Las probabilidades de que X tome los valores x 1 y x 2 son respectivamente iguales a 0.3 y 0.2. Determines la ley de distribuciÛn de X, conociendo la esperanza E(X) = 2: 2 y la varianza V ar(X) = 0: 76 :
SoluciÛn:
X 1 x 2 x 3 P (X = x) 0 : 3 0 : 2 0 : 5
Si 2 < x 4 ; F (x) = ax + b; entonces f (x) = F 0 (x) = a: Si x > 4 ; F (x) = 1; entonces f (x) = F 0 (x) = 0:
Es decir,
f (x) =
a; si 2 < x 4; 0 ; caso contrario
c)
Pr(1 < X < 3) =
Z 2
1
0 d(x) +
Z 3
2
ax + b d(x)
Z 4
3
ax + b d(x)
x^2 2
j^32
x^2 2
j^43
- Suponga que se escoge un n˙mero real X en el intervalo [2; 10] con una funciÛn de densidad de la forma f (x) = Cx; donde C es una constante.
a) Halle el valor de C; b) Calcule Pr(D); donde D = [3; 7] ; c) Encuentre Pr (X > 5) ; Pr (X < 7) y Pr(X^2 12 X + 35 > 0); d) Encuentre la esperanza y la varianza de X.
SoluciÛn:
a) f (x) = Cx Z (^10)
2
Cx d(x) = 1 C
x^2 2
j^102 = 1
C
C (50 2) = 1
C =
b) Pr(D); donde D = [3; 7] ; Z (^7)
3
x =
x^2 2
j^73
c) Pr (X > 5)
Z 10
5
Cx d(x) =
Pr (X < 7) Z (^7)
2
Cx d(x) =
d)
E(X) =
Z 10
2
xf (x) d(x)
Z 10
2
Cx^2 d(x)
V ar(X) =
Z 10
2
x^2 f (x)
d(x)
- Un estudiante rinde una prueba consistente en 2 probelmas de elecciÛn m˙ltiple. La primera tiene 3 posibles respuestas y la segunda 5. El estudiante escoge las 2 respuestas al azar. Encuentre: a) La ley que describe el n˙mero de respuestas correctas X del estudiante; b)El n˙mero esperado, E (X), de respuestas correctas;
