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TEMA II.2 CINÉTICA DE PARTÍCULAS.
SEGUNDA LEY DE NEWTON
1.- Ley de inercia. Sistema de referencia inercial
El movimiento de las partículas es resultado de las interacciones con los cuerpos que les rodean. El concepto matemático asociado a estas interacciones se denomina fuerza.
Un sistema de referencia (S.R.) es inercial, absoluto o newtoniano cuando su centro de referencias está en reposo o se mueve con movimiento uniforme respecto a otro sistema de referencia absoluto, es decir, fijo.
Consideraremos que un S.R. es inercial si su centro de referencia coincide con el c.d.m. del sistema solar o se mueve con movimiento uniforme respecto a él, y sus ejes tienen una orientación fija respecto a las estrellas. Aún así, para la mayoría de casos consideraremos la Tierra como S.R.I.
La primera ley de Newton (un objeto en reposo o en movimiento con velocidad constante continuará en dicho estado a menos que sobre él actúe una fuerza externa) no se cumple en todos los S.R.
Sea un libro sobre una mesa de aire (μ = 0) y ésta sobre una vagoneta de ferrocarril y sean S: Oxyz y S’: O’x’y’z’ sendos S.R. solidarios a la vía y a la vagoneta, respectivamente.
O’
y’
x’ O
y
x
v
Si la vagoneta se mueve con v = cte hacia la derecha, el libro continúa en reposo respecto a la mesa, es decir, respecto al sistema S’ y se mueve con v = cte respecto al suelo, es decir, respecto al sistema S. De acuerdo con el principio de inercia, el libro continuará con movimiento uniforme respecto al sistema S o permanecerá en reposo respecto al S’ salvo que actúe sobre él una fuerza neta.
O
y
x
a
y’
x’
Si la vagoneta acelera con a = cte respecto a la vía, el libro permanecerá en reposo respecto a la vía, sistema S, pero se moverá con –a respecto a la vagoneta, sin que actúe fuerza alguna sobre él, luego la primera
Existen en la naturaleza cuatro tipos de fuerzas:
a) La fuerza gravitatoria
b) La fuerza electromagnética
c) La fuerza nuclear fuerte (hadrónica)
d) La fuerza nuclear débil
La definición operacional de la masa gravitacional en reposo está basada en la balanza de brazos iguales. Si se colocan dos cuerpos distintos en los platillos, se dice que tienen masas iguales si la balanza permanece en equilibrio.
Para definir la masa inercial se considera un sistema formado por dos partículas, aislado del resto del universo, interaccionando mutuamente. Si se mide el momento lineal en instantes distintos, siempre se encuentra
p = p’ ⇒ p 1 + p 2 = p’ 1 + p’ 2 = cte ⇒ dp 1 + dp 2 = 0 ⇒ dp 1 = -dp 2 ⇒ F 1 = -F 2 ⇒
Cuando dos partículas interactúan, la fuerza sobre una partícula es igual y opuesta a la fuerza sobre la otra (principio de acción y reacción).
La expresión dp 1 = -dp 2 se usa para definir la masa inercial. Si el intervalo de tiempo es finito
∆p 1 = - ∆p 2 ⇒ m 2 / m 1 = - ∆v 1 / ∆v (^2)
Sin embargo, no se ha encontrado ninguna diferencia entre los dos métodos de medición de masa. Se define la relación entre ambas masas
k = mg /m = masa gravitacional / masa inercial
Escogiendo adecuadamente las unidades de m (^) g se puede hacer k = 1 ⇒ no haremos distinción entre masa inercial y masa gravitatoria.
Si una partícula de masa m interactúa con otras partículas de masas m 1 , m 2 , m 3 ..., cada una produce un cambio en el momento lineal caracterizado por las fuerzas F 1 , F 2 , F 3 ..., luego el cambio total del momento será
dp/dt = F 1 + F 2 + F 3 + ... = F
La resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula es igual a la derivada temporal de su momento lineal.
Teorema de conservación del momento lineal : si la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula es nula, el momento lineal permanece constante.
fuerza es
I = F .∆t
Luego el impulso de una fuerza es de su misma dirección y sentido.
Si la fuerza es variable, se divide el intervalo de tiempo en períodos tan pequeños que en ellos la fuerza pueda considerarse constante y el impulso es dI = F.dt y el impulso total será la suma de los infinitos impulsos elementales
Ecuación de dimensiones: [I] = M.^ L.T-1^ = [p]
Si actúan n fuerzas sobre la partícula, el impulso producido por la resultante es igual a la suma de los impulsos de cada una de las fuerzas
t
t
z
t
t
y
t
t
x
t
t (^0000)
I Fdt i F dt j F dt k F dt
F dt F dt F dt
n i 1
t
t
i
t
t
n i 1
i
t
t (^000)
∫ = ∫ ∑ =^ ∑ ∫
= = Teorema del Impulso: el impulso de una fuerza es igual a la variación del momento lineal de la partícula.
v
v
0
t
t
t
t
t
t (^0000)
dt mdv mv -mv dt
dv I Fdt madt m
4.- Ecuaciones del movimiento
La ecuación fundamental F = dp/dt = m.^ a, se puede sustituir por ecuaciones escalares equivalentes.
a) Componentes rectangulares
b) Componentes tangencial y normal
x x y y z z
x y z x y z F ma F ma F ma
F F i F j F k m(a i a j a k) ∑ = ∑ = ∑^ =
T T N N
T T N N T T N N F ma F ma
F F u F u m(a u a u ) ∑ = ∑^ =
La fuerza tangencial es la responsable del cambio del módulo de la velocidad y la fuerza normal del la variación de la dirección de dicha velocidad.
5.- Equilibrio dinámico
La segunda ley sólo es válida si la aceleración se mide desde un S.R.I.
Los observadores no inerciales deben introducir fuerzas ficticias o pseudofuerzas para poder usarla.
En los sistemas de referencia asociados a la Tierra, a causa de su rotación , se deben tener en cuenta estas pseudofuerzas. En meteorología, las fuerzas de Coriolis son las responsables del hecho de que los ciclones , vistos desde arriba, tengan sentido antihorario en el hemisferio norte y horario en el sur.
En general, si un observador no inercial se mueve con aceleración a , (cuestión 9, apdo b) i) Tema II.1)
F m A mA' m a
A' A-a dt
dv
dt
dV dt
dV' V' V- v
⇒∑ = = +
∑F^ −ma=m^ A'
Donde A y A’ son las aceleraciones de la partícula medidas por el observador inercial y no inercial, respectivamente.
el vector de inercia correspondiente será - m a y sus efectos son reales para el observador acelerado.
v = cte
N mg
N mg
N mg
mvx mvy mvz
x y z
i j k H (^) o = r ∧p =r ∧mv =
6.- Momento angular de una partícula
El momento angular de una partícula, respecto a un punto O, Ho , es el momento respecto a O del momento lineal de la partícula.
H ox =m (yv z -zvy)
x y
O
z p
r
ϕ
H o H oy =m( zvx - xvz)
H oz =m (xv y -yvx)
Módulo: H^ o =^ rmvsen^ ϕ Dirección: perpendicular al plano determinado por r y p. Sentido: avance de la rosca universal llevando a coincidir r sobre p por el camino más corto.
Si el movimiento de la partícula es plano ⇒z = 0, vz = 0 ⇒ Hox = 0 , Hoy = 0 , Hoz = m (xv (^) y - yv (^) x )
La derivada temporal del momento angular, respecto a O, de la partícula es igual al momento resultante de las fuerzas que actúan sobre ella respecto a dicho punto O.
7.- Movimiento producido por una fuerza central. Teorema de conservación del momento angular
Cuando las fuerzas que actúan sobre una partícula contienen en su línea de acción a un punto fijo O, se dice que son centrales y al punto O se le llama centro de fuerzas.
En este caso, el momento resultante, respecto a O, es nulo y, por lo tanto,
0 H cte dt
dH o o (^) = ⇒ =
es decir, cuando todas las fuerzas que actúan sobre la partícula son centrales, el momento angular respecto al centro de fuerzas es una constante del movimiento. Entonces, ya que Ho no cambia su dirección, los vectores r y v están siempre en el mismo plano ⇒ la trayectoria de la partícula es plana.
La velocidad areolar es el área barrida por el radio vector de posición de la partícula por unidad de tiempo.
P
P’
r + dr r O dθ
= r d θ 2
dA 2
dt
d r 2
dt
dA v (^) areolar^2 θ = =
Como el momento angular respecto al centro de fuerzas es una constante del movimiento ⇒ su módulo no varía ⇒ según la expresión (1)
v cte dt
d r 2
cte dt
d H (^) o mr^22 = areolar = θ = ⇒ θ =
Bajo la acción de fuerzas centrales la velocidad areolar de la partícula permanece constante , es decir, el radio vector de la partícula barre áreas iguales en tiempos iguales (ley de las áreas).
8.- Ley de la gravitación universal de Newton
La interacción gravitacional entre dos cuerpos puede expresarse por una fuerza de atracción central directamente proporcional a las masas de los dos cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa sus centros.
La intensidad de la gravedad a una altura h sobre la superficie terrestre, g, es, en módulo
( R h)
M
g G 2 T
T
Dividiendo (3) y (2)
R h
R
R
M
G
R h
M
G
g
g 2 T
2 T
2 T
T
2 T
T
o
( R h)
R
g g 2 T
2 T o
Por lo tanto, se puede afirmar que la gravedad disminuye con la altitud. Variación de la gravedad con la latitud Debido a la condición de la tierra como sistema de referencia no inercial, la intensidad de la gravedad se ve afectada por la rotación terrestre. Las aceleraciones medidas por un observador en reposo, a, y por otro con movimiento de rotación uniforme, a’, están relacionadas según la expresión
a' =a− 2 ω∧ v'−ω∧(ω∧r) donde ω es la velocidad de rotación del observador no inercial y v’ es la velocidad medida por este último (apartado 9 b) ii), tema II.1). En el caso de un cuerpo en reposo respecto a la Tierra, v’ = 0, y siendo g: gravedad medida por un observador en la Tierra g (^) o : gravedad medida por un observador en reposo g =go −ω∧(ω∧ r)
En un punto cualquiera de latitud α, la gravedad aparente no es de dirección radial sino que tiene una desviación respecto a ésta. Llamando
r = RT cos α
α R^ T − ω ∧ ω ∧^ G^ (^ G^ r)G^ = ω^2 R^ T cos α
g (^) oP g (^) o
ω r −ω∧( ω∧ r)
N
S
Verticaldel lugar
g (^) oE
Hemisferio Norte Hemisferio Sur
Fc = mω^2 RT cos α N S
Vertical del lugar
mg (^) o
Fc
mg
α
β
N S
Vertical del lugar
mg (^) o
Fc
mg
α
β
En el hemisferio Norte, el peso aparente se desvía hacia el sur y a la inversa en el hemisferio Sur.
respecto al sol barre áreas iguales de la elipse en intervalos de tiempo iguales (ley de las áreas). 3ª ley.- El cuadrado del período orbital de cualquier planeta es proporcional al cubo de la distancia media de ese planeta al sol. La demostración de la primera ley requiere consideraciones energéticas (tema II.3). La segunda es un caso particular de la ley de las áreas, válida para las partículas que se mueven bajo la acción de fuerzas centrales y la interacción gravitatoria lo es. La tercera ley se deduce considerando circular la órbita descrita por los planetas, cuyo radio es la distancia media de cada planeta al sol y el movimiento uniforme. Aplicando la segunda ley en la dirección normal a la trayectoria,
R
m v R
G M m F ma
2 p 2
S p ∑ N = N ⇒ =
donde G: constante de gravitación universal M (^) S : masa del sol, m (^) p : masa del planeta R: distancia media del planeta al sol v: velocidad orbital = 2πR/T
π
R
m 2 R/T R
G M m p^2 2
S p
π ⇒ = π ⇒ = S
2 3 2 2
2 2
S G M
4 R
T
T
4 R
R
G M
S
2 2 3 G M
T K R K
π ⇒ = =
donde la constante K es independiente del planeta.
