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José Luis Martensen Arce.

Estática

5.5 D IAGRAMAS DE CUERPO LIBRE 245

5

EQUILIBRIO EN TRES DIMENSIONES

5.5 Diagramas de cuerpo libre

El primer paso para resolver problemas tridimensionales de equilibrio, como en el caso de los bidimensionales, consiste en trazar un diagrama de cuerpo libre. Sin embargo, antes de demostrarlo, es necesario analizar los tipos de reacción que suelen presentarse en los soportes.

Reacciones de soporte. En la tabla 5-2, se muestran las fuerzas y

los momentos de par reactivos que actúan en varios tipos de soportes y conexiones, cuando los elementos se ven en tres dimensiones. Es impor- tante reconocer los símbolos utilizados para representar cada uno de esos soportes y entender claramente cómo se desarrollan las fuerzas y los mo- mentos de par. Al igual que en el caso bidimensional:

r
Una fuerza^ se desarrolla mediante un^ soporte que restringe la trasla- ción de su elemento conectado.

r
Un momento de par^ se desarrolla cuando^ se evita la rotación del elemento conectado.

Por ejemplo, en la tabla 5-2, la junta (4) de rótula esférica impide cualquier traslación del elemento conectado; por lo tanto, una fuerza debe actuar en el elemento en el punto de conexión. Esta fuerza tiene tres componentes con magnitudes desconocidas F (^) x , F (^) y , F (^) z. Si se cono- cen esas componentes, se puede obtener la magnitud de la fuerza, F = 2 F (^) x^2 + F (^) y^2 + F (^) z^2 , y la orientación de la fuerza está definida por los ángulos directores coordenados Å, ı, ˝, ecuaciones 2-5.* Dado que el ele- mento conectado puede girar libremente con respecto a cualquier eje, ninguna junta de rótula esférica resiste momento de par alguno. Debería observarse que en los soportes de chumacera (5) y (7), el pasa- dor (8) y la bisagra (9) deben resistir componentes tanto de fuerza como de momento de par. Sin embargo, si esos soportes se usan junto con otras chumaceras, pasadores o bisagras para mantener un cuerpo rígido en equilibrio, y los soportes están alineados adecuadamente cuando se conec- tan al cuerpo, entonces las reacciones de fuerza en esos soportes pueden por sí solas ser adecuadas para soportar el cuerpo. En otras palabras, los momentos de par se vuelven redundantes y no se muestran en el diagra- ma de cuerpo libre. La razón de esto se aclara después de estudiar los siguientes ejemplos.

• Las tres incógnitas también se pueden representar como una magnitud de fuerza des- conocida F y dos ángulos directores coordenados desconocidos. El tercer ángulo director se obtiene con la identidad cos^2 Å  cos^2 ı  cos^2 ˝ 1, ecuación 2-8.

246 C A P Í T U L O 5 E Q U I L I B R I O D E U N C U E R P O R Í G I D O

5

6KRQUFGEQPGZKÏP 4GCEEKÏP 0ÖOGTQFGKPEÏIPKVCU

continúa

Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa alejándose del elemento en la dirección conocida del cable.

Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa perpendicularmente a la superficie en el punto de contacto.

Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa perpendicularmente a la superficie en el punto de contacto.

Tres incógnitas. Las reacciones son tres componentes rectangulares de fuerza.

Cuatro incógnitas. Las reacciones son dos componentes de fuerza y dos componentes de momento de par que actúan perpendicularmente al eje. Nota: Por lo general , los momentos de par no se aplican si el cuerpo está soportado en cualquier otro punto. Vea los ejemplos.

F

F

F

F z

F^ F y x

chumacera simple

F z F x

M z

M x

(1)

cable

(2)

(3)

rueda

rótula esférica

(4)

(5)

superficie lisa

TABLA 5-2 Soportes para cuerpos rígidos sometidos a sistemas de fuerzas tridimensionales

248 C A P Í T U L O 5 E Q U I L I B R I O D E U N C U E R P O R Í G I D O

5

En la siguiente serie de fotografías, se muestran ejemplos típicos de so- portes reales, cuyas referencias están en la tabla 5-2.

Diagramas de cuerpo libre. El procedimiento general para es-

tablecer el diagrama de cuerpo libre de un cuerpo rígido se bosquejó en la sección 5.2. En esencia, se requiere primero “aislar” el cuerpo por me- dio del delineado de su contorno. A esto sigue una cuidadosa rotulación de todas las fuerzas y momentos de par con referencia a un sistema de coordenadas x , y , z establecido. Como regla general, se sugiere mostrar las componentes de reacción con magnitud desconocida en cuanto actúan en el diagrama de cuerpo libre en sentido positivo. De este modo, si se obtienen valores negativos, ello indicará que las componentes actúan en las direcciones coordenadas negativas.

Esta junta de rótula esférica proporciona una conexión para la caja de una máqui- na niveladora de tierra con su bastidor. (4) (© Russell C. Hibbeler)

Estas chumaceras simples soportan los extremos de la flecha. (5) (© Russell C. Hibbeler)

Esta chumacera de empuje se utiliza para soportar la flecha impulsora de una má- quina. (7) (© Russell C. Hibbeler)

Este pasador se usa para soportar el ex- tremo del tirante usado en un tractor. (8) (© Russell C. Hibbeler)

5.5 D IAGRAMAS DE CUERPO LIBRE 249

5

EJEMPLO 5.

Considere las dos barras y la placa, junto con sus diagramas de cuerpo libre asociados que se muestran en la figura 5-23. Los ejes x , y , z se es- tablecen en el diagrama y las componentes de reacción desconocidas están indicadas con sentido positivo. El peso de los objetos no se con- sidera.

SOLUCIÓN

Fig. 5-

45 N m

500 N

A

B

C 45 N m

500 N

B z

B x

C x

C y

x A y y A z

z

Chumaceras en A , B , C , alineadas apropiadamente.

Las reacciones de fuerza desarrolladas mediante las chumaceras son suficientes para obtener el equilibrio, ya que impiden que la flecha gire con respecto a cada uno de los ejes de coordenadas. No se desarrollan mo- mentos de par en ninguna de las chumaceras.

C

A

300 lb B

Pasador en A y cable BC.

200 lb ft x

300 lb B

y

A z

z

M A z

M Ax A x A y

T

Mediante el pasador colocado sobre la varilla, se desarrollan componentes de momento, para impedir rotaciones con respecto a los ejes x y z.

400 lb

A

B

C

Chumacera alineada apropiadamente en A y bisagra en C. Rodillo en B.

A x

400 lb

B z

z

x y

A z

C x

C z

C y

Mediante la chumacera y la bisagra colocadas sobre la placa, se desarrollan sólo reacciones de fuerza, para im- pedir rotaciones con respecto a cada eje de coordena- das. En la bisagra no se desarrolla ningún momento.

5.7 R ESTRICCIONES Y DETERMINACIÓN ESTÁTICA 251

5

5.7 Restricciones y determinación

estática

Para asegurar el equilibrio de un cuerpo rígido, no sólo es necesario satis- facer las ecuaciones de equilibrio, sino que el cuerpo también debe estar sostenido o restringido adecuadamente por sus soportes. Algunos cuerpos pueden tener más soportes que los necesarios para el equilibrio, mientras que otros quizá no tengan suficientes o estén colocados de tal manera que ocasionen el movimiento del cuerpo. A continuación se analiza cada uno de esos casos.

Restricciones redundantes. Cuando un cuerpo tiene soportes re-

dundantes, es decir, más de los necesarios para mantenerlo en equili- brio, se vuelve estáticamente indeterminado , lo cual s ignifica que habrá más cargas desconocidas sobre el cuerpo, que ecuaciones de equilibrio disponibles para su solución. Por ejemplo, la viga de la figura 5-24 a , y el ensamble de tubos de la figura 5-24 b , que se muestran junto con sus dia- gramas de cuerpo libre, son estáticamente indeterminados debido a las reacciones adicionales (o redundantes) en los soportes. Para la viga hay cinco incógnitas, MA , Ax , Ay , By y Cy , para las cuales sólo se pueden escribir tres ecuaciones de equilibrio (S Fx 0, S Fy 0 y S MO 0, ecuaciones 5-2). El ensamble de tubos tiene ocho incógnitas, para las cuales únicamente se pueden escribir seis ecuaciones de equilibrio, ecuaciones 5-6. Las ecuaciones adicionales necesarias para resolver problemas estática- mente indeterminados del tipo que se muestra en la figura 5-24 se obtie- nen generalmente a partir de las condiciones de deformación presentes en los puntos de soporte. Estas ecuaciones implican las propiedades físi- cas del cuerpo que se estudian en temas relacionados con la mecánica elástica, como la “mecánica de materiales”*.

• Vea R. C. Hibbeler, Mecánica de materiales , 8a. ed., Pearson Educación.

Fig. 5-

500 N

B C

A

2 kN m

500 N

2 kN m

A x

A y

M A B y C y (a)

x

y

B

A

400 N

200 N

400 N

200 N

A y

A z

B x B y M x M y

B z

M z

(b)

y

z

x

252 C A P Í T U L O 5 E Q U I L I B R I O D E U N C U E R P O R Í G I D O

5

Restricciones impropias. Cuando se tienen tantas fuerzas de reac-

ción desconocidas como ecuaciones de equilibrio, no siempre se ga- rantiza que un cuerpo se encuentre estable cuando se somete a una carga específica. Por ejemplo, el soporte de pasador en A y el soporte de rodillo en B para la viga, de la figura 5-25 a , están colocados de tal modo que las líneas de acción de las fuerzas de reacción son concurrentes en un punto A. En consecuencia, la carga P aplicada ocasionará que la viga gire un po- co con respecto a A , por lo que la viga está impropiamente restringida, S M (^) A z 0. En tres dimensiones, un cuerpo estará impropiamente restringido si las líneas de acción de todas las fuerzas de reacción intersecan un eje común. Por ejemplo, las fuerzas de reacción en los soportes de rótula esférica, ubicados en los puntos A y B de la figura 5-25 b , intersecan el eje que pasa por A y B. Como los momentos de estas fuerzas con respecto a A y B son todos iguales a cero, entonces la carga P hará que el elemento gire con res- pecto al eje AB , S M (^) AB z 0.

Fig. 5-

A B

F B

A y

A x A

P P

(a)

A

A z B z

A x B x A y B y

z

x

B

y

A

z

x

B

y

P P

(b)

254 C A P Í T U L O 5 E Q U I L I B R I O D E U N C U E R P O R Í G I D O

5

Puntos importantes

r Al resolver cualquier problema de equilibrio, siempre trace primero el dia-

grama de cuerpo libre.

r Si un soporte evita la traslación de un cuerpo en una dirección específica,

entonces el soporte ejerce una fuerza sobre el cuerpo en esa dirección.

r Si un soporte evita la rotación con respecto a un eje , entonces el soporte ejer-

ce un momento de par sobre el cuerpo con respecto al eje.

r Si un cuerpo está sometido a más reacciones desconocidas que ecuaciones de

equilibrio disponibles, entonces el problema es estáticamente indeterminado.

r Un cuerpo estable requiere que las líneas de acción de las fuerzas de reacción

no intersequen un eje común y no sean paralelas entre sí.

Procedimiento para el análisis

Los problemas de equilibrio tridimensional para un cuerpo rígido pueden resolverse mediante el siguiente procedimiento. Diagrama de cuerpo libre

s Trace el contorno del cuerpo.

s Muestre todas las fuerzas y los momentos de par que actúan sobre el cuerpo.

s Establezca el origen de los ejes x , y , z en un punto conveniente, y oriente

los ejes de manera que sean paralelos a las fuerzas y a los momentos exter- nos tanto como sea posible.

s Rotule todas las cargas y especifique sus direcciones. En general, muestre

todas las componentes desconocidas con un sentido positivo a lo largo de los ejes x , y , z.

s Indique las dimensiones del cuerpo necesarias para calcular los momentos

de las fuerzas. Ecuaciones de equilibrio

s Si las componentes x , y , z de fuerza y momento parecen fáciles de determi-

nar, entonces aplique las seis ecuaciones escalares de equilibrio; de otra manera, use las ecuaciones vectoriales.

s No es necesario que el conjunto de ejes seleccionados para la sumatoria de

fuerzas coincida con el conjunto de ejes elegidos para la sumatoria de mo- mentos. En realidad, para realizar la suma de fuerzas y momentos puede ele- girse un eje en cualquier dirección arbitraria.

s Elija la dirección de un eje para la suma de momentos, de manera que in-

terseque la línea de acción de las fuerzas desconocidas tanto como sea posible. Tenga en cuenta que los momentos de las fuerzas que pasan por los puntos sobre este eje y los momentos de las fuerzas que son paralelas al eje serán iguales a cero.

s Si la solución de las ecuaciones de equilibrio da como resultado un escalar

negativo para una magnitud de fuerza o de momento de par, esto indica que el sentido es contrario al supuesto en el diagrama de cuerpo libre.

5.7 R ESTRICCIONES Y DETERMINACIÓN ESTÁTICA 255

5

EJEMPLO 5.

La placa homogénea que se muestra en la figura 5-28 a tiene una masa de 100 kg y está sometida a una fuerza y a un momento de par a lo largo de sus bordes. Si está soportada en el plano horizontal mediante un rodillo en A , una rótula esférica en B y una cuerda en C , determine las componentes de reacción en estos soportes.

SOLUCIÓN ( ANÁLISIS ESCALAR ) Diagrama de cuerpo libre. Hay cinco reacciones desconocidas que actúan sobre la placa, como se indica en la figura 5-28 b. Se supo- ne que cada una de esas reacciones actúa en una dirección coorde- nada positiva.

Ecuaciones de equilibrio. Como la geometría tridimensional es bastante sencilla, un análisis escalar proporciona una solución directa a este problema. Una suma de fuerzas a lo largo de cada eje resulta en

Fx 0; Bx 0

Fy 0; By 0

Fz 0; Az + Bz + TC - 300 N - 981 N 0 (1)

Recuerde que el momento de una fuerza con respecto a un eje es igual al producto de la magnitud de la fuerza y la distancia perpendicu- lar (brazo de momento) desde la línea de acción de la fuerza hasta el eje. Asimismo, las fuerzas que son paralelas a un eje o pasan por él no generan momento con respecto al eje. Por consiguiente, al sumar mo- mentos con respecto a los ejes x y y positivos, tenemos

Mx = 0; TC (2 m) - 981 N(1 m) + Bz (2 m) = 0 My = 0; 300 N(1.5 m) + 981 N(1.5 m) - Bz (3 m) - Az (3 m)

• 200 N #^ m = 0

Las componentes de la fuerza en B se pueden eliminar si los momen- tos se suman con respecto a los ejes x ¿ y y ¿. Obtenemos

Mx = 0; 981 N(1 m) + 300 N(2 m) - Az (2 m) = 0

My = 0; - 300 N(1.5 m) - 981 N(1.5 m) - 200 N #^ m

• TC (3 m) = 0

Resolver las ecuaciones 1 a 3, o las más convenientes 1, 4 y 5, da co- mo resultado Az = 790 N Bz = - 217 N TC = 707 N (^) Resp.

El signo negativo indica que B z actúa hacia abajo. NOTA: La solución de este problema no requiere el uso de una sumato- ria de momentos con respecto al eje z. La placa está parcialmente res- tringida, ya que los soportes no pueden impedir que gire con respecto al eje z , si se aplica una fuerza en el plano x - y.

Resp.

Resp.

Fig. 5-

A

B

C

200 N m

1.5 m

2 m

3 m

(a)

300 N

200 N m

1.5 m

1.5 m y

x y ¿

1 m

1 m A z B z

B x B y

z

z¿

981 N (^) T C

(b)

300 N

x

5.7 R ESTRICCIONES Y DETERMINACIÓN ESTÁTICA 257

5

EJEMPLO 5.

El pescante se usa para sostener la maceta de 75 lb que se ilustra en la figura 5-30 a. Determine la tensión desarrollada en los alambres AB y AC.

SOLUCIÓN ( ANÁLISIS VECTORIAL )

Diagrama de cuerpo libre. En la figura 5-30 b , se muestra el diagra- ma de cuerpo libre del pescante.

Ecuaciones de equilibrio. Aquí, las fuerzas de los cables están diri- gidas de manera que forman ángulos con los ejes de coordenadas, por lo que usaremos un análisis vectorial.

F AB = FAB a

r AB rAB

b = FAB a

5 2 i - 6 j + 3 k 6 ft

2 (2 ft)^2 + (-6 ft)^2 + (3 ft)^2

b

= 27 FAB i - 67 FAB j + 37 FAB k

F AC = FAC a

r AC rAC

b = FAC a

5 - 2 i - 6 j + 3 k 6 ft

2 (-2 ft)^2 + (-6 ft)^2 + (3 ft)^2

b

= - 27 FAC i - 67 FAC j + 37 FAC k

Podemos eliminar la reacción de la fuerza en O escribiendo la ecua- ción de equilibrio del momento con respecto al punto O.

M O = 0 ; r A * ( F AB + F AC + W ) = 0

(6 j ) * c a 27 FAB i - 67 FAB j + 37 FAB k b + a - 27 FAC i - 67 FAC j + 37 FAC k b + (- 75 k )d = 0

a 187 FAB + 187 FAC - 450

b i + a - 127 FAB + 127 FAC b k = 0

Mx = 0; 187 FAB + 187 FAC - 450 = 0

My = 0; 0 = 0

Mz = 0; - 127 FAB + 127 FAC = 0 (2)

Al resolver simultáneamente las ecuaciones (1) y (2),

F (^) AB FAC 87.5 lb Resp.

B

A

(b)

6 ft

x y

O

z

3 ft

2 ft

2 ft

W 75 lb

O z

O y O x

C

r A

F AB F AC

x y

O (^) A

z

6 ft

(a)

3 ft

2 ft

2 ft

B

C

Fig. 5-

258 C A P Í T U L O 5 E Q U I L I B R I O D E U N C U E R P O R Í G I D O

5

EJEMPLO 5.

Fig. 5-

1.5 m

2 m

200 N

1.5 m

2 m

E

A

B

D

C

(a)

1 m

200 N

y

B

C

x

z

r B

r C

T D T E

A z A A y A x

(b)

La varilla AB que se muestra en la figura 5-31 a está sometida a la fuer- za de 200 N. Determine las reacciones en la junta de rótula esférica A y la tensión en los cables BD y BE. El collarín en C está fijo a la varilla.

SOLUCIÓN ( ANÁLISIS VECTORIAL ) Diagrama de cuerpo libre. Figura 5-31 b.

Ecuaciones de equilibrio. Al representar cada fuerza del diagrama de cuerpo libre en forma vectorial cartesiana, tenemos F A = Ax i + Ay j + Az k T E = TE i T D = TD j

F = 5 - 200 k 6 N

Al aplicar la ecuación de equilibrio de fuerzas: F = 0 ; F A + T E + T D + F = 0 ( Ax + TE ) i + ( Ay + TD ) j + ( Az - 200) k = 0 Fx = 0; Ax + TE = 0 (1) Fy = 0; Ay + TD = 0 (2) Fz = 0; Az - 200 = 0 (3) Al sumar momentos con respecto al punto A, resulta

M A = 0 ; r C * F + r B * ( T E + T D ) = 0 Como r C = 12 r B , entonces (0.5 i + 1 j - 1 k) * ( - 200 k) + ( 1 i + 2 j - 2 k) * ( TE i + TD j) = 0

Al desarrollar y reordenar términos se obtiene

(2 TD - 200) i + ( - 2 TE + 100) j + ( TD - 2 TE ) k = 0 Mx = 0; 2 TD - 200 = 0 (4) My = 0; - 2 TE + 100 = 0 (5) Mz = 0; TD - 2 TE = 0 (6)

Si resolvemos las ecuaciones 1 a 5, obtenemos

TD 100 N Resp. TE 50 N Resp. Ax 50 N Resp. Ay 100 N Resp. Az 200 N Resp.

NOTA: El signo negativo indica que A x y A y tienen un sentido que es opuesto al que se muestra en el diagrama de cuerpo libre (fig. 5-31 b ). Además, observe que las ecuaciones 1 a 6 pueden establecerse directa- mente utilizando un análisis escalar.

260 C A P Í T U L O 5 E Q U I L I B R I O D E U N C U E R P O R Í G I D O

5

PROBLEMAS PRELIMINARES

P5-2. Dibuje el diagrama de cuerpo libre de cada objeto. P5-3. En cada caso, escriba las ecuaciones de momento con respecto a los ejes x , y y z.

5.7 R ESTRICCIONES Y DETERMINACIÓN ESTÁTICA 261

5

Todas las soluciones a los problemas deben incluir un DCL.

F5-7. La placa uniforme tiene un peso de 500 lb. Determine la tensión en cada uno de los cables de soporte.

z A

B C

y

x

200 lb

3 ft

2 ft

2 ft

Prob. F5-

F5-8. Para la placa que se muestra en la figura, determine las reacciones del soporte de rodillo A , la junta de rótula esférica D y la tensión en el cable BC.

x y

D

B

C

A

z

0.4 m 0.5 m

900 N 600 N

0.4 m 0.3 m

0.1 m

0.2 m

Prob. F5-

F5-9. La varilla se sostiene mediante chumaceras lisas en A , B y C y está sometida a las dos fuerzas indicadas. Determine las reacciones de los soportes.

z

x y

A

B D

C

0.6 m^ 600N^ 400 N 0.6 m (^) 0.6 m

0.4 m

Prob. F5-

F5-10. Determine las reacciones de soporte en las chu- maceras lisas A , B y C del ensamble de tubos.

z

x

y

0.6 m

0.6 m 0.6 m

450 N

0.4 m A

B

C

Prob. F5-

F5-11. Determine la fuerza desarrollada del eslabón cor- to BD , la tensión en las cuerdas CE y CF , así como las reacciones de la junta de rótula esférica A sobre el bloque.

x

3 m 6 kN 9 kN

1.5 m

4 m

C

A

B

E

y

z

D F

Prob. F5-

F5-12. Determine las componentes de reacción que ejercen la chumacera de empuje A y el cable BC sobre la barra.

F 80 lb

x

y

z

B D

C A

1.5 ft

6 ft 1.5 ft

Prob. F5-

PROBLEMAS FUNDAMENTALES