Estadistica tema 2, Ejercicios de Estadística

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Estadística para las Ciencias Sociales I

Estadística para las Ciencias Sociales I

Grado de Ciencias Políticas y de la Administración

Estadística para las Ciencias Sociales I

Descripción numérica de una variable, 1

Medidas de tendencia central:

• Moda
• Mediana
• Media aritmética
• Medias aritméticas recortada y ponderada
• Media geométrica

Medidas de posición: los cuantiles

La Moda (Mo)

• Es el valor ( clase o categoría ) con más alta frecuencia

absoluta (es decir, el valor más común de una distribución).

• La moda puede no existir o no ser única.

 Una distribución con una única moda se llama unimodal

 Una distribución con dos modas se llama bimodal

 Una distribución con varias modas se denomina

multimodal.

 Una distribución sin moda (porque la frecuencia de todos

los valores es constante o igual) se llama amodal.

(También se dice que es una distribución uniforme ).

• Aunque se considera una medida de centralización, algunas

veces no está en la zona central.

• Es la medida apropiada para variables de nivel nominal.

Estadística para las Ciencias Sociales IEstadística para las Ciencias Sociales I

Unidad Valor 1 8300 2 8300 (^3 ) (^4 ) (^5 ) (^6 ) (^7 ) (^8 ) (^9 ) 10 10800 11 12300 12 12300 13 14300 14 14300 (^15 ) (^16 ) (^17 ) (^18 ) (^19 ) (^20 ) (^21 ) (^22 ) 23 18400 24 18400 25 25500 26 25500 27 31500 (^28 ) (^29 )

Datos de ejemplo: Salarios de empleados de una empresa

(en euros)

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

Valores

Frecuencias absolutas (n)

Frecuencias relativas (f)

Frecuencias acumuladas 8.300 3 0,10 3 10.800 7 0,23 10 12.300 2 0,07 12 14.300 4 0,13 16 16.300 4 0,13 20 18.400 4 0,13 24 25.500 2 0,07 26 31.500 1 0,03 27 35.600 2 0,07 29 65.000 1 0,03 30 Total 30 1,

DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS

Intervalos (^) absoluta (nFrecuencia i)

Marca de clase

5.000-10.000 3 7.

10.000-15.000 13 12.

15.000-20.000 8 17.

20.000-30.000 2 25.

30.000-40.000 3 35.

40.000-70.000 1 55.

Total 30

La Moda (Mo)

Cálculo con datos agrupados

• En datos agrupados, la moda se

encuentra en el intervalo

modal , esto es, el que tiene

mayor frecuencia absoluta (o, si

se trata de intervalos

desiguales, el que tiene un

mayor cociente de frecuencia

absoluta dividida por su

amplitud ).

• Procedimiento : marca de clase

(mi) del intervalo modal, Mo =

mi = Li + Li+1/

• Ejemplo: buscamos el intervalo

DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS

Intervalos Frecuencia absoluta (ni)

Marca de clase

5.000-10.000 3 7. 10.000-15.000 13 12. 15.000-20.000 8 17. 20.000-30.000 2 25. 30.000-40.000 3 35. 40.000-70.000 1 55. Total 30

modal: 10.000 - 15.000 y tomamos como moda la marca del

intervalo: Mo = (10.000 + 15.000)/2 = 12.

La Moda (Mo)

• Por definición, la moda ofrece poca información, porque se

basa en un único valor, el más frecuente.

• No es sensible a variaciones en los demás valores de la

distribución ni en el tamaño de la muestra.

• De ahí que su utilidad sea muy limitada, salvo

 en distribuciones unimodales o bimodales con gran

concentración de las observaciones en la(s) moda(s);

 cuando se utiliza la moda como complemento de la

información proporcionada por la media y/o la mediana

La Mediana (Me)

Cálculo con datos unitarios

• Cuando el número de datos (N) es impar , la

mediana es igual al valor central, es decir el

que toma el caso que se encuentra en el

punto (N+1)/2.

• Cuando N es par , la mediana es la media

aritmética de los dos valores centrales, es

decir, los que toman los casos que ocupan

las posiciones (N/2) y (N/2+1).

• En el ejemplo , puesto que N = 30 es par, la

mediana es la media aritmética de los dos

valores centrales, es decir, los que toman

los casos que ocupan las posiciones N/2 =

30/2 = 15 y N/2+1 = 30/2 + 1 = 15 + 1 = 16:

Me = (14.300 + 14.300)/2 = 14.

Unidad Valor (^1) 8. 2 8. (^3) 8. 4 10. (^5) 10. (^6) 10. 7 10. (^8) 10. (^9) 10. 10 10. (^11) 12. 12 12. 13 14. (^14) 14. 15 14. (^16) 14. (^17) 16. 18 16. (^19) 16. (^20) 16. 21 18. (^22) 18. 23 18. (^24) 18. (^25) 25. 26 25. (^27) 31. (^28) 35. 29 35. (^30) 65.000 10

La Mediana (Me)

Cálculo a partir de la distribución de frecuencias

• Calculamos la

frecuencia absoluta

acumulada creciente

Ni^ que supera o iguala

a N/2, distinguiendo

dos situaciones:

• Si Ni^ supera a N/2,

la mediana es el xi

correspondiente a

Ni

• Si Ni^ es igual a

N/2, la mediana es

la media aritmética

de xi y xi+1.

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

Valores

Frecuencias absolutas (n)

Frecuencias relativas (f)

Frecuencias acumuladas 8.300 3 0,10 3 10.800 7 0,23 10 12.300 2 0,07 12 14.300 4 0,13 16 16.300 4 0,13 20 18.400 4 0,13 24 25.500 2 0,07 26 31.500 1 0,03 27 35.600 2 0,07 29 65.000 1 0,03 30 Total 30 1,

La Mediana (Me)

• La mediana depende del orden de los datos y del valor del que se

encuentra en el centro, no del valor de todos y cada uno de ellos.

Por tanto, prescinde de la información sobre las zonas de la

distribución apartadas del centro.

• Esto supone a veces un inconveniente , porque limita su valor

informativo sobre la distribución en su conjunto.

• Pero también en otras ocasiones es una ventaja , pues, al atender

únicamente a la posición central en la distribución, en sentido

estricto, es un estadístico robusto : no le influyen los valores

atípicos-extremos.

• Pero sí le afectan los cambios en el tamaño de la muestra (adición o

eliminación de casos).

La Media

• Es la suma de los valores que toman todos y cada uno de los casos

de la distribución dividida por su número total.

• Fórmulas

N

X

N

X X X X X

N

i

i N N

 X 1 ^2 ^3 .... ^1   ^1







 (^)  

 

k

i 1

i i

k

i 1

i i x f N

x n X

i

c

i 1

i

c

i 1

i i m f N

m n X (^) 





 (^)  

 

Con datos unitarios o “sueltos”

A partir de la distribución de frecuencias

Con datos agrupados en intervalos

La Media Cálculo a partir de la distribución de frecuencias

• Ejemplo: DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

Valores

Frecuencias absolutas (n)

Frecuencias relativas (f) 8.300 3 0, 10.800 7 0, 12.300 2 0, 14.300 4 0, 16.300 4 0, 18.400 4 0, 25.500 2 0, 31.500 1 0, 35.600 2 0, 65.000 1 0, Total 30 1,

X







k

i 1

i i

k

i 1

i i

x f

N

x n

X

X

• Con posibles desviaciones debidas al redondeo si se hace el cálculo a partir de las frecuencias relativas 16

La Media Con datos agrupados en intervalos de clase

• Ejemplo: DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS

Intervalos Frecuencia absoluta (ni)

Marca de clase

5.000-10.000 (^3) 7. 10.000-15.000 (^13) 12. 15.000-20.000 (^8) 17. 20.000-30.000 (^2) 25. 30.000-40.000 (^3) 35. 40.000-70.000 (^1) 55. Total 30

• Con posibles desviaciones debidas al redondeo si se hace el cálculo a partir de las frecuencias relativas

X

X

i

c

i 1

i

c

i 1

i i m f N

m n X (^) 





 (^)  

 

La Media aritmética

• La media se basa en información sobre (la suma de) todos

los valores de la distribución, tanto los próximos a su “centro”

como los alejados de él.

• De ahí que sea un estadístico muy informativo.
• Pero, por ello mismo, la presencia de valores atípicos y

extremos produce una distorsión en el valor de la media. Es

decir, la media no es un estadístico robusto (sobre todo en

muestras pequeñas )

 X

Relaciones entre media, mediana y moda

• En la distribución normal (simétrica, en forma de campana), los

valores de la media, la mediana y la moda coinciden.

• En distribuciones unimodales, la mediana suele estar situada entre

la moda y la media, más próxima a esta última. Concretamente, con

niveles moderados de sesgo o asimetría, se da la siguiente relación

empírica :

Media – Moda = 3 (Media – Mediana)

• Cuando la distribución es asimétrica, la mediana se sitúa en la zona

de la distribución en que hay mayor concentración de

observaciones.

• Si la media es mayor que la mediana, hay más casos en la parte

baja de la distribución (la asimetría es a la derecha o positiva);

• Si la media es menor que la mediana, hay más casos en la parte

alta de la distribución (la asimetría es a la izquierda o negativa).