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Capítulo 2
Estática de fluidos
Contenido
2.1 Presión en un punto: Ley de Pascal ............................................. 23
2.2 Variación de la presión en un fluido en reposo ............................. 24
2.2.1 Fluido incompresible ........................................................... 25
2.2.2 Fluido compresible .............................................................. 27
2.3 Presiones manométrica y absoluta ............................................... 29
2.4 Atmósfera estándar....................................................................... 29
2.5 Medida de la presión – manómetros ............................................. 32
2.5.1 Manómetro de Bourdon ...................................................... 32
2.5.2 Transductor de presión ....................................................... 32
2.5.3 Columna piezométrica ........................................................ 33
2.5.4 Manómetro simple............................................................... 34
2.5.5 Manómetros diferenciales ................................................... 35
2.6 Fuerzas hidrostáticas sobre superficies sumergidas .................... 35
2.6.1 Fuerzas hidrostáticas sobre una superficie plana sumergida.
2.6.2 Fuerzas hidrostáticas sobre una superficie curva sumergida.
2.7 Flotación y estabilidad .................................................................. 42
2.8 Bibliografía .................................................................................... 46
Capítulo 2
2.2 Variación de la presión en un fluido en reposo
Considérese el elemento diferencial de un fluido estático mostrado en la Figura 2.2. Ya que el elemento es muy pequeño, se puede suponer que la densidad del fluido dentro del elemento es constante. Las fuerzas que actúan sobre el elemento de fluido en la dirección vertical son: la acción de la gravedad sobre la masa dentro del
elemento ( fuerza de cuerpo ), la cual se puede expresar como −γδ x δ y δ z , y las fuerzas
transmitidas por los alrededores ( fuerzas de superficie ), las cuales actúan en ángulos rectos sobre las caras inferior, superior y laterales del elemento. Si la presión en el
centro del elemento es P , la fuerza de superficie que actúa en la cara perpendicular al
eje y , más próxima al origen de coordenadas, es
x z
y
y
P
P δ δ
δ
mientras que la fuerza en la superficie que se ejerce en la cara opuesta es
x z
y
y
P
P δ δ
δ
donde δy /2 es la distancia desde el centro del elemento a cualquiera de sus caras
perpendiculares al eje y.
Figura 2.2 Elemento en forma de paralelepípedo rectangular de un fluido en reposo.
Estática de fluidos
Al sumar todas las fuerzas que actúan sobre el elemento en la dirección y , se obtiene
x y z x y z
y
P
F (^) y δ δδ −γδδ δ
∑ =−
En las direcciones x y z , donde no se tienen fuerzas de cuerpo:
x y z
z
P
x y z F
x
P
F (^) x δ δδ z δδ δ
∑ =^ − ∑
Ya que el fluido está en reposo, el elemento está en equilibrio y la sumatoria de las fuerzas que actúan sobre él en cualquier dirección deberá ser cero. Con esto, se obtiene la ley de la variación de la presión para un fluido en reposo , esta es,
z
P
y
P
x
P
γ (2.2)
La primera y tercera derivadas parciales, que representan la variación de la presión en el plano horizontal, constituyen una forma del principio de Pascal y establecen que dos puntos de igual elevación en una misma masa continua de fluido en reposo tienen la misma presión.
Dado que P es función únicamente de y , se puede escribir
dP = − γ dy (2.3)
Esta sencilla ecuación diferencial relaciona el cambio de presión con el peso específico y el cambio de elevación, y es válida tanto para fluidos compresibles como para incompresibles.
Para fluidos incompresibles, γ es constante y la Ec.(2.3) se puede integrar
directamente. Sin embargo, para fluidos compresibles, γ se deberá expresar
algebraicamente en función de y o P para determinar la presión en función de la
elevación.
2.2.1 Fluido incompresible
Para un fluido incompresible, la ley de la variación de la presión hidrostática frecuentemente se escribe en la forma
P = γ h (2.4)
en la cual h se mide verticalmente hacia abajo ( h = − y ) a partir de la superficie libre
del líquido, y P es el correspondiente aumento de la presión sobre el valor que toma
en dicha superficie.
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2.2.2 Fluido compresible
Para determinar la variación de la presión en un fluido compresible en reposo, el análisis se restringe a un gas ideal, el cual es válido para el aire y la mayoría de sus
componentes para relativamente grandes rangos de presión y temperatura. Ya que γ
está relacionado con υ ( γ = g/υ ), se usará la ecuación de estado para un gas ideal
( Pυ = RT ).
CASO 1: GAS IDEAL ISOTÉRMICO
Para este caso, la ecuación de estado indica que el producto Pυ^ es constante. Así, en
cualquier posición del fluido, usando el subíndice 1 para indicar datos conocidos,
Pυ = P 1 υ 1 = C (2.5)
donde C es una constante. Sustituyendo υ = g/ γ en la ecuación anterior,
C
g
P
g
P = =
1
1 1 γ γ
Suponiendo que el rango de elevación es bastante pequeño, de manera que g es
constante, dividiendo entre g la ecuación anterior, se tiene
1
1 C
g
P P C
γ γ
Usando la relación anterior, la Ec.(2.3) se puede expresar como sigue:
C '
P
dy
dP
=−γ=−
Separando variables e integrando desde P 1 hasta P , y de y 1 hasta y , se tiene
y
y
P P
y y
P
P C
y
P
C
dy
P
dP
1
; ln
∫ =^ −∫ =−
de donde
( 1 )
ln y y
P C
P
Ahora, usando P 1 /γ 1 = C ’ de la Ec.(2.7) y despejando P ,
( )⎥
1
1
1 exp^ y y
P
P P
γ (2.8)
Esto proporciona la relación deseada entre la elevación y la presión en términos de
condiciones conocidas P 1 , γ 1 a una elevación y 1.
Capítulo 2
CASO 2: VARIACIÓN LINEAL DE LA TEMPERATURA CON LA ELEVACIÓN
En este caso, la variación de la temperatura está dada por
T = T 1 + β y (2.9)
donde T 1 es la temperatura en la referencia ( y = 0) y β es una constante. Para
problemas terrestres, β será negativa. Con el fin de hacer posible la separación de
variables en la Ec.(2.3), se deberá despejar γ de la ecuación de estado y, además,
determinar dy de la Ec.(2.9), esto es,
RT
Pg
γ = (2.10a)
β
dT
dy = (2.10b)
Sustituyendo en la Ec.(2.3), se obtiene, arreglando términos,
T
dT
R
g
P
dP
β
Integrando desde el nivel de referencia ( y = 0) donde P 1 , T 1 , etc., son conocidas, se
tiene
R
g
T
T
T
T
R
g
P
P^ β
β
= 1 =^1
1
ln ln ln
Despejando P y remplazando la temperatura T por T 1 + βy , se obtiene la expresión
final
R
g
T y
T
P P
β
β ⎟
1
1 1 (2.12)
donde T 1 deberá estar en grados absolutos.
Capítulo 2
Figura 2.5 Principio del barómetro.
De los conceptos desarrollados en la Sección 2.2, la presión en O dentro del tubo
deberá ser igual a la presión en la superficie del líquido fuera del mismo (punto a );
esto es, P O = P a. De las condiciones de equilibrio estático del líquido sobre el punto O
en el tubo de área de sección transversal A , se tiene
Patm A − PvaporA − γ Ay = 0
Patm = Pvapor + γ y (2.14)
Si la presión de vapor sobre la superficie del líquido en el tubo fuera despreciable, entonces se tendría,
Patm = γ y
Generalmente se emplea mercurio para los barómetros, debido a que su densidad es lo suficientemente grande, lo cual permite usar un tubo razonablemente corto y también porque su presión de vapor es despreciable a temperaturas ordinarias.
Se ha establecido una atmósfera estándar que se asemeja a la atmósfera real que se encuentra en muchas partes del mundo, y su valor es bastante exacto para usarse en la mayoría de los trabajos de ingeniería. A nivel de mar, las condiciones atmosféricas estándares se muestran en la Tabla 2.1.
Tabla 2.1 Condiciones al nivel del mar de la atmósfera estándar.
Propiedad Símbolo Sistema Internacional Sistema Inglés Temperatura T 15°C = 288 K 59°F = 519°R Presión P 101,3 kPa = 760 mm Hg 2 116,2 lb/pie 2 = 29,92 pulg Hg
Densidad ρ 1,2232 kg/m 3 0,002378 slug/pie 3
Peso específico γ 11,99 N/m 3 0,07651 lb/pie 3
Viscosidad μ 1,777× 10 -8^ kN.s/m^2 3,719× 10 -7^ lb.s/pie^2
Estática de fluidos
Las variaciones de temperatura y presión en la Atmósfera Estándar US se presentan en la Figura 2.6. En la capa más baja de 11,02 km (36 200 pies), denominada troposfera , la temperatura disminuye rápidamente y en forma lineal de acuerdo con la relación
( 519 0. 003560 ) R ( pies )
( 288 0. 006489 )K ( m)
T y y en
T y yen
donde y es la elevación sobre el nivel del mar. En la siguiente capa, denominada
estratosfera , de un espesor de 9 km aproximadamente (30 000 pies), la temperatura se mantiene constante en –56,5°C (−69,7°F). En la mesosfera , a una altitud alrededor de 50 km (165 000 pies o 31 millas), la temperatura aumenta lentamente al principio y luego más rápidamente, hasta un máximo de –2,5°C (27,5°F). Por encima de ésta, en la ionosfera , la temperatura disminuye otra vez.
La presión absoluta estándar se comporta de una manera muy distinta a la temperatura (Figura 2.6), disminuyendo rápidamente y suavemente hasta un valor de casi cero a una altitud de 30 km (98 000 pies). El perfil de presiones se calculó a partir de las temperaturas estándar utilizando lo métodos de la Estática de fluidos (Sección 2.2).
Figura 2.6 Distribuciones de temperatura y presión de la Atmósfera Estándar US.
Estática de fluidos
En la Figura 2.8 se muestra el diagrama de un tipo de transductor de presión eléctrico. En este transductor de presión se pega una banda extensiométrico a un diafragma. Al cambiar la presión, cambia la deflexión del diafragma. Éste, a su vez, cambia el potencial eléctrico de salida, que se puede relacionar con la presión mediante una calibración correcta. Se puede utilizar este dispositivo conectado a un registrador de cinta para dar un registro continuo de la presión. En lugar de un registrador de cinta, los datos se pueden grabar en una cinta magnética o disquete a intervalos de tiempo fijo, utilizando el sistema de adquisición de datos de una computadora y/o se pueden mostrar en la pantalla de la computadora en forma digital.
Figura 2.8 Esquema de un transductor de presión eléctrico con registrador de cinta.
2.5.3 Columna piezométrica
Una columna piezométrica es un dispositivo sencillo para la medición de presiones moderadas en líquidos. Consiste en un tubo de longitud adecuada en donde el líquido puede subir sin llegar a rebosar, como se muestra en la Figura 2.9. La altura del líquido en el tubo dará directamente un valor de la altura de presión. Para reducir los errores capilares el diámetro del tubo debe ser como mínimo de 12 mm (0,5 pulg).
Figura 2.9 Piezómetro.
Capítulo 2
2.5.4 Manómetro simple
Como el piezómetro de tubo abierto es incómodo para su uso con líquidos a presiones altas y no se puede utilizar con gases, el manómetro simple o manómetro U, como el que se muestra en la Figura 2.10, es un dispositivo más conveniente para la medición de presiones.
Si se integra la Ec.(2.3) para un fluido incompresible ( γ = constante) entre los puntos 1
y 2, se tiene
P 2 (^) − P 1 =− γ ( y 2 − y 1 ) (2.16)
de donde se observa que un cambio de altura en un líquido, y 2 – y 1 , es equivalente a
una diferencia de presión de (P 2 – P 1 )/ γ. Por ello, para medir diferencias de presión
entre dos puntos se pueden utilizar columnas estáticas de uno o más líquidos. Un instrumento de este tipo se denomina manómetro. El tipo más simple de manómetro es el tubo U, como el que se muestra en la Figura 2.10. Este manómetro está
conectado a un tanque que contiene un fluido A, cuya presión en el punto a se desea
medir. Si se aplica la Ec.(2.16) en dos etapas, primero de a a M y luego de N a 0, se
tiene
Pa − PM =−γ Ad 1 PN − PO =−γ Hg ( − d 2 )
El peso de la pequeña cantidad de aire existente entre 0 y el extremo abierto se
desprecia y se supone que P 0 ≈ P atm. Cuando se suman las dos ecuaciones
anteriores, P M se cancela con P N y se obtiene el resultado deseado,
Pa = Patm + γ (^) Hgd 2 − γ Ad 1 (2.17)
Figura 2.10 Manómetro simple o tubo U.
Capítulo 2
2.6.1 Fuerzas hidrostáticas sobre una superficie plana sumergida
Puesto que no puede haber esfuerzos de corte en un fluido estático, todas las fuerzas hidrostáticas que actúan sobre una superficie sumergida en dicho fluido deberán ser normales a la misma.
Si la presión se distribuye uniformemente sobre un área, como se muestra en la
Figura 2.12 a , la fuerza es igual a la presión por el área, y el punto de aplicación de la
fuerza es el centroide del área. En el caso de fluidos compresibles (gases), la variación de la presión con la distancia vertical es muy pequeña debido a su bajo peso
específico; de aquí, cuando se calcula la fuerza estática ejercida por un gas, P se
puede considerar constante. Así, para este caso,
F = (^) ∫ PdA = P ∫ dA = PA (2.19)
En el caso de líquidos, la distribución de la presión no es uniforme; de aquí que es necesario un análisis más amplio. Considere una superficie plana vertical, como la
que se muestra en la Figura 2.12 b , cuyo extremo superior coincide con la superficie
libre del líquido. La presión variará desde cero en M , hasta NK en N. Así, la fuerza
total sobre un lado es la sumatoria de los productos de los elementos de área por la presión sobre ellos. Es claro que la resultante de este sistema de fuerzas paralelas deberá estar aplicada en un punto por abajo del centroide del área, ya que el centroide de un área es el punto de aplicación de la resultante de un sistema de fuerzas paralelas uniformes.
Si la superficie se sumerge hasta la posición M’N’ mostrada en la Figura 2.12 c , el
cambio proporcional de presión de M’ a N’ es menor que el de M a N. De aquí que el
centro de presión estará más cercano al centroide de la superficie. Entre más se sumerja la superficie, la presión sobre ésta llegará a ser más uniforme y el centro de presión estará cada vez más cerca del centroide.
Figura 2.12 Fuerzas hidrostáticas sobre una superficie plana vertical.
Estática de fluidos
La Figura 2.13 muestra una superficie plana de forma arbitraria sumergida
completamente en un líquido, la cual forma un ángulo θ con la horizontal. A la
derecha se muestra la proyección de esta superficie sobre un plano vertical. Sea h la
profundidad de cualquier punto y y la distancia del punto a la superficie libre en el
plano de la placa.
Figura 2.13 Superficie plana sumergida.
Considere un elemento de área seleccionado de manera que la presión ejercida sobre
él es uniforme. Si x representa el ancho del área a cualquier profundidad, entonces dA
= x dy. Como P = γ h y h = y sen θ, la fuerza dF sobre un elemento de área será,
dF = PdA = γ hdA = γ ysen θ dA
Integrando esta ecuación, tomando en cuenta que el centroide de un área se define
como (^) ( ) y (^) c = (^) A ∫ ydA
1 , se tiene
F = γ sen θ∫ ydA =γ sen θ yc A (2.20)
Si se representa mediante h c la profundidad del centroide, entonces h c = yc sen θ y
F = γ hc A (2.21)
Ya que γ h c es la presión en el centroide, la Ec.(2.21) indica que la fuerza sobre una
cara de cualquier superficie plana sumergida en un fluido estático, es igual a la presión que hay en el centroide de dicha cara por su área , independientemente de la forma de la superficie y de su ángulo de inclinación.
Estática de fluidos
Figura 2.14 Centroide y momentos centroidales de inercia para algunas geometrías comúnes..
Para determinar la posición lateral del centro de presión, considérese la vista normal A-A de la Figura 2.13, que se muestra en la Figura 2.15.
Figura 2.15 Vista normal de la superficie plana.
Capítulo 2
El centro de presión se muestra en la posición yp , determinada previamente, y a una
distancia desconocida xp del eje y. Igualando el momento alrededor del eje y de la
fuerza resultante con el momento correspondiente de la distribución de presión, se obtiene
=∫ ( ) = ∫ A A
xp F x γ ysen θ dA γ sen θ xydA
Sustituyendo F = γ yc sen θ A , se obtiene
( γ yc sen θ A ) xp = γ sen θ Ixy
Por lo tanto,
c
xy p
Ay
I
x =
donde I xy es el producto de inercia alrededor de los ejes de referencia. Empleando el
teorema de los ejes paralelos para el producto de inercia,
I xy = I ξη+ xcyc A
donde I ξηes el producto de inercia con respecto a los ejes cetroidales, se obtiene
y A
I
x x
c
p c
ξη
Un modo fácil de calcular xp es fijar el sistema de ejes coordenados xy , de tal manera
que el eje y pase a través del centroide del área y x = 0 esté en el centroide. Si el
área es simétrica en relación con cualquiera de los ejes, el producto de inercia en el
centroide es cero, y xp coincide con el centroide.
2.6.2 Fuerzas hidrostáticas sobre una superficie curva sumergida
Las fuerzas que actúan sobre una superficie curva sumergida en un fluido estático, se pueden determinar parcialmente mediante el método usado para superficies planas.
Considere la superficie curva que se muestra en la Figura 2.16, sumergida en un
fluido estático. La fuerza sobre cualquier elemento de área dA de esta superficie está
sobre la normal al elemento de área y está dada por
dF =− Pd A
