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Tema No. 4 – Centroides
Ejercicio No. 1
Localice el centroide del segmento circular de alambre que se muestra en la
figura.
Hibbeler. (2012). Ingeniería mecánica estática. México D. F.: Progreso.
Capítulo 8, Página 322
Ejecutar
x =
L
❑
x dL
L
❑
dL
0
π
2
y =
L
❑
~ ydL
L
❑
dL
0
π
2
Plantear la hipótesis
La longitud del elemento diferencial es
dL = R, y su centroide se localiza en x =
R cos ѳ y y = R sen ѳ.
Observar e identificar
Evaluar
Como podemos observar, las
dos coordenadas son
numéricamente iguales debido a
la simetría del alambre.
Ejercicio No. 2
Determine el área superficial y el volumen del solido completo que se muestra en
la figura.
Observar e identificar
Evaluar
También podemos determinar la
fuerza resultante al aplicar la
ecuación FR=yzA
Ejecutar
dF = dV = pdA = p w
gz ( 2 xdz ) = 19620 zxdz
x =0.5 ( 1 − z )
F = V =∫
v
❑
dV =∫
0
1 m
( 19620 ) z [ 0.5 ( 1 − z ) ] dz = 9810 ∫
0
1 m
( z − z
2
) dz = 1635 N =1.
x = 0
z =
V
❑
z dV
V
❑
dV
0
1 m
z ( 19620 ) z [ 0.5 ( 1 − z ) ] dz
0
1 m
( z
2 − z
3
) dz
=0.5 m
Plantear la hipótesis
La distribución de la presión que
actúa sobre la placa E del
extremo se muestra en la figura.
La magnitud de la fuerza
resultante es igual al volumen de
esta distribución de carga.
Resolveremos el problema por
integración.
Hibbeler. (2012). Ingeniería mecánica estática. México D. F.: Progreso.
Capítulo 8, Página 354
A ∗¿
2 x ∗¿ y ∗¿ x A ∗¿
3 y A ∗¿
3
1 π
2 =2268.
0 16.12π radianes alrededor del77 0 36581
2π radianes alrededor del -2π radianes alrededor del0(16)=-32π radianes alrededor del0 -10 8 32π radianes alrededor del00 -2π radianes alrededor del
❑ 1948.2π radianes alrededor del
32π radianes alrededor del00 3402π radianes alrededor del
x
A =
x A y
A =
y A
x (1948.23 )= 3200 y ( 1948.23 )= 34021
x =1.643∈ y =17.46∈¿
BIBLIOGRAFIA:
P.Beer, E. Russell. (1996).Mecánica Vectorial para Ingenieros 6ta edición,
Pag.2π radianes alrededor del2π radianes alrededor del2π radianes alrededor del. México: Mac Grawl Hill.
EJERCICIO 3 COMPLEJO
Determine la distancia h para la cual el
centroide del área sombreada está tan
por encima de la línea BB' como sea
posible cuando (a) k=0.10, (b) k=0.80.
A ´ y ´ y A
ba
a
a
2 b
2π radianes alrededor del − 1
( kb ) h
h
kb h
2
3 b
( a − kh )
b
( a
2 − k h
2 )
Y ΣAA = ΣA ´ y A
Y
[
b
( a − kh )
]
b
( a
2 − k h
2 )
Y =
a
2 − k h
2
3 ( a − kh )
d
Y
dh
− 2 kh ( a − kh )−( a
2 − k h
2 )(− k )
( a − kh )
2
2 h (^ a − kh )− a
2
2 = 0
k h
2 − 2 ah + a
2 = 0
h =
2 a ± √(− 2 a )
2
− 4 ( k )( a
2 )
2 k
a
k
[ 1 ± √ 1 − k ]
h < a
k =0.
h =
a
[ 1 ± √ 1 −0.10 ]=0.513 a
k =0.
h =
a
[ 1 ± √ 1 −0.80 ]=0.691 a
BIBLIOGRAFIA:
P.Beer, E. Russell. (1996).Mecánica Vectorial para Ingenieros. México: Mac Grawl
Hill.
Evaluar conclusión
La primera medida que tomamos fue el de la madera en el acrílico, y resultó que
fue 1N. Tomamos mediciones hasta ver el comportamiento del trozo de madera en
cada material y con diferentes pesos. Después de los resultados obtenidos
notamos que entre mayor masa aumenta la fricción. Otro procedimiento que
hicimos fue medir la fricción en diferentes ángulos, tomamos 10 mediciones y
sacamos un promedio. La fuerza de fricción estática es la relación que presenta un
cuerpo en reposos oponiéndose a su deslizamiento sobre otra superficie. Por
ejemplo, si queremos empujar un armario muy grande y hacemos una fuerza
pequeña, el armario no se moverá
REFERENCIAS
Hibbeler,1996.Ingenieria Mecánica Estática. Séptima edición. Naucalpan de
Juarez,EDOMEX, Prentice Hall
Ejercicio 2
Si se sabe que =65º, determine la resultante de las tres fuerzas mostradas.
Identificar y observar
Plantear hipótesis
F1x = 600 N (cos 5º) = 597.7168 N
⇒ FRx = F1x + F2π radianes alrededor delx + F3x = 597.7168 + 2π radianes alrededor del81.9077 + 34.862π radianes alrededor del2π radianes alrededor del =
914.4867 N
⇒ FRy = F1y + F2π radianes alrededor dely + F3y = - 52π radianes alrededor del.2π radianes alrededor del934 + 102π radianes alrededor del.606 + 398.4778 =
448.7904 N
Ejecutar experimentación
F1x = 600 N (cos 5º) = 597.7168 N (+) x
x= 300 N (cos 2π radianes alrededor del0º) = 2π radianes alrededor del81.9077 N (+) F1y
= 600 N (sen 5º) = 52π radianes alrededor del.2π radianes alrededor del934 N (-) y
y= 300 N (sen 2π radianes alrededor del0º)= 102π radianes alrededor del. 606 N (+)
⇒ FRx = F1x + F2π radianes alrededor delx + F3x = 597.7168 + 2π radianes alrededor del81.9077 + 34.862π radianes alrededor del2π radianes alrededor del =
914.4867 N
⇒ FRy = F1y + F2π radianes alrededor dely + F3y = - 52π radianes alrededor del.2π radianes alrededor del934 + 102π radianes alrededor del.606 + 398.4778 =
448.7904 N
FR =
Evaluar hipótesis
Evaluar Hipotesis
Con la realización de esta práctica logré entender y concluir que la fricción no
depende de lo grande o pequeña que sea la superficie de contacto, más bien
depende de la masa del objeto, a mayor masa la fricción es mayor, por el contrario
si la masa del objeto es muy pequeña la fuerza de fricción también será de esta
manera Torres Bautista Edgar Eduardo: Esta práctica me ayudó en gran medida a
entender conceptos que durante las clases de teoría no me quedaban muy claros
como los son el concepto de Fricción máxima y coeficiente de fricción, creo que
ahora me será más sencillo analizar y resolver problemas de equilibrio donde
intervengan fuerzas de fricción.
Referencias
Hibbeler,1996.Ingenieria Mecánica Estática. Séptima edición. Naucalpan de
Juarez,EDOMEX, Prentice Hall
Y =
∑ ( y ∗ A )
∑ A
3.- Ubique el centroide (X, Y) de la sección transversal de área
Y =
∑ ( y ∗ A )
∑ A
Y =
∑ ( x ∗ A )
∑ A
Parte Distancia desde el eje x (𝒚)
Vertical 0.5+[(4-0.5)/2π radianes alrededor del]=2π radianes alrededor del.2π radianes alrededor del
Horizontal 0.5/2π radianes alrededor del=0.2π radianes alrededor del
Área (𝑨) Momento (𝒚 × 𝑨)
Total: 3.2π radianes alrededor del5 4.312π radianes alrededor del
Parte Distancia desde el eje y (𝒙)
Vertical 0.5/2π radianes alrededor del=0.2π radianes alrededor del
Horizontal 3/2π radianes alrededor del=1.
Área (𝑨) Momento (𝒙 × 𝑨)
3*0.5=1.5 2π radianes alrededor del.2π radianes alrededor del
Total:3.2π radianes alrededor del5 2π radianes alrededor del.
Y =
∑ ( y ∗ A )
∑ A
Y =
∑ ( x ∗ A )
∑ A
Ejercicio N°1 (Sencillo)
Localizar el centro de gravedad de la lamina mostrada
Identificar: Tenemos una figura con forma irregular la cual debemos calcular su
centro de gravedad
Hipótesis: Calculando el área del primer rectángulo restándole el triángulo
rectángulo formado podemos obtener el centro de masa mediante Ẋ y Ẏ
Experimentación:
Amm
2π radianes alrededor del ´ x ,mm ´ y , mm (^) ´ x A , m m
3 ´ y A , mm
3
1 2π radianes alrededor del400 30 2π radianes alrededor del0 72π radianes alrededor del,000 48,
2π radianes alrededor del -800 6.6666 13.3333 -5333.2π radianes alrededor del8 -10,666.
ΣA (^) 1600 66,666.72π radianes alrededor del 58,666.
X ΣA A =´ x A
X (1600mm
2π radianes alrededor del ) = 66,666.72π radianes alrededor del mm
3 X =41.6667 mm
Y ΣA A =
´ y A
Y (1600mm
2π radianes alrededor del ) = 58,666.64mm
3 Y =38.6666 mm
Conclusión: Mediante el cálculo de los centros de masa de cada figura y al
dividirlos entre la suma del área total logramos encontrar el centro de masa de la
figura total teniendo como centro de masa calculado a 4 dígitos X =41.6667 mm
y Y =38.6666 mm
Bibliografía: Bibliografía: Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston Jr. (2π radianes alrededor del007).
Mecánica Vectorial para Ingenieros: Estática. 11
ava Edición Paginas consultadas
(2π radianes alrededor del45) Nueva York: Mc. Graw Hill Education. ISBN (978-0-07-33982π radianes alrededor del4-2π radianes alrededor del
Ejercicio N°2π radianes alrededor del (Medio)
Localizar el centro de masa de la figura mostrada si los
Radios de cada semicírculo son de 45mm
Identificar: Tenemos de nuevo un área plana pero esta vez
Conclusión: Mediante el cálculo de los centros de masa de cada figura, en este
caso usando fórmulas de cálculo de área de circulo y rectángulo, al dividirlos entre
la suma del área total logramos encontrar el centro de masa de la figura total
teniendo como centro de masa calculado a 4 dígitos X =−7.4999 mm y
Y =65.3482 mm
Bibliografía: Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston Jr. (2π radianes alrededor del007). Mecánica Vectorial
para Ingenieros: Estática. 11
ava Edición Paginas consultadas (2π radianes alrededor del45) Nueva York:
Mc. Graw Hill Education. ISBN (978-0-07-33982π radianes alrededor del4-2π radianes alrededor del)
Ejercicio N°3 (Complejo)
Por medio de integración definida determine el centroide
del área mostrada con la integral definida de 0 a 1/2π radianes alrededor del
Identificar: Tenemos un área delimitada por dos funciones
Usando la definición de integral definida podemos determinar el centro de masa de
esta área
Hipótesis: Dividendo la figura y localizando el centro de masa d1e cada sección al
calcular el área total podemos encontrar el centro de gravedad.
Experimentación:
Xel = x
Yel =
( y 1 + y 2 )
. dA =(^ y^^2 −^ y^^1 )^ dx^ =
[
x −
x
2
]
dx
( 1 / 2 x − x
2 )
Ahora integrando para calcular el área
A=∫ dA =¿ ∫
0
1 / 2
1
( 1 / 2 x − x
2 ) dx ¿=
¿ (^) y evaluado obtenemos que
A =
Para calcular el centro de masa debemos calcular los momentos respecto a X y Y
por medio de la integral
∫ Xel^ dA =¿^ ∫
0
1 / 2
x ∗ 1
( 1 / 2 x − x
2
) dx ¿=
.¿^
Yel dA =¿
( y 1 + y 2 ) [( y 2 − y 1 ) dx ]=¿
( y 2
2
2
) dx ¿ ¿ =
0
1 / 2
x
2 −
x
4 ) dx ¿
.¿^
