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2-111. Dados los tres vectores A , B y D , muestre que
A #^ ( B D ) ( A #^ B ) ( A #^ D ).
- 2-112. Determine la componente proyectada de la fuerza FAB 560 N que actúa a lo largo del cable AC. Exprese el resultado como un vector cartesiano.
z
x y
C
B
A
3 m
1.5 m 1 m
3 m F^ AB ^ 560 N
1.5 m
Prob. 2-
- 2-113. Determine las magnitudes de las componentes de la fuerza F 56 N que actúan a lo largo de la línea AO y en forma perpendicular a ésta.
y
x
z
C O
D
A B 3 m 1.5 m
1 m
1 m F 56 N
Prob. 2-
2-114. Determine la longitud del lado BC de la placa triangular. Resuelva el problema mediante la determina- ción de la magnitud de r BC ; después verifique el resultado primero con la determinación de u, r (^) AB y r (^) AC y luego por la ley de los cosenos.
y
x
A
C
B
z
1 m
4 m
3 m
3 m
1 m
5 m
u
Prob. 2-
2-115. Para el ensamble de tubos que se muestra en la figura, determine las magnitudes de las componentes de la fuerza F 600 N que actúan a lo largo del segmento DE y en forma perpendicular a éste.
x y
E
D
C
B
A
z
2 m
2 m 2 m
2 m
3 m
F 600 N
Prob. 2-
PROBLEMAS
2.9 P RODUCTO PUNTO 75
76 C APÍTULO 2 V ECTORES FUERZA
- 2-116. Determine el ángulo u entre las dos fuerzas que actúan sobre el gancho. Asimismo, ¿cuáles son las proyec- ciones de F 1 y F 2 a lo largo del eje y?
- 2-117. Para las dos fuerzas que actúan sobre el gancho, determine la magnitud de la proyección de F 2 a lo largo de F 1.
x
z
y
45
60 120
F 1 600 N
F 2 {120 i + 90 j – 80 k }N
u
Probs. 2-116/
2-118. Determine la proyección de la fuerza F 80 N a lo largo de la línea BC. Exprese el resultado como un vector cartesiano.
F 80 N
A
E
B
y
F
C
x
D
z
2 m
2 m
1.5 m
1.5 m 2 m 2 m
Prob. 2-
2-119. La abrazadera se usa sobre una plantilla. Si la fuerza vertical que actúa sobre el perno es F { 500 k } N, determine las magnitudes de sus componentes F 1 y F 2 que actúan a lo largo del eje OA y en forma perpendicular a éste.
z
O
x
y
40 mm
40 mm 20 mm
F { 500 k } N
A
Prob. 2-
- 2-120. Determine la magnitud de la componente proyec- ta da de la fuerza F AB que actúa a lo largo del eje z.
•2-121. Determine la magnitud de la componente proyec- tada de la fuerza F AC que actúa a lo largo del eje z.
12 pies
18 pies
12 pies
x
B
D
C
A
O
y
z
12 pies
36 pies
FAB 700 lb
F (^) AC 600 lb
30
Probs. 2-120/
78 C APÍTULO 2 V ECTORES FUERZA
•2-129. Determine el ángulo u entre los cables AB y AC.
2-130. Si F tiene una magnitud de 55 lb, determine la mag- nitud de su componente proyectada que actúa a lo largo del eje x y a lo largo del cable AC.
y
z
x
8 pies
3 pies
12 pies 8 pies
15 pies
A
C B
F u
Probs. 2-129/
2-131. Determine las magnitudes de las componentes pro- yectadas de la fuerza F 300 N que actúan a lo largo de los ejes x y y.
z A
O
x y
300 mm
300 mm 300 mm
F 300 N
30
30
Prob. 2-
2-132. Determine la magnitud de la componente proyec- tada de la fuerza F 300 N que actúa a lo largo de la línea OA.
z A
O
x y
300 mm
300 mm 300 mm
F 300 N
30
30
Prob. 2-
•2-133. Dos cables ejercen fuerzas sobre el tubo. Deter- mine la magnitud de la componente de F 1 proyectada a lo largo de la línea de acción de F 2.
2-134. Determine el ángulo u entre los dos cables unidos al tubo.
60
y
Z
60
30 30
x
F 2 25 lb
F 1 30 lb
.
Probs. 2-133/
PROBLEMAS FUNDAMENTALES
F4-1. Determine el momento de la fuerza con respecto al punto O.
5 pies
0.5 pie
600 lb
20
30 O
F4-
5 m
2 m
100 N 3 4
5
O
F4-
30
45
F 300 N
0.4 m
0.3 m
O
F4-
4 pies
3 pies
1pie
600 lb
O
45
F4-
50 N
60
45
100 mm
100 mm
200 mm O
F4-
500 N
3 m
O
45
F4-
F4-4. Determine el momento de la fuerza con respecto al punto O.
F4-5. Determine el momento de la fuerza con respecto al punto O. No tome en cuenta el grosor del elemento.
F4-6. Determine el momento de la fuerza con respecto al punto O.
F4-3. Determine el momento de la fuerza con respecto al punto O.
F4-2. Determine el momento de la fuerza con respecto al punto O.
4.4 PRINCIPIO DE MOMENTOS 131
PROBLEMAS
A
P
F
B C
6 pies
45 12 pies
3 4
5
Probs. 4-4/
3 m
0.45 m
4 kN
A
u
Probs. 4-6/
F
B
A
18 pulg
5 pulg
30
Probs. 4-8/
4 kN
800 N 800 N
4 kN
Caso 1 Caso 2
0.4 m
0.05 m
0.05 m
0.4 m
O
O
Prob. 4-
4-6. Si 45°, determine el momento producido por la fuerza de 4 kN respecto del punto A.
4-7. Si el momento producido por la fuerza de 4 kN res-
pecto al punto A es de 10 kN #^ m en el sentido de las mane-
cillas del reloj, determine el ángulo , donde 0° … … 90°.
•4-1. Si A , B y D son vectores dados, demuestre la ley distributiva para el producto cruz, es decir, que A ( B D ) ( A B ) ( A D ).
4-2. Demuestre la identidad del triple producto escalar.
A #^ B C A B #^ C.
4-3. Dados los tres vectores no nulos A , B y C , demues-
tre que si A #^ ( B C ) 0, los tres vectores deben encon-
trarse en el mismo plano.
- 4-4. Dos hombres ejercen fuerzas de F 80 lb y P 50 lb sobre las cuerdas. Determine el momento de cada fuerza respecto de A. ¿De qué forma girará el poste, en el sentido de las manecillas del reloj o en el sentido contrario?
•4-5. Si el hombre en B ejerce una fuerza de P 30 lb sobre su cuerda, determine la magnitud de la fuerza F que el hombre en C debe ejercer para evitar que el poste gire, es decir, de manera que el momento resultante de ambas fuerzas con respecto a A sea cero.
- 4-8. El mango del martillo está sometido a la fuerza de F 20 lb. Determine el momento de esta fuerza respecto del punto A.
•4-9. Para poder sacar el clavo en B , la fuerza F ejercida sobre el mango del martillo debe producir un momento
en el sentido de las manecillas del reloj de 500 lb #^ pulg
respecto del punto A. Determine la magnitud requerida de la fuerza F.
4-10. El cubo de la rueda se puede unir al eje con excen- tricidad negativa (izquierda) o positiva (derecha). Si la llanta está sometida a cargas normal y radial como las que se muestran en la figura, determine en ambos casos el momento resultante de esas cargas con respecto al punto O localizado sobre el eje.
4.4 PRINCIPIO DE MOMENTOS 133
134 C APÍTULO 4 R ESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS
4-11. El elemento está sometido a una fuerza de F 6 kN. Si 45°, determine el momento producido por F respecto al punto A.
- 4-12. Determine el ángulo (0° … … 180°) de la fuer- za F de manera que produzca un momento máximo y un momento mínimo respecto al punto A. Además encuentre cuáles son las magnitudes de estos momentos máximo y mínimo.
•4-13. Determine el momento producido por la fuerza F respecto al punto A en términos del ángulo . Trace la grá- fica de M (^) A contra , donde 0° … … 180°.
A
6 m
1.5 m
u
F 6 kN
Probs. 4-11/12/
2 pulg
4 pulg
6 pulg 30
60
P 50 lb
F
A
Prob. 4-
100 mm
65 mm
200 mm
A
N (^) f 400 N
F t
5
Probs. 4-15/
60
6 pies
C
B
A
3 pies
3
4 5
F B
F A
Probs. 4-17/
4-14. Cuando un jugador de fútbol americano recibe un golpe en la protección facial de su casco, como se muestra en la figura, puede sufrir lesiones graves de cuello al acti- varse un mecanismo de guillotina. Determine el momento de la fuerza de la rodilla P 50 lb respecto del punto A. ¿Cuál sería la magnitud de la fuerza F del cuello, de mane- ra que hubiera un momento con respecto a A que equili- brara las fuerzas?
4-15. La fuerza del tendón de Aquiles de F (^) t 650 N se activa cuando el hombre trata de pararse sobre los dedos de sus pies. Cuando hace esto, cada uno de sus pies está sometido a una fuerza reactiva de Nf 400 N. Determine el momento resultante de F t y N f con respecto a la unión del tobillo A.
- 4-16. La fuerza del tendón de Aquiles F t se activa cuan- do el hombre trata de pararse sobre los dedos de sus pies. Cuando hace esto, cada uno de sus pies está sometido a una fuerza reactiva de N (^) t 400 N. Si el momento resultan- te producido por las fuerzas F t y N t con respecto a la unión del tobillo A debe ser cero, determine la magnitud de F t.
•4-17. Los dos muchachos empujan la reja con fuerzas de F (^) A 30 lb y F (^) B 50 lb como se muestra en la figura. Determine el momento de cada fuerza con respecto a C. ¿En qué forma girará la reja, en el sentido de las mane- cillas del reloj o en el sentido contrario? No considere el espesor de la reja.
4-18. Dos muchachos empujan la reja como se muestra en la figura. Si el muchacho situado en B ejerce una fuerza de F (^) B 30 lb, determine la magnitud de la fuerza F A que el ubicado en A debe ejercer para impedir que la reja gire. No considere el espesor de la reja.
4-43. Determine el momento producido por cada fuerza respecto del punto O localizado sobre la punta del taladro. Exprese los resultados como vectores cartesianos.
- 4-40. Determine el momento producido por la fuerza F B respecto al punto O. Exprese el resultado como un vec- tor cartesiano.
•4-41. Determine el momento producido por F C respec- to al punto O. Exprese el resultado como un vector carte- siano.
4-42. Determine el momento resultante producido por las fuerzas F B y F C respecto al punto O. Exprese el resulta- do como un vector cartesiano.
B 0.65 m
0.5 m
1.2 m
30
0.3 m
F
G
A
Probs. 4-34/35/
y
x
z
2 pies^ 1 pie
2 pies
A
3 pies O
F 2 { 10 i 30 j 50 k } lb
F 1 { 20 i 10 j 30 k } lb
Probs. 4-37/38/
y x
z
C O
A 6 m
3 m
2 m 2.5 m
FC 420 N FB 780 N
Probs. 4-40/41/
x
z
O A B
y
150 mm
600 mm
300 mm 150 mm
F A { 40 i 100 j 60 k } N
F B { 50 i 120 j 60 k } N
Prob. 4-
4-34. Con el propósito de sostener la carretilla en la posi- ción mostrada, la fuerza F debe producir un momento con
sentido inverso al de las manecillas del reloj de 200 N #^ m
con respecto al eje A. Determine la magnitud requerida de la fuerza F.
4-35. La carretilla y su contenido tienen una masa de 50 kg y un centro de masa en G. Si el momento resultante producido por la fuerza F y el peso con respecto al punto A debe ser igual a cero, determine la magnitud requerida de la fuerza F.
- 4-36. La carretilla y su contenido tienen una masa de 50 kg y un centro de masa en G. Si F 100 N y el momen- to resultante producido por la fuerza F y el peso con res- pecto al eje en A es igual a cero, determine la masa de la carretilla y su contenido.
•4-37. Determine el momento producido por F 1 respec- to del punto O. Exprese el resultado como un vector car- tesiano.
4-38. Determine el momento producido por F 2 respec- to al punto O. Exprese el resultado como un vector carte- siano.
4-39. Determine el momento resultante producido por las dos fuerzas respecto al punto O. Exprese el resultado como un vector cartesiano.
- 4-44. Una fuerza de F {6 i 2 j 1 k } kN produce un
momento de M O {4 i 5 j 14 k } kN #^ m respecto al ori-
gen de coordenadas, el punto O. Si la fuerza actúa en un punto que tiene una coordenada x de x 1 m, determine las coordenadas y y z.
4.4 PRINCIPIO DE MOMENTOS 137
138 C APÍTULO 4 R ESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS
4-50. Al maneral de la llave de torsión se aplica una fuer- za horizontal de 20 N en forma perpendicular. Determine la magnitud y los ángulos directores coordenados del momento producido por esta fuerza con respecto al pun- to O.
- 4-48. La fuerza F actúa en forma perpendicular al plano inclinado. Determine el momento producido por F con respecto al punto A. Exprese el resultado como un vector cartesiano.
•4-49. La fuerza F actúa en forma perpendicular al plano inclinado. Determine el momento producido por F con respecto al punto B. Exprese el resultado como un vector cartesiano.
4-47. La fuerza F {6 i 8 j 10 k } N produce un momento con respecto al punto O de M O { 14 i 8 j
2 k } N #^ m. Si esta fuerza pasa por un punto que tiene una
coordenada x de 1 m, determine las coordenadas y y z del punto. Además, teniendo en cuenta que MO Fd , deter- mine la distancia perpendicular d desde el punto O hasta la línea de acción de F.
400 mm
300 mm^ y
200 mm
250 mm
x
z
30
40
F 80 N
B
C
A
Probs. 4-45/
d
z
x
y O
y
1 m
z
P
F
M O
Prob. 4-
z
x (^) y
3 m
3 m
4 m
A
B (^) C
F 400 N
Probs. 4-48/
15
200 mm
75 mm
20 N
A
O
x
y
z
Prob. 4-
•4-45. El ensamble de tubos está sometido a la fuerza de 80 N. Determine el momento de esta fuerza con respecto al punto A.
4-46. El ensamble de tubos está sometido a la fuerza de 80 N. Determine el momento de esta fuerza con respecto al punto B.
PROBLEMAS
3 m
1.5 m
x 3 m
C
A B
G
F
y
z
O
D
F { 6 i 3 j 10 k } N
Probs. 4-51/
x
y
0.4 m
F { 60 i 20 j 15 k } N
30
z
0.25 m
Prob. 4-
4 pies
3 pies
2 pies
y
z
C
A
B F {4 i 12 j 3 k } lb
x
Probs. 4-54/
y
x
z
4 m
4 m
3 m
A
B
C
F { 20 i 10 j 15 k } N
Prob. 4-
•4-53. La herramienta se utiliza para cerrar las válvulas de gas con acceso difícil. Si se aplica la fuerza F a la mani- ja, determine la componente del momento creado con respecto al eje z de la válvula.
4-51. Determine el momento producido por la fuerza F con respecto a la diagonal AF del bloque rectangular. Exprese el resultado como un vector cartesiano.
4-52. Determine el momento producido por la fuerza F con respecto a la diagonal OD del bloque rectangular. Exprese el resultado como un vector cartesiano.
4-56. Determine el momento producido por la fuerza F con respecto al segmento AB del ensamble de tubos AB. Exprese el resultado como un vector cartesiano.
4-54. Determine la magnitud de los momentos de la fuer- za F con respecto a los ejes x , y , z. Resuelva el problema ( a ) mediante un método vectorial cartesiano, y ( b ) con un método escalar.
4-55. Determine el momento de la fuerza F con respecto a un eje que pasa por A y C. Exprese el resultado como un vector cartesiano.
4.5 M OMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE ESPECÍFICO 145
146 C APÍTULO 4 R ESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS
4-58. Si F 450 N, determine la magnitud del momento producido por esta fuerza con respecto al eje x.
4-59. La fricción en el manguito A puede proporcionar
un momento de resistencia máximo de 125 N #^ m con res-
pecto al eje x. Determine la magnitud máxima de la fuerza F que puede aplicarse de manera que el soporte no gire.
•4-57. Determine la magnitud del momento que ejerce la fuerza F con respecto al eje y de la flecha. Resuelva el problema con un método vectorial cartesiano y después con un método escalar.
- 4-60. Determine la magnitud del momento producido por la fuerza de F 200 N con respecto al eje que contiene las bisagras de la puerta (el eje x ).
200 mm
250 mm
45
B
x
z y
A
O
30
50 mm
F 16 N
Prob. 4-
x 300 mm
y
z
A (^) B
60 60
45
F
100 mm 150 mm
Probs. 4-58/
y
x
z
15
A
B
2.5 m
2 m
F 200 N
0.5 m
1 m
Prob. 4-
6 pies
4 pies
4 pies
6 pies
y
z
A
C
F D
B
6 pies
x Probs. 4-61/
•4-61. Si la tensión en el cable es F 140 lb, determine la magnitud del momento producido por esta fuerza con respecto al eje articulado CD , del panel
4-62. Determine la magnitud de la fuerza F en el cable
AB a fin de producir un momento de 500 lb #^ pie con res-
pecto al eje articulado CD , lo cual es necesario para man- tener al panel en la posición mostrada.
154 C APÍTULO 4 R ESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS
F4-23. Determine el momento de par resultante que ac- túa sobre el ensamble de tubos.
F4-24. Determine el momento de par que actúa sobre el ensamble de tubos y exprese el resultado como un vector cartesiano.
F4-19. Determine el momento de par resultante que ac- túa sobre la viga.
F4-22. Determine el momento de par resultante que ac- túa sobre la viga.
0.2 m
200 N
200 N
A
300 N 300 N
400 N 400 N
3 m 2 m
F4-
4 pies
4 pies (^) 4 pies
300 lb
200 lb
200 lb
300 lb
150 lb
150 lb
F4-
2 kN
2 kN
0.3 m
A
F
F
B
0.9 m
F4-
A (^) B
4 m
1 m
1 m
10 kN
10 kN
4
3 5
4 3
5
F4-
y
z
( M (^) c ) 3 300 lb pie
( M (^) c ) 1 450 lb pie
( Mc ) 2 250 lb pie
2 pies 2 pies
2 pies 1.5 pies
3.5 pies
x
F4-
B
0.4 m A
z
x^ y
FA 450 N
F (^) B 450 N
3
3
4
4
5
5
C
O
0.3 m
F4-
F4-21. Determine la magnitud de F de modo que el momento de par resultante que actúa sobre la viga sea de
1.5 kN #^ m en el sentido de las manecillas del reloj.
F4-20. Determine el momento de par resultante que ac- túa sobre la placa triangular.
PROBLEMAS FUNDAMENTALES
4-74. La rueda movible está sometida a los dos pares mostrados. Determine las fuerzas F que ejercen los cojine- tes sobre el árbol de manera que el momento de par resul- tante sobre la rueda sea cero.
- 4-72. Los efectos de fricción del aire sobre las aspas del ventilador de pedestal crean un momento de par de
MO 6 N #^ m sobre las aspas. Determine la magnitud de las
fuerzas de par en la base del ventilador de manera que el momento de par resultante sobre el ventilador sea igual a cero.
0.15 m 0.15 m
F F
M O
Prob. 4-
M 3
M 2
45
M 1 300 N m
Prob. 4-
40 mm
45 mm
100 mm
500 N
500 N
50 mm
F
F
A
B
Prob. 4-
A
B
F
F
2 pies
2 pies
2 pies
2 pies
150 lb
150 lb
3
3
4
4
5
5
2 pies
30
30
Probs. 4-75/
•4-73. Determine la magnitud requerida de los momen- tos de par M 2 y M 3 de forma que el momento de par resul- tante sea igual a cero.
4-75. Si F 200 lb, determine el momento de par resul- tante.
- 4-76. Determine la magnitud requerida de la fuerza F si el momento de par resultante sobre el marco es de
200 lb #^ pie, en el sentido de las manecillas del reloj.
PROBLEMAS
4.6 MOMENTO DE UN PAR 155
•4-85. Determine el momento del par resultante que actúa sobre la viga. Resuelva el problema de dos mane- ras: ( a ) sume los momentos con respecto al punto O ; y ( b ) sume los momentos con respecto al punto A.
4-83. Un dispositivo llamado rolamita se usa de varias maneras para reemplazar el movimiento deslizante por movimiento rodante. Si la banda, que está enrollada entre los rodillos, se encuentra sometida a una tensión de 15 N, determine las fuerzas reactivas N de las placas superior e inferior sobre los rodillos, de modo que el par resultante que actúa sobre los rodillos sea igual a cero.
4-86. Dos pares actúan sobre la viga en voladizo. Si F 6 kN, determine el momento del par resultante.
4-87. Determine la magnitud requerida de la fuerza F , si el momento del par resultante sobre la viga debe ser igual a cero.
- 4-84. Dos pares actúan sobre la viga como se muestra en la figura. Determine la magnitud de F de modo que el
momento del par resultante sea de 300 lb #^ pie en sentido
contrario al de las manecillas del reloj. ¿En qué punto de la viga actúa el momento del par resultante?
N
N
30
25 mm
A
B
25 mm
T 15 N
T 15 N
Prob. 4-
200 lb
200 lb
1.5 pies
F
4
(^53)
F
4 pies
4
(^53)
Prob. 4-
1.5 m 1.8 m
45
45
30
30
A
2 kN
2 kN 8 kN
B 0.3 m
8 kN
O
Prob. 4-
F
F 5 kN
5 kN
0.5 m
0.5 m
30
30 4
4
3
3
5
5
3 m
A
B
3 m
Probs. 4-86/
4.6 MOMENTO DE UN PAR 157
158 C APÍTULO 4 R ESULTANTES DE SISTEMAS DE FUERZAS
3 pies 60 lb
40 lb
40 lb
30
d
y
x
A
B 1 pie 30
3
4 5
4 pies
2 pies
3
4 5
60 lb
Probs. 4-88/89/
30
x
z
y
M 1
M 2
M 3
Probs. 4-91/
x
z
y
300 mm
200 mm
200 mm
300 mm
300 mm
F
F
Probs. 4-93/
y
y
x ¿
x
¿
25
M y
M x
Prob. 4-
•4.93. Si F 80 N, determine la magnitud y los ángulos directores coordenados del momento de par. El ensamble de tubos se encuentra en el plano x - y.
4-94. Si la magnitud del momento de par que actúa sobre
el ensamble de tubos es de 50 N #^ m, determine la magni-
tud de las fuerzas de par aplicadas en cada llave. El ensam- ble de tubos se encuentra en el plano x - y.
4-95. A partir de los cálculos de carga, se ha determina- do que el ala está sometida a momentos de par M x
17 kip #^ pie y M y 25 kip #^ pie. Determine los momentos
de par resultantes producidos con respecto a los ejes x ¿ y y ¿. Todos los ejes se encuentran en el mismo plano hori- zontal.
4-91. Si M 1 500 N #^ m, M 2 600 N #^ m y M 3 450 N #^ m,
determine la magnitud y los ángulos directores coorde- nados del momento de par resultante.
- 4-92. Determine la magnitud requerida de los momen- tos de par M 1 , M 2 y M 3 para que el momento de par resul-
tante sea M R {300 i 450 j 600 k } N #^ m.
- 4-88. Dos pares actúan sobre la estructura. Si el momen- to del par resultante debe ser igual a cero, determine la distancia d entre las fuerzas del par de 40 lb.
•4-89. Dos pares actúan sobre el bastidor. Si d 4 pies, determine el momento de par resultante. Para que calcule el resultado descomponga cada fuerza en componentes x y y. Además obtenga el resultado ( a ) al determinar el momento de cada par (ecuación 4-13) y ( b ) al sumar los momentos de todas las componentes de fuerza con respecto al punto A.
4-90. Dos pares actúan sobre el bastidor. Si d 4 pies, determine el momento de par resultante. Para que calcule el resultado descomponga cada fuerza en componentes x y y. Además obtenga el resultado ( a ) al determinar el momento de cada par (ecuación 4-13) y ( b ) al sumar los momentos de todas las componentes de fuerza con respecto al punto B.
