Modelos de Distribución de Probabilidad Discretos y Continuos, Apuntes de Estadística Empresarial

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Estadística Empresarial

Ch.1-1 GADE

Tema 9

GADE

MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE

PROBABILIDAD DISCRETOS Y CONTINUOS

Sonia de Paz Cobo

Objetivos

Al acabar este tema, Vd. deberá ser capaz de

Identificar cuándo un fenómeno aleatorio puede seguir un

Identificar cuándo un fenómeno aleatorio puede seguir un^ patrón determinado

Distinguir unos patrones de otros

Conocer las características más relevantes de ciertosmodelos de probabilidad

Discretos: binomial, Poisson

Discretos: binomial, Poisson

Continuos: uniforme, normal

Sonia de Paz Cobo

Patrones comunes del comportamiento

aleatorio

CASO 1

Lanzar una moneda, apostar a par o impar en la ruleta,

Ch.1-

Lanzar una moneda, apostar a par o impar en la ruleta,^ ganar o no un partido de fútbol son fenómenos aleatorios(en mayor o menor medida) con una característica común

Sólo pueden concretarse en dos sucesos mutuamenteexcluyentes

Por ellos se denominan fenómenos dicotómicos

Por ellos se denominan fenómenos dicotómicos

Uno de los sucesos se codificará con el valor 1 y el otro conel 0

Exactamente igual que en el sistema binario Sonia de Paz Cobo

Patrones comunes del comportamiento

aleatorio

CASO 2

A veces esos fenómenos discretos se extienden sobre el

Ch.1-

A veces esos fenómenos discretos se extienden sobre el^ tiempo o el espacio

Accesos a un servidor de internet en un período detiempo; accidentes de tráfico en una carretera o en un díaconcreto; …

Cada entrada en el sistema es binaria (entra o no), poco

Cada entrada en el sistema es binaria (entra o no), poco^ probable, pero pueden ser muchas y frecuentes, con unacierta tendencia a la estabilización Sonia de Paz Cobo

Patrones comunes del comportamiento

aleatorio

CASO 4

¿Cómo se distribuyen las estaturas de las azafatas de una

Ch.1-

¿Cómo se distribuyen las estaturas de las azafatas de una^ aerolínea? ¿Cómo se distribuyen las calificaciones de losalumnos de una asignatura? ¿Y los rendimientos de unactivo financiero?

En todos los casos, las características comunes son^

La continuidad del fenómeno aleatorio: no podemos distinguir entre

La continuidad del fenómeno aleatorio: no podemos distinguir entre^ dos valores consecutivos de la variable

Es lógico pensar que haya una mayor concentración de valores entornoa la zona media, y que según nos alejemos de la media, por arriba y porabajo, cada vez haya menos cantidad de valores

Sonia de Paz Cobo

Ley binomial

Sea un fenómeno aleatorio

Descomponemos lo que puede ocurrir en sólo dos sucesos: “que

Ch.1-

Descomponemos lo que puede ocurrir en sólo dos sucesos: “que pase” (éxito) o “que no pase” (fracaso)

dicotomía

Lanzamos una moneda; cara o cruz

Lazamos un dado; par o impar; el 5 o cualquier otro; (uno ó dos) o cualquier otro

Jugamos al Blackjack: que el croupier se pase o no; que nos pasemos nosotros ono;

Observamos los tipos de interés; que suban o no; que pasen del 1,5% en dosmeses o no

Planteamos un número n de repeticiones del fenómeno de forma que

Planteamos un número n de repeticiones del fenómeno de forma que

Cada resultado no afecte a los anteriores

La probabilidad de éxito (p) no se vea modificada

 ¿Cuándo puede afectar? Una persona no ha cogido la gripe en los últimos 5 años; siponemos a alguien infectado cerca, la probabilidad de infección se ve modificada;  La probabilidad de obtener un As de una baraja francesa es de 4/52 … la primera vez; sise han dado quince cartas y no se han reincorporado al mazo, y aún no ha salido ninguno,la probabilidad de obtenerlo en la siguiente pasa a 4/36.

Sonia de Paz Cobo

Ley binomial

^

Características

El número de éxitos que se pueden conseguir no puede superar al número de

Ch.1-

El número de éxitos que se pueden conseguir no puede superar al número de^ repeticiones;

La probabilidad de éxito no debe variar a lo largo del proceso

(^

n r)

r n

P(X

r)

p^

1

p

r

−

^



=^

=^

−

^

 ^



^

Función de cuantía

Comprobación

intuitiva:

la

probabilidad

de

que

un

cliente

compre nuestro producto es del 10%;escogidos al azar 4 de ellos, ¿cuál es laprobabilidad de que 3 lo compren?

^

Función de distribución

Basta con sumar todas las probabilidades hasta el

Comprobación

intuitiva

:^ ¿cuál

es

la

probabilidad

de

que

1

como

máximo

Un

applet

en Java para ver cómo funciona:

http://www.stat.wvu.edu/SRS/Modules/Binomial/binomial.html

Basta con sumar todas las probabilidades hasta el^ valor deseado

probabilidad

de

que

1

como

máximo

lo compre? ¿Y más de dos?

^

Esperanza

E(X)

np =^

^

Varianza

(^

V(X)

np 1

p

=^

−^

Comprobación

intuitiva:

si

preguntásemos

a^

10,

¿cuántos

en

media

comprarían?

Sonia de Paz Cobo

Ley de Poisson

Permite el estudio de la aparición de sucesos^ (discretos e independientes) en los que

Ch.1-

(discretos e independientes) en los que probabilidad de éxito es muy pequeña peroen los que el número de repeticiones es muyamplio

En ellos, la frecuencia media de ocurrenciapor unidad de tiempo es conocida

Tiene sentido preguntarse cuántos sucesos^ han ocurrido hasta la fecha (o en el espacio),

S.D. Poisson (Francia,1791-1840) fuealumno de Laplace y de Lagrange;apasionado de las matemáticas, se leatribuye la frase “

La vida es buena sólo por

dos cosas, descubrir las matemáticas yenseñar las matemáticas

”; publicó en 1837

Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et matière civile

han ocurrido hasta la fecha (o en el espacio), pero no cuántos faltan por ocurrir.

en matière criminelle et matière civile

Sonia de Paz Cobo

Ley uniforme

Permite el estudio de fenómenos aleatorios continuos en los que^ se asume la

equiprobabilidad

Ch.1-

se asume la

equiprobabilidad

Un pequeño pueblo de las Alpajurras ve incrementar su población de 500habitantes hasta los 1500 en verano; el consumo de agua diario por habitantees de 100 litros, con una dispersión de 15 l; si la capacidad de suministro es de100.000 l por día; ¿cuál es la probabilidad de no pueda hacerse frente alincremento de población flotante?

En muchas ocasiones, la equiprobabilidad se basa en el^ desconocimientodesconocimiento^ Sonia de Paz Cobo

Ley uniforme

^

Función de densidad

1

f(x)

b^

a

=^

−^

[^

]

x^

a;b

∀ ∈

Ch.1-

b^

a −

^

Función de distribución

(^

x^

x a

1

x^

a

F(x)

f x dx

dx

b^

a^

b^

a

−∞

−

=^

=^

=

−^

−

∫^

∫

^

Esperanza

(^

b a

x^

a^

b

E(X)

x f x dx

dx

b^

a^

2

∞ −∞

=^

=^

=^

=

−

∫^

∫^

L

^

Varianza

(^

(^

)^

(^

)^

(^

)^

(^

2

b^

a

V(X)

x^

E X

f x dx

12

∞ −∞

−

=^

−^

=^

=

∫^

L

12

∫ −∞

Sonia de Paz Cobo

Ley Normal

^

Función de densidad

(^

)

−^

−μ σ

=^

σ^

π

2 1 x^2 2

1

f(x)

e 2

∀ ∈

σ >

x^

R;

0

Ch.1-

σ^

π 2

^

Función de distribución

−∞ =^

x ∫

F(x)

f x dx

^

Esperanza

(^

)^

(^

∞ −∞ =^

=^

= μ

∫^

L

E(X)

x f x dx

^

Varianza

(^

(^

)^

(^

∞ −∞ =^

−^

=^

= σ

∫^

L

2

2

V(X)

x^

E X

f x dx

Integral de Gauss

∞^

− −∞

=^

π

∫^

2 1 x 2 e^

dx

2

∫ −∞

Sonia de Paz Cobo

Ley Normal

Caso particular:

μ =

σ =

0 y

1

Ch.1-

^

Función de densidad

−

=^

π

2 1 x 2

1

f(x)

e 2

∀ ∈

x^

R

^

Función de distribución

−

−∞

−∞

=^

=^

π

∫^

∫^

2

x^

x^

1 u 2

1

F(x)

f u du

e^

du

2

Tabulada

^

Relaciones N(

,^ σ

) y N(0;1)

Sea X: N(

,^

) ; X’: N(0;1)

(^

)^

(^

)^

(^

^



− μ ^



X^

1

1

Operamos,

− μ =^

σ X Y

(^

)^

(^

)^

(^

{

(^

)^

(^

{

μ σ ^



− μ ^

^

^



=^

=^

− μ =

− μ

=

^

 σ^

σ^

σ^

^



^

^

^



− μ ^



=^

=^

− μ =

=

^

 σ^

σ

σ

^

^

2

2

2

X^

1

1

E Y

E^

E X

E X

0

X^

1

1

V^

V^

V X

V X

1

Un

applet

en Java para ver cómo funciona:

http://ideal.stat.wvu.edu:8080/ideal/resource/modules/1/Normal/normal.html Sonia de Paz Cobo

Estadística I

Grado en ADE

Ch.1-

Tema 10

Grado en ADE

MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

DISCRETOS Y CONTINUOSFIN DE LA PRESENTACIÓN

Sonia de Paz Cobo