Médidas de resumen (Posición) por Leticia Rodas Alfaya, Apuntes de Estadística

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TEMA 4

MEDIDAS DE RESUMEN (POSICIÓN)

4.1 Medidas de posición

El objetivo será obtener una serie de medidas y/o coeficientes que nos permitan resumir los datos, e intuir el comportamiento de la variable objeto de estudio.

Medidas de posición

1. Medidas de tendencia central: Promedios (medias), mediana, moda 2. Medidas de tendencia no central: Cuantiles (cuartiles, deciles, percentiles) 1. Medidas de tendencia central Media aritmética. Cociente entre la suma de todos los valores observados y el total de los datos.

4.1 Medidas de posición

Datos agrupados en intervalos. La media aritmética se calcula del mismo modo que en el caso de datos sin agrupar, pero utilizando, en este caso, la marca de clase o punto medio del intervalo como valor observado de la variable.

xic : marca de clase li : límite superior del intervalo li-1 : límite inferior del intervalo Media aritmética ponderada. En ocasiones, no todos los elementos de la variable tienen la misma importancia o peso dentro de la distribución. Esta importancia o peso que se asigna a cada valor se denomina ponderación y es independiente de la frecuencia absoluta que tenga.

xic  li ^ li ^1

4.1 Medidas de posición

wi : ponderación asignada a cada variable Propiedades de la media aritmética. La media aritmética es el centro de gravedad de la distribución. La suma de las desviaciones (diferencias) de los valores de la variable con respecto a su media es igual a cero.







 

          n i i i

n i i i i n n

n n n w n

x w n w n w n w n x x w n x w n x w n 1

1 1 1 2 2

1 1 1 2 2 2

( x 1  x ) n 1 ( x 2  x ) n 2 ( xn  x ). nn  0

4.1 Medidas de posición

La media aritmética se ve afectada por cambios de origen y de escala (transformación lineal de la variable).

A y B : constantes

Si de un conjunto de valores, obtenemos 2 ó más subconjuntos disjuntos, entonces la media aritmética del conjunto total, se relaciona con las medias de los distintos subconjuntos disjuntos de la siguiente forma:

y (^) i  A  xi  B y  A  x  B

xi ni x 1 n 1 x 2 n 2 … … xh nh xh+1 nh+ … … xn nn

N

x  x^1  N^1  x^2  N^2 N^  N 1  N 2

N (^1) x 1

N (^2) x 2

(Media del primer subconjunto)

(Media del segundo subconjunto)

4.1 Medidas de posición

4.1 Medidas de posición

Mediana (Me). Es el valor de la variable (supuesta ésta ordenada de menor a mayor) que deja a su izquierda y a su derecha el mismo número de observaciones (el 50 % de las observaciones a su izquierda y el otro 50 % de las observaciones a la derecha). Me: valor de la variable que ocupa la posición central , si el número total de observaciones (N) es un número impar. Me: media aritmética de los dos valores centrales de la variable, si el número total de observaciones (N) es un número par. Datos sin agrupar. Ordenar los valores de la variable de menor a mayor. Calcular sus frecuencias absolutas acumuladas Ni Calcular la mitad del número de observaciones N/ 2

4.1 Medidas de posición

Si N= impar

que se corresponda con el primer

Si N= par y se cumple que

N 2 (^)  Ni

Me  xi Ni ^ N 2

N 2 (^)  Ni

Me  xi^  xi ^1 Media aritmética del valor de la variable correspondiente a N/2 y

del siguiente

4.1 Medidas de posición

Usos, ventajas e inconvenientes de la mediana. En el caso de variables cualitativas expresadas en escala ordinal, es la medida más representativa (en distribuciones de este tipo no tiene sentido la utilización de un promedio). En el caso de variables cuantitativas es preferible a la media aritmética en el caso de valores extremos. Es fácil de calcular, aunque en su determinación no intervienen todos los valores de la variable.

Nota: a la mediana le afectan los cambios de origen y de escala de la misma manera que sucedía en el caso de la media aritmética.

4.1 Medidas de posición

Moda (Mo). Es el valor de la variable que más veces se repite (más frecuente). Datos sin agrupar con mayor frecuencia absoluta La moda o valor modal puede no ser única: Cabe la posibilidad de encontrar distribuciones con 2 ó más modas : distribuciones bimodales, trimodales, etc. La distribución puede presentar una moda absoluta y una moda relativa. Datos agrupados en intervalos Intervalos de amplitud constante

ni ^ L^ i  i

max INTERVALO^ MODAL Intervalomásfrecuente: Li-^1 ,

Mo  xi max i ni

4.1 Medidas de posición

Valor modal

Uso, ventajas e inconvenientes de la moda En el caso de variables cualitativas expresadas en escala nominal, es la medida más representativa, de hecho, es la medida de tendencia central que puede obtenerse. Es fácil de calcular y de interpretar. En su determinación no intervienen todos los valores de la variable. Nota: a la moda le afectan los cambios de origen y de escala de la misma manera que sucedía en el caso de la media aritmética.

i i i

i i c d d

Mo L d  

   

  1 1

1 1

4.1 Medidas de posición

2. Medidas de tendencia no central Cuantiles. Son valores de la variable (supuesta ésta ordenada de mayor a menor) que dividen a la distribución en partes iguales que comprenden el mismo número de observaciones o individuos. Datos sin agrupar 1. Cuartiles. Son 3 valores de la variable que dividen a la distribución en 4 partes iguales , cada una de las cuales contiene el 25% de las observaciones. Para su cálculo se utiliza un procedimiento similar al de la mediana.

C  xi   N 4

1 1 C^ ^ xi  4  N

2 2 C^ ^ xi  4  N

3 3

4.1 Medidas de posición

Datos agrupados en intervalos

Donde Cuartiles: K = 4 y r = 1, 2 , 3 Deciles: K = 10 y r = 1, 2, 3,…, 9 Percentiles: K = 100 y r = 1, 2, 3,…, 99

i i

i r k i n c

N N k

r Q L 

   

 

1 / 1

Me=C 2 =D 5 =P 50 C 1 =P 25 C 3 =P 75 D 1 =P 10 D 2 =P 20 D 3 =P 30 etc.

Observaciones: