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Estadística y probabilidad ejercicios para bachillerato
Tipo: Apuntes
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AUTORES
ÁNGEL SANDOVAL LEMUS BLANCA CECILIA CRUZ SALCEDO CARLOS ALBERTO GARCÍA ÁLVAREZ CIRO PLATA MONROY HÉCTOR GABRIEL RIVERA VARGAS HUGO HERNÁNDEZ TERVETAHN
MAYO DEL 2006
UNIDAD I. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Variable aleatoria
Es una función definida del espacio de resultados Ω de un fenómeno aleatorio, a los números reales y se expresa como sigue:
dominio de X rango de X
Clasificación de variables aleatorias
Si una variable aleatoria X toma valores enteros, se llama variable aleatoria discreta ce que Ejemplo: Se lanzan 3 monedas, observándose el número de soles. La variable aleatoria es el número de soles y puede tomar valores entre 0 y 3.
Ejemplo: Se escogen tres artículos de un proceso de manufactura y se desea saber el número de artículos defectuosos que se escogieron, ¿que valores puede tomar la variable aleatoria X? Solución: 0, 1,2 o 3 artículos defectuosos. La variable aleatoria X es discreta y su distribución de probabilidad es la siguiente:
Ejemplo: De un grupo de 50 alumnos (23 mujeres y 27 hombres) de edades que varían entre 17 y 20 años, se escoge un alumno al azar observándose el género al cuál pertenece. ¿Que valores puede tomar la variable aleatoria X? Solución: Masculino o Femenino. La variable aleatoria X es una variable aleatoria discreta.
Ejemplo: Un profesor afirmó que las calificaciones de sus alumnos al final del semestre serían 5, 6.5, 7.8 ó 10. Si al final del curso se selecciona a un alumno de dicho profesor observándose su calificación final, ¿Que valores puede tomar la variable aleatoria X? Solución: 5, 6.5, 7.8 ó 10. La variable aleatoria X es una variable aleatoria discreta.
Ejemplo: En una fábrica de chocolates se seleccionaron 100 de sus productos para sumar sus respectivos pesos en gramos y obtener un promedio y con esto llevar un cierto control de calidad. ¿Cuáles son los posibles valores de la variable aleatoria de interés? Solución: Los posibles valores de la variable aleatoria X son todas las x>0.
Ejercicios de distribuciones de probabilidad de variable aleatoria discreta
Esta función no necesariamente es una función de variable real, debido a que los elementos de Ω no necesariamente son números, pueden ser objetos como: letras, símbolos o figuras,, por ejemplo, para la moneda o equivalentemente
Ω={ águila , sol } Ω ={ a , s }.
Solución:
X 4 6 P(X) 2/3 1/
Ejercicios de esperanza matemática y varianza de una variable aleatoria discreta.
X 1 3 5
P(X) 0.25 0.25 0.
Obtenga la esperanza matemática de la variable aleatoria X y su desviación estándar
Por lo tanto:
Recuerde que la varianza en este caso sería igual a 2.75.
Solución. Construya la distribución de probabilidad de la v. a. X. Y obtenga que E(X) = -5/6 y
X 5 7.5 10
P(X) 0.40 0.10 0.
ObtengaE (X)y σ. Solución. E (X)= 7. 75 y σ= 5. 5625
Problemas de Distribución Binomial
1.- La proporción de estudiantes que reciben la calificación C es de 0.7, se toma una muestra aleatoria de 10 estudiantes. ¿Cuál es la probabilidad de que haya 6 estudiantes con esa calificación en la muestra?
Solución: Se define al éxito como la de observar C de calificación con p = 0. Se realizarán 10 ensayos Bernoulli, por lo tanto n = 10
Utilizando la fórmula de la distribución binomial tenemos:
6 4
6 106
−
−
P X x Cnx x nx
[ ] [ ]
1 0. 02768 ________
1 P(X 0 ) P(X 1 )
1 P(X 2 )
P(X 2 )
Entonces:
P(X 2 ) P(X 2 ) 1
Sabemosque:
P(X 2 )?
=
= − +
= − = + =
= − <
≥ =
≥ + < =
≥ =
2.- Se afirma que un procedimiento terapéutico nuevo es exitoso en el 80% de las veces. Si la terapia se realiza 5 veces y si suponemos que los resultados son independientes entre sí, ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) las 5 terapias son exitosas? Sol. 0. b) Que al menos tres sean exitosas? Sol. 0.
3.- La probabilidad de que un paciente se recupere de una enfermedad mental es de 0.4. Si se sabe que 15 personas han presentado dicha enfermedad, ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) se recuperen exactamente 5? Sol. 0. b) ninguna se recupere? Sol. 0.
4.- La tasa de desempleo en cierta ciudad es de 8.7%. Se selecciona una muestra de 10 ciudadanos. ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra contenga: a) 3 o menos desempleados? Sol. 0. b) a ningún desempleado? Sol. 0.
5.- La proporción de fumadores en una ciudad es del 30%. Se toma una muestra aleatoria de tamaño
6.-Considere que el 55% de los matrimonios que se quieren divorciar cambian de opinión después de seguir ciertas terapias con un determinado psicólogo. Si 10 parejas que se quieren divorciar ven a dicho psicólogo. ¿Cuál es la probabilidad de que cambien de opinión… a) 4 de ellas? Sol. 0. b) menos de 2? Sol. 0. c) por lo menos 2? Sol. 0.
Obtención de áreas bajo la curva normal estándar
Ejemplos. Obtener el área bajo la curva normal estándar...
Obtén las siguientes áreas bajo la curva normal estándar, recordando que:
Recuerda que se utilizará la tabla que proporciona el área de la cola, esto es:
Dibuje y obtenga el área bajo la curva normal estándar...
a) a la derecha de z = 2.
Solución: 0.
b) a la izquierda de z = 1.
Solución: 0.
d)
e)
f)
g)
h)
i)
i)
j)
Problemas de Distribución Normal
1.- Las puntuaciones en una prueba nacional de aprovechamiento tuvieron una distribución normal con media de 540 y desviación estándar de 110. a) Si la puntuación que obtuvo usted fue de 680. ¿ Que porcentaje de aquellos que tomaron la prueba obtuvieron mayor calificación que usted?
Solución:
Una vez estandarizados los valores y utilizando las tablas, obtenemos:
Entonces, el área deseada es:
P ( 500 ≤ X≤ 600 ) =1 - 0.3594 - 0.2912 = 0.
b) ¿Qué porcentaje obtuvo una puntuación menor a los 455?
Solución:
Se desea saber la P( X< 455 )=?
El área que se muestra a continuación es el área que se requiere encontrar:
Estandarizando tenemos la siguiente gráfica:
Y por lo tanto el área deseada es 0.2206.
d) ¿Qué porcentaje obtuvo una puntuación entre 455 y 500?
En este último ejemplo, dejamos algunos espacios en blanco para que el alumno ejercite llenándolos con el valor correspondiente. Deseamos encontrar el valor de: P ( 500 ≤X≤ 600 )
El área que representa dicha probabilidad es:
Estandarizando:
σ
μ
σ
μ
Por lo tanto, el área deseada es 0.3594 - = 0.1388. A continuación se enlistan algunos ejercicios para que resuelva el alumno y compare sus resultados con los que se proporcionan.
1.- Se sabe que los C. I. de cierta población rural de México se distribuye normalmente con media de 106 y varianza de 144.
a) Si se quiere seleccionar aleatoriamente a una persona de esta población, ¿ Cuál es la probabilidad de que la persona elegida tenga un C. I. entre 100 y 112? Solución. 0. b) Se sabe que los llamados “ genios “ obtienen las calificaciones más altas y que son el 0.5% de la población , ¿ Cuál es el C. I. mínimo para que una persona sea considerada como “genio”? Más adelante se proporciona un ejercicio similar para que usted se base en él y obtenga la solución.
2.- Supóngase que las edades de los trabajadores de una gran industria están distribuidas normalmente con una media de 50 años y una desviación estándar de 5 años.
a) ¿Cuál es el porcentaje de trabajadores cuyas edades están entre 50 y 52.5 años? Solución. 19.15%.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador cualquiera no sea mayor de 45 años? Solución.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador cualquiera tenga entre 41 58 años? Solución.
Es un subconjunto seleccionado de una población.
CONCEPTO DE PARÁMETRO:
Muestra que se obtiene de manera que cada una de las muestras posibles de un tamaño fijo tenga la misma probabilidad de ser seleccionada.
Es una distribución de probabilidad donde la variable aleatoria es un estadístico.
**1. Si la población que se muestreo está distribuida de manera normal, la distribución de los valores medios de la muestra estarán normalmente distribuidos respecto a todos los tamaños de muestra.
1. Considera el conjunto de los números enteros impares {1, 3, 5, 7, 9}.
a) Haz una lista de todas las muestras de tamaño 2 que puedan ser seleccionadas de este conjunto (muestreo con reposición).
Solución: (1,1), (3,1), (5,1), (7,1), (9,1) (1,3), (3,3), (5,3), (7,3), (9,3) (1,5), (3,5), (5,5), (7,5), (9,5) (1,7), (3,7), (5,7), (7,7), (9,7) (1,9), (3,9), (5,9), (7,9), (9,9)
b) Construye la distribución de muestreo de las medias muestrales para muestras de tamaño 2 seleccionadas de este conjunto.
Las población de medias maestrales es:
1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 5 6 7 8 9 Por lo tanto:
P(x)
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2. Considera el conjunto de siguientes números enteros pares {0, 2, 4, 6, }.
a) Haz una lista de todas las muestras de tamaño 2 que puedan ser seleccionadas de este conjunto (muestreo con reposición). Solución. Basándote en el ejercicio anterior, completa el procedimiento.
b) Construye la distribución de muestreo de las medias muestrales para muestras de tamaño 2 seleccionadas de este conjunto.
3. Utilizando como población los números enlistados en el directorio telefónico local, obtén aleatoriamente 20 muestras de tamaño 3. De cada número toma los dígitos cuarto, quinto y sexto (Por
