¡Descarga Estadística Unidimensional y Bidimensional y más Apuntes en PDF de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II solo en Docsity!
PARTE 1: ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL
1) Conceptos básicos La Estadística es la ciencia que se ocupa de hacer un estudio sobre una determinada característica de una población, mediante la recogida de datos y organización de los mismos en tablas y gráficos y sacando conclusiones de todo ello. Conceptos básicos: ✓ Población : Es el conjunto de personas o cosas a los que va dirigido el estudio. ✓ Muestra : Es una parte representativa de la población. A veces, la población es muy grande y para hacer el estudio necesitamos coger una muestra que sea representativa, para después sacar conclusiones sobre el estudio a toda la población (inferencia). Para realizar el estudio estadístico de una población, es muy importante que la muestra elegida sea representativa , es decir, que los individuos que la componen hayan sido bien elegidos para inferir el estudio a toda la población. ✓ Muestreo : es el conjunto de técnicas que se usan para seleccionar muestras de la población. ✓ Individuo: Es cada elemento de la población o la muestra. ✓ Tamaño de la muestra : Es el número de elementos o individuos de la muestra ✓ Variable estadística : Es la característica que vamos a estudiar sobre la población o muestra.
PARTE 1: ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL
1) Conceptos básicos. 2) Tablas de frecuencia. 3) Gráficos Estadísticos. 4) Parámetros estadísticos. 5) Medidas de centralización. 6) Medidas de posición. 7) Medidas de dispersión.
PARTE 1: ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL
La Estadística tiene 2 ramas: ❖ Estadística Descriptiva: Hace el estudio sobre toda la población cuando ésta no es muy grande. ❖ Estadística Inferencial: Trabaja con muestras, cuando la población es muy grande. A través de las muestras se obtienen las conclusiones sobre el estudio a toda la población. Tipos de Variables Estadísticas: Las variables estadísticas se clasifican en: ➢ Cualitativas: Son aquellas que no toman valores numéricos, como por ejemplo la profesión, el estado civil, el color de los ojos... ➢ Cuantitativas: Son aquellas que sí toman valores numéricos, como por ejemplo la talla de los individuos, el peso, el numero de hermanos.... A su vez, se puede clasificar en:
- Cuantitativas discretas : Toman valores numéricos aislados. Por ejemplo: el número de empleados de una fábrica, el número de hijos de 20 familias, el número de cuentas corrientes abiertas al mes en una oficina de caja de ahorros, etc.
- Cuantitativas continuas : Pueden tomar todos los valores posibles dentro de un intervalo. Por ejemplo: la altura o el peso de los habitantes de un pueblo, los diámetros de las ruedas de varios coches, la medida del cráneo de 100 recién nacidos, etc. Ejemplo: Se quiere estudiar el peso de las piezas producidas por una fábrica. Población : todas las piezas producidas por la fábrica. Individuo : Cada una de las piezas fabricadas. Muestra : Un conjunto de piezas a las que se analizará. Variable Estadística : Peso Tipo de variable : Cuantitativa continua.
PARTE 1: ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL
Tablas de frecuencias para variable con muchos datos (datos agrupados) (variable continua): Cuando la variable estadística es continua, o bien discreta pero con un número muy grande de datos, es aconsejable agruparlos en intervalos llamados clases. A los puntos medios de cada intervalo se les llama marcas de clase. Para agrupar los datos, se localizan los valores extremos (el menor y el mayor) a y b y se halla su diferencia r=b-a (r=recorrido). Normalmente se suelen coger entre 5 y 10 intervalos. Para ver la amplitud de cada intervalo, dividimos el recorrido entre el número de intervalos que queremos poner, y si sale decimal, se coge un número próximo. Todos los intervalos deben tener la misma amplitud, y deben ser cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha. Ejemplo: La estatura de los 20 alumnos y alumnas de una clase, expresada en cm, son: 164 175 165 170 168 158 167 172 177 160 168 160 164 174 170 182 161 171 173 192 Para hacer los intervalos cogemos el menor valor, que es 158 y el mayor, 192 El recorrido es r=192-158= Si queremos hacer 5 intervalos, dividimos 34:5=6,8. Cogemos los intervalos de amplitud 7, empezando por 158 Intervalos Marcas de clase F. Absol. fi F. Relativa hi F. Abs. Ac. Fi F. Rel. Ac. Hi
% = hi · 158,165) 161,5 6 0,3 6 0,3 30 165,172) 168,5^7 0,35^13 0,65^35 172,179) 175,5 5 0,25 18 0,9 25 179,186) 182,5 1 0,05 19 0,91 5 186,193) 189,5 1 0,05 20 1 5 N=20 1 100 3) Gráficos estadísticos. Pese a que las tablas estadísticas contienen toda la información, se suelen acompañar de gráficos para que esta información sea más clara y evidente. Muchas veces, incluso se prescinde de las tablas y se presenta directamente la información en uno o varios gráficos. Los tipos de gráficos estadísticos que podemos encontrar son los siguientes:
PARTE 1: ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL
15 10 5 0 16 17 18 19 8 6 4 2 0 [158,165) [165,172) [172,179) [179,186) [186,193) 3.1) Diagramas de barras: Consiste en barras estrechas situadas sobre los puntos y separadas unas de otras. Se utiliza para variables cualitativas y cuantitativas discretas. Si en el diagrama de barras de frecuencias absolutas se unen los extremos de las barras, se forma una línea quebrada que se llama “Polígono de frecuencias absolutas”. 3.2) Histogramas: Se utiliza para distribuciones de variable estadística continua o para las discretas con gran número de datos que se han agrupado en intervalos. Para construirlos, se representan sobre el eje de abscisas los límites de los intervalos, construyendo unos rectángulos que tienen por base la amplitud del intervalo, y por altura, la frecuencia absoluta de cada intervalo, siempre que todos los intervalos tengan la misma amplitud. El polígono de frecuencias correspondiente se halla uniendo los puntos medios de las bases superiores de cada dos rectángulos consecutivos.
PARTE 1: ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL
6 3 6 5.2) Moda: Se representa por Mo. Es el valor de la variable que tiene mayor frecuencia absoluta. No es única, es decir, una misma variable puede tener varias modas. Si los datos se encuentran agrupados en intervalos, tomaremos como moda la marca de clase del intervalo modal. 5.3) Mediana: Se representa por Me. Es el valor que ocupa la posición central, una vez ordenados los datos de menor a mayor. Cálculo de la Mediana:
- Cuando hay pocos valores:
- N es impar: 2 2 3 3 7 7 7 9 9 Me =
- N es par: 2 2 3 7 7 7
- Cuando hay muchos valores: Se construye la tabla de frecuencias y se mira la primera frecuencia absoluta acumulada mayor o igual que N/ Ejemplo 1: La siguiente tabla nos muestra las notas de los 30 alumnos de una clase en matemáticas. Halla la nota media, la mediana y la moda. Notas ( xi ) Nº^ alumnos ( fi ) Fi xi fi 2 5 5 10 3 4 9 12 4 8 17 32 5 7 24 35 7 3 27 21 8 2 29 16 9 1 30 9 N=30 135 Me =
PARTE 1: ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL
xi ..^ fi
x = i^ =^1 = N
Mediana: Me = 4
N
Se busca la primera Fi mayor o igual que 15 ; Fi = 17 Moda: Es el 4, pues tiene mayor frecuencia absoluta. Mo= Ejemplo 2: En el ejemplo de las estaturas de los 20 alumnos de una clase: Intervalos Marcas de clase xi F. Absol. fi F. Abs. Ac. Fi xi ^ fi 158,165) 161,5 6 6 969 165,172) 168,5 7 13 1179, 172,179) 175,5^5 18 877, 179,186) 182,5^1 19 182, 186,193) 189,5 1 20 189, N=20 3398 Media:
xi ..^ fi
x = i^ =^1 = N
Mediana:
N
Fi = 13 Intervalo mediano 165,172)
Moda: Fi = 7 Intervalo modal: 165,172) Mo=168, 6) Medidas de posición: Las medidas de posición son valores de la variable que informan del lugar que ocupa un dato dentro del conjunto ordenado de datos. Los más importantes son los cuartiles y los percentiles. Q 1 , Q 2 y Q 3 , son medidas que dividen el conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales, es decir, en cada intervalo está el 25% de los datos recogidos en el estudio. El cuartil 2 es la mediana. n n 6.1) Cuartiles Me = 168,
PARTE 1: ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL
n (^) n i 7) Medidas de dispersión: Son parámetros que permiten conocer el grado de agrupamiento de los datos con respecto a las medidas de centralización. Es decir, miden lo separados que están los datos respecto de la media. Los más importantes son: el rango o recorrido , la varianza , la desviación típica y el coeficiente de variación 7.1) Rango o recorrido: El recorrido o rango de la variable estadística es la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable estadística. 7.2) Varianza y Desviación Típica: Se llama varianza de una variable estadística a la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media. Se representa por 2
( xi −^ x )^2.^ f
x
(^2) f Varianza : 2 = i =^1 N o bien 2 = i^ =^1 - x^2 N N= número total de datos f (^) i = frecuencias absolutas x (^) i = datos x = media aritmética de la distribución. Se llama desviación típica de una variable estadística a la raíz cuadrada positiva de la varianza. Se representa por CV =
x Cuando el coeficiente de variación es pequeño, eso quiere decir que los datos están concentrados en torno a la media. Ejemplo 1 Las calificaciones de Matemáticas de 30 alumnos son: x (^) i = Notas (^2 3 4 5 7 8 ) f (^) i = nº alumnos (^5 4 8 7 3 2 ) Calcular el rango, la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación. 7.3) Coeficiente de variación: i (^) i
PARTE 1: ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL
n i i Para realizar el cálculo de las medidas de dispersión, construiremos la siguiente tabla: Notas ( xi ) Nº^ alumnos ( fi ) xi fi x (^2) f i i 2 5 10 20 3 4 12 36 4 8 32 128 5 7 35 175 7 3 21 147 8 2 16 128 9 1 9 81 N=30 135 715
- Rango = 9 - 2 = 7
- Varianza: n
xi ..^ fi
x = i^ =^1 =
135 = 4,5 x^2. f 715
N (^30) 2 = i^ =^1 − x^2 = N
− 4,5^2 = 3,5833333...
- Desviación típica: = = 1,
- Coeficiente de variación: Ejemplo 2
CV =
x
Si las puntuaciones del test de satisfacción de su trabajo a 75 empleados son: Puntuaciones 38, 44 ) 44, 50 ) 50, 56 ) 56, 62 ) 62, 68 ) Nº trabajadores 7 8 15 25 20 Calcular el rango, la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación. Puntuaciones Marcas de clase f (^) i f (^) i · x (^) i f^ ·^ x^ 2 i i 38, 44 ) 41 7 287 11. 44, 50 ) 47 8 376 17. 50, 56 ) 53 15 795 42. 56, 62 ) 59 25 1.475 87. 62, 68 ) (^65 20) 1.170 76. Totales N=75 4103 234649
